第三讲 线性规划的二阶段法(Max型)

则它的辅助问题为
线性规划的二阶段法举例（ 线性规划的二阶段法举例（例1-2） ）
则辅助问题的单纯表 T(B1)
T(B2)
XB b y1 6 y2 4 y3 3 -w’ 13 y1 x1 y3 2 4 3 5
X1 X2 X3 X4 X5 X6 y 1 y 2 y 3 1 1 0 1 0 1 1 -1 -1 -1 1 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 -1 1 1 0 -1 0 0 1 1 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0
线性规划的二阶段法(初始单纯形表 线性规划的二阶段法 初始单纯形表1) 初始单纯形表
a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 a a ... a 0 1 ... 0 辅助问题的系数矩阵 2n = 21 22 A ... ... ... ... ... ... ... am1 am 2 ... amn 0 0 ... 1
大M 法（3 ）
min Z = 3x1－x3 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2 x + x x x = 1 1 2 3 5 S .T . 3x2 + x3 = 9 x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5
maxZ = 3x1 + x3 My2 My3 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 的辅助问题也可Hale Waihona Puke Baidu示成 2x + x x x + y = 1 1 2 3 5 2 S.T . 3x2 + x3 + y3 = 9 x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5, y j ≥ 0
2 2 0 1 0 0
-w’
1 2 0 -1 1 -1 2 1
1 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 -2 0
二阶段法举例（ 二阶段法举例（例1-3） ） T(B2)
XB y1 x1 y3
b 2 4 3 5 2 4 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6 y 1 y 2 y 3 0 1 2 1 0 -1 0 1 -1 0 2 1 0 1 2 1 0 -1 0 0 -3 0 0 -3 1 1 0 0 -1 0 0 0 -1 1 1 -1 1 1 0 0 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0 1 -2 0 -1 0 1 0 1 1
m a x Z = 3 x1 + 2 x 2 + x3 x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6 x3 x5 = 4 x1 s.t . x 2 x3 x6 = 3 x j ≥ 0 ( j = 1,..., 6 )
解: 化原问题为标准形式
m in w = y1 + y 2 + y 3 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + y1 = 6 x x3 x5 + y 2 = 4 1 s .t . x 2 x3 x6 + y 3 = 3 x j ≥ 0 ( j = 1,..., 6 ), y i ≥ 0
(1)最优单纯形表 最优单纯形表T(B*)中基变量中不含人工变量 中基变量中不含人工变量y, 最优单纯形表 中基变量中不含人工变量
则把T(B )中 人工变量所在列划去,把检验数行用 则把T(B*)中 人工变量所在列划去,把检验数行用 原规划的目标函数的系数替代再把基变量的检验数 化为0,即得原规划的一个可行基的单纯形表 化为 即得原规划的一个可行基的单纯形表. 再用 即得原规划的一个可行基的单纯形表 单纯形法迭代,直到终止 直到终止. 单纯形法迭代 直到终止 (2)最优单纯形表 最优单纯形表T(B*)中基变量中含有人工变量 中基变量中含有人工变量y, 最优单纯形表 中基变量中含有人工变量 此时又有两种可能 又有两种可能: 为基变量, 此时又有两种可能 设yr为基变量
二阶段法的计算步骤: 二阶段法的计算步骤 第一步 用单纯形法求辅助问题的最优单纯形表T(B*) 用单纯形法求辅助问题的最优单纯形表 最优值W 和最优值 *. 则原线性规划无可行解,停止求解 第二步 若 W*＞0,则原线性规划无可行解 停止求解 则原线性规划无可行解 停止求解, 否则转第三步. 否则转第三步 第三步 T(B*)中基变量中不含人工变量 则把T(B*)中人 中基变量中不含人工变量y,则把 中人 中基变量中不含人工变量 则把 工变量所在列划去,把检验数行用原规划的目标函 工变量所在列划去 把检验数行用原规划的目标函 数的系数替代再把基变量的检验数化为0,即得原 数的系数替代再把基变量的检验数化为 即得原 规划的一个可行基的单纯形表.再用单纯形法迭 规划的一个可行基的单纯形表 再用单纯形法迭 直到终止.否则转第四步 代,直到终止 否则转第四步 直到终止 否则转第四步. 中基变量中含有人工变量y 第四步 W*=0,T(B*)中基变量中含有人工变量 r,若yr所在 中基变量中含有人工变量 若 行的对应的X系数全为 则划去 系数全为0 则划去T(B*)中yr所在行 行的对应的 系数全为 ,则划去 中 和所在的列,转第三步 否则以某变量X 转第三步。 和所在的列 转第三步。否则以某变量 S的系数 brs≠0为轴心项进行换基迭代后转第三步。 为轴心项进行换基迭代后转第三步 为轴心项进行换基迭代后转第三步。
