材料力学应力状态

22
50.6MPa
30MPa
x
50.6MPa
45
x y sin2 xco2s
2
x
6 0 0si n 9()0 2.6 0 co 9s)0 (
2
30MPa
x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa
tg(2) 2x x y
220.60.69 600
234 .4 17.2
x´
-
dA
+ x
(dAcos
)
sin
x
x dA
+x (dAcos) cos - (dAsin ) sin y
y
- y ( dA sin )cos 0
y
x y
2
x y
2
cos2
x sin2
结 论:
x y sin2
2
xco2s
不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力
y' x
x'
y'
y
y
D
x
x
A
d
(y , y)
e(,)
c 2
a (x ,x)
E点(横、纵坐标):代表了斜截面上的 正应力和剪应力
2、几种对应关 系
y
a
y
A x
c
x
点面对应——应力圆上某一点的坐标值
对应着单元体某一截面方向上的正应力和剪 应力
转向对应、二倍角对应
y' y x' A
a'
2
a
Cq
x
o
A'
转向对应——半径旋转方向与方向面法线
45º 方向面只有正应力没有剪 应力，而且正应力为最大值。
4、一点处的应力状态有不同的表 示方法，而用主应力表示最为重 要
请分析图示 4 种应力状态中，哪几种 是等价的
0 0
0 45ｏ 0
45ｏ 0
0
0
0
第四节 在应力圆上确定主平面、 主应力、面内最大剪应力
y
D
x
A
o d
a
2
c
主平面：在应力圆上,应力圆与横轴交 点对应的面
旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面
旋转角度的两倍。
2、几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点 的坐标值对应着微元某一方向上 的正应力和剪应力；
转向对应——半径旋转方向与 方向面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角 度是方向面旋转角度的两倍。
3、应力圆方程
利用三角恒等式，可以将前面 所得的关于 和 t 的计算式写成方程：
1
1 5.4 M 2 ,P 2 0 a ,3 3.4 M 2
40
tg（2） 2x 1 x y
22.5
x=40 MPa,y=-20 MPa,x=-30
MPa 3 .5 7 x 2yx 2yc o 2 3 s .5 ) 7 ( x s i2 n 3 .5 ( ) 7
11 .24 MPa
II
I
o 3
2
III
1
212
III2 31
I31I
在三组特殊方向面中都有各自的面
内最大剪应力,即：
II
1 2
2
I
o 3
2
2 3
2
1
1 3
2
III
一点处应力状态中的最大剪应力只
是
、
、
中最大者，即:
τmax
1
3
2
作为三向应力状态的特例 平面应力状态特点：
(1) 0
(2) 排序确定 123
（半
第五节 三向应力状态
三向应力状态的应力圆 平面应力状态作为三向应力
状态的特例
三向应力状态特例
（至少有一个主应力及其主方向已知）
y
y
x
z
x
z
三向应力状态的应力圆
2 1
3
2 1
3
2 1
3
2 1
3
2 1
3
平平行行于于3的21的方方向向面面－－其其上上之之应应力力与与3无21无关关，，于 是于由是由1 、12、2可作33可出作应出力应圆力I圆II III
主应力表达式： 0x x 2 ( 2 主 y 平y 面1 2 1 2定 义x x ) y y2 2 4 4 2 2
o
o
主应力：主平面上的正应力
在应力圆上主应力=圆心 半径
面内最大剪应力
应力圆上最高点的 面上的剪应力， 称为“ 面内最大 剪应力”。
max
oc
1 22
xy242
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
b
h
解：
MCP 2L 425KN m
P QC 2 50KN
C
CCMICZy25 2 100 306 10 530 0110 0 31212
1.04 MP（ a 压应力）
CQ IC Z CS b Z5 2 0 10 3 0 6 1 00 5 3 2 0 0 10 0 9 2 0 22 0 1 5 1 0 0 9 0 312
例题1:
已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa 求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
x
45
x
2
y
x
y
2
cos2x
sin2
x
6 0 0 6 0 0 co 9 s )0 ( 2.6 0 si 9 n)( 0
y
x'
x
x
x
x
拉中有剪
y
剪中有拉
x y
2
x y
2
cos2
x sin2
x y sin2
2
xco2s
d d 2 (x 2 ysi2 n xco 2 )s 0
tg2 2x
x y
ma mx)i(x
xy( 2
x 2y)2x2
在单元体上两个剪应力共同指定的象限
既为主应力1所在象限
围绕一个受力点可以有无数多个单元体：
2
2
2
My IZ
2
QS Z IZb
l/2
1
1
M WZ
3
FP
5 4 3
2 1
S平面
l/2
3、原始单元体：各侧面上的应力情况为已知
l
F
S
a
S平面
ly
1
F
4
z
2a
x
3
4、主单元体:各侧面上只有正应力作用, 而无剪应力作用的单元体
5、主平面:单元体上剪应力为零的面
45
E ( 45 )
e
D
x
B
45
源自文库
B
A
45
x
E
( 45 )
E ( 45 )
结果表明：
45º方向的斜截面上既有 正应力又有剪应力，正应力不 是最大值，剪应力是最大。
a (0, )
D
45
E
2×45º
e
c
b
B
A
o
2×45º
(45)
d (0,- )
B
B
45
E
E
结果表明：
(45)
例题3: 求(1)主应力、主平面、画主单元体(2)=37.50斜截面上的应力情况,并画单元体.
