专题跟踪训练(二十二)
一、选择题
1．(2018·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()
A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β
[解析]对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C.
[答案] C
2．已知直线m，l与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m ⊥γ，则下列命题一定正确的是()
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
[解析]∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.又∵β∩γ＝l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故选A.
[答案] A
3．(2018·内蒙古赤峰模拟)已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题中正确命题的个数为()
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β；
③若l⊥n，m⊥n，则l∥m；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]①若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，不正确；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或为异面直线，不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，由面面垂直的性质定理得n⊥α，因此正确．综上可知只有②④正确，故选B.
[答案] B
4．(2018·福州泉州二模)在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()
[解析]如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG 垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.
[答案] D
5．(2018·江西赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()
A．直线AC上B．直线AB上
C．直线BC上D．△ABC内部
[解析]连接AC1，如图：
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，
∴AC⊥平面ABC1，
又AC在平面ABC内，
∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上，故选B.
[答案] B
6．[原创题]如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，D 是棱PB的中点，已知P A＝BC＝2，AB＝4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为()
A．－
30
10 B.
30
5
C．－30
5 D.
30
10
[解析]
如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝
DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝1
2PC.故∠EDA为异面直线PC，
AD所成的角或其补角．因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AC，P A⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝BC2＋BA2＝22＋42＝25；在Rt△P AC中，
PC＝P A2＋AC2＝22＋(25)2＝2 6.故DE＝1
2PC＝ 6.在Rt△P AB
中，PB＝AB2＋P A2＝42＋22＝25；又PD＝DB，所以AD＝1
2PB ＝ 5.在Rt△EAB中，AE＝AB2＋BE2＝42＋12＝17.在△DAE中，
cos∠ADE＝AD2＋DE2－AE2
2AD×DE
＝
(5)2＋(6)2－(17)2
25×6
＝－30
10.设异面
直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ＝|cos∠ADE|＝30
10
，故选D.
[答案] D
二、填空题
7．(2018·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
[解析]根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F
是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.
[答案] 2
8．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
[解析]过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG中(其中D、E、F、G分别为AC，BC，B1C1，A1C1的中点)．易知经过D、E、F、G 中任意两点的直线共有6条．
[答案] 6
9．(2018·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为2，则点M到平面ABC的距离为________．
[解析]
在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝3，