20 x=40 MPa,y=-20 MPa,x=-30
30
MPa
40
m（ amx） i xx 2y（ x 2y） 2x2
（MP
m（ am x） i x5.2 4(3.2 4)MPa
a） 3
20 30
0.46 M 9Pa
已知：C 1.04MPaC 0.469MPa
40x 2y
xyc
2
o8s0()xsin 8(0)
1.041.04 co8s0()0.46s9in 8(0)1.0M 7 P 22
40x 2ysin 8(0 )xco8s0 ()
0.43M 1Pa
C C
C
第三节 平面应力状态
图解法 （应力圆） x
x y
2
x y cos2
2
x sin2
x y sin2
2
xco2s
(x 2y)22 =
1 2
2
x
y
2
4x2
圆方程 ：圆心坐标 半径
R1 2
xy 242
R c
应
力
x y
圆
2
(x 2y)22=
1 2
2
x
y
2
4x2
D
B
A
b
x
45
B
x
E
od
( 45 )
2×45º
c
a
2×45º
6.4MxP6a6x.41M7P.m2a0ax(min) 602x 20y
(x 2y)2x2
(600)2 20.62 2
66.4(6.4)MPa
1 6.4 M 6， P 2 a 0 ， 3 6 .4 MP
应力的点的概念;
2、应力的三个概念: 应力的面的概念;
应 力应力状态的概念.
指明
哪一个面上？ 哪一点？
1、应力状态：受力构件内任意点各不同截面方位 上的应力情况 研究点的应力状态的方法：取单元体的方法
2、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微 小正六面体。
F
F
单
元 体
1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。
的 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的
特 点
3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况
IZb 3 3 QSmax
y
x
x
x
x
y
xy
yx
y
x
y
第二节 平面应力状态分析
（解析法）
1、平衡原理的应用—— 单元体局部的平衡方程
y
y
x
x
x
y
x
y´
x´
x dA
y
y
Fx 0
dA-
x
( dA
cos)cos +
x (dA cos
) sin
+ y
( dA sin ) cos
- y (dAsin) sin
0
y´
Fy 0
(3)
max
1
3
2
平面应力状态作为三向应力 状态的特例
max
200
300
'''
"
'
o
50
200 50
300 "
'
50
'''
O
例题5:
试用解析法、图解法求：主单元体、max。
50
x 3M 0， P y a 5M 0， P x 2 aM 0
20
ma mxi x
xy( 2
x 2y)2x2
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集 合，称之为这一点的应力状态
例题2: 已知：图示原始单元体求： 、 2
x y
2
x y cos2 xsin2
2
2
x y
2
x
y
2
co2s()
2
x
sin2()
2
+/
2
y
x y 2
x
y
2
cos2
x
sin2
x x
xy
2
单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数
例6: 试用图解法求主应力、max。
20
40
60
0
20
40圆心(坐 xy标 、 0) ： (1、 0)
2
主半 应力径(=： x圆2心y)±2半x径241.m 2ax55.6MP
1 6 M 0， P 2 3 a .2 ， 13 5 .2 M 1 Pa
例题7一: 轴拉试件，横截面为40×5mm2的矩形。在 与轴线成450的斜截面上剪应力=150 MPa时试 件上出现滑移线。求：此时试件所受轴向拉力P的
50
20
3340.7 (-30、20)
（MPa5）4.7
圆心(坐 xy标 、 0) ： (1、 0)
2
0C
半径(： x2y)2x244.7
(50、20)
主应力=圆心±半径
1 5.7 M 4， P 2 0 a ， 3 3.7 M 4 Pa
si2 n半 径 4 2.7 4 0 1.3 m4ax4.7最 MP大a圆半径
值。 解：原始单元体为单向应力状态，即：
x= s ， y=0 ，=0
45x 2ysi9 n)0 (xc（ o9s)0150
s 300MPa
P s A 3 0 16 0 0 4 5 0 1 6 0 6K 0
20
x y 3.5 7 5.5 2
30 40
52.5 31.2MPa
-11.24
31.2 -36. 83.5 7 x 2ysi 2 n 3.( 5 7 )xc o 2 3 s.5 ( 7 )
36 .8MPa
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
30 3050 (3050)2202
（MPa）
2
2
54.7MP（ a34.7MP） a
54.7
341 .7 m 5 a t.x 7 g (1 2 M 4 2 )3 ， 5 P .7 x 4 2 2 2 (x 0 3 a y， . 7 4 ) 3 4 2 3 . 7 4 M 2 0 3 5 .0 7 P 0 M 4 10.a 5 3.3
6、主应力:主平面上作用的正应力。 三个主应力按代数值大小排列为:
12 3
F
F
1
1 230
应力状态分类：
单向应力状态：只有一个主应力不等于零
二向应力状态：只有一个主应力等于零， 其它两个主应力不等于零。（平面应力状态）
三y向应y 力x x状态：x 三个y主y 应x 力都不等 zx于xzz z零 zy yz
应力状态
主讲教师 ： 邹翠荣
вторник, 18 августа 202
1. 直杆受轴向拉（压）时:
m
F
F
m
2.圆轴扭转时:
T
3.剪切弯曲的梁:
N A
T Ip
A
B
M(x) y
Q Sz
P
Iz
Iz b
FP
S平面
l/2 l/2
max
Mmax Wz
maxQmIaxzSbzmax
5 4
3
2 1 5
4 3 2
1
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转破坏时沿45º螺旋面断开？
第五章 应力状态、强度理论
应力状态的概念及其描述 平面应力状态下的应力分析 主应力、主方向、最大剪应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律 强度理论 结论与讨论 应用实例
第一节 应力状态概述
y
y x
x
y
1.应力圆的画法
y
y
R
x
c
x
o B2
(y ,Dy)2
D1 (x ,x)
B1
x y
2
1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。情况。同样方法得到D2点。
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。