max Z = CX My1 My 2 My m a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n + y1 = b1 a x + a x + + a x + y = b 22 2 2n n 2 2 21 1 ( LP1) S .T . a x + a x + + a x + y = b m2 2 mn n m m m1 1 X ≥ 0, Y ≥ 0
线性规划的二阶段法(3) 线性规划的二阶段法 (2)最优单纯形表 最优单纯形表T(B*)中基变量中含有人工变量 中基变量中含有人工变量y, 最优单纯形表 中基变量中含有人工变量 又有两种可能: 为基变量, 此时又有两种可能 此时又有两种可能 设yr为基变量 (i)yr所在行的对应的 系数全为 ,则表明原规划的 所在行的对应的X系数全为 则表明原规划的 系数全为0 划掉y 第R个约束条件是 多余的 划掉 r所在行 个约束条件是 多余的,划掉 所在行. (ii)yr所在行的对应的 系数有不为 ,比如 S的系数 所在行的对应的X系数有不为 比如 系数有不为0 比如X brs≠0,则强迫 XS入基 r出基 进行换基迭代 进行换基迭代. 则强迫 入基,y 出基,进行换基迭代
B = ( Pn +1 Pn + 2 ... Pn + m ) b = ( b1 b 2 ... b m ) T
C = (0 0 ... 0 1 1 ... 1)
C B = ( 1 1 ... 1)
m i =1 i2
C B 1 A = ( C B
∑a ,∑a
i =1 i1
m
,...,∑ain ,0 ,0, ...,0)
i =1
m
线性规划的二阶段法(初始单纯形表 线性规划的二阶段法 初始单纯形表2) 初始单纯形表
XB y1 y2 ： ： ym b b1 b2 ： ： bm
m
X1 a11 a21 ： ： am1
m
X2 …… a12 a22 ： ： am2
m
Xn a1n a2n ： ： amn
m
y1 1 0 ： ： 0 0
线性规划的二阶段法(1) 线性规划的二阶段法
max Z = CX 原线性规划问题为 ( LP ) AX = b S .T . X ≥ 0 第一阶段: 构造原 构造原(LP)的辅助问题 的辅助问题 minW = y1 + y 2 + + y m a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + y1 = b1 a x + a x + + a x + y = b 22 2 2n n 2 2 21 1 ( LP1) S .T . a x + a x + + a x + y = b m2 2 mn n m m m1 1 X ≥ 0, Y ≥ 0 y1， y2，…， ym称为人工变量 ，
第一章 线性规划与单纯形法
第5节 单纯形法的进一步讨论 节
线性规划的二阶段法 在讨论单纯形法时，我们总是假定AX＝ 的系数矩阵A 总是假定AX 在讨论单纯形法时，我们总是假定AX＝b的系数矩阵A 的秩r(A)=m<n, 或者已有一个可行基。 但是， r(A)=m<n,或者已有一个可行基 的秩 r(A)=m<n, 或者已有一个可行基 。 但是 ， 在许多 问题中，初始可行基是不容易找到的，或者A不满秩。 问题中 ， 初始可行基是不容易找到的 ， 或者 A 不满秩 。 这样单纯形法就很难进行。 这样单纯形法就很难进行。 所以，我们要探讨如何寻找第一个可行基？ 所以，我们要探讨如何寻找第一个可行基？ 目前有两种方法：大M法和二阶段法。 目前有两种方法： 二阶段法。 人 工 变 量 法
线性规划的二阶段法(2) 线性规划的二阶段法 情况1 则原线性规划无可行解,停止求解 则原线性规划无可行解 停止求解. 情况 若最优值 W*＞0,则原线性规划无可行解 停止求解 情况2 情况 则原线性规划有基本可行解, 若最优值 W*=0,则原线性规划有基本可行解 则原线性规划有基本可行解 此时有两种可能 有两种可能: 此时有两种可能
二阶段法的框图表示为如下: 二阶段法的框图表示为如下
开始 输入标准形式 单纯形法 换基迭代 NO 构造辅助问题L’ 构造辅助问题 得到辅助问题的 最优单纯形表 结束
构造辅助问题的 初始单纯形表 w*=0是否成立？ 是否成立？ 是否成立 Yes 基变量中含有y？ 基变量中含有 ？ Yes 基变量Y所在行 基变量 所在行X 所在行 的系数是否全为零 NO 强迫X入基 强迫 入基
a11x1 + a12x2 ++ a1n xn + y1 = b 1 a x + a x ++ a x + y = b 2n n 2 2 21 1 22 2 a x + a x ++ a x +y = b mn n m m m1 1 m2 2 X ≥ 0,Y ≥ 0
大M 法（1 ） 把原问题化为下列形式：其中M 把原问题化为下列形式：其中M是任意大的正数
大M 法（2 ）
min Z = 3x1－x3 x1 + x2 + x3 ≤ 4 2 x + x x ≥ 1 ( LP1) 1 2 3 S.T . 3x2 + x3 = 9 x j ≥ 0, j = 1,2,3
例
minZ = 3x1 x3 x1 + x2 + x3 + x4 = 4 2x1 + x2 x3 x5 = 1 S.T . 3x2 + x3 = 9 x j ≥ 0, j = 1,2,3,4,5
无可行解
划去基变量所 NO 在列可得 原 问题的单纯形 表 Yes
换基迭代
划去该Y所在的 划去该 所在的 行和所在的列
线性规划的二阶段法举例（ ） 线性规划的二阶段法举例（1） 用二阶段法求解下列(LP)问题 例1. 用二阶段法求解下列 问题
m in Z = -3 x1 - 2 x 2 - x 3 x1 + x 2 + x 3 ≤ 6 x x3 ≥ 4 1 s.t . x 2 x3 ≥ 3 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
y2 0 1 ： ： 0 0
…… …… ……
ym 0 0 ： ： 1 0
…… ……
……
…… ……
-w ∑ bi ∑ ai1 ∑ ai 2 … ∑ ain i =1 i =1 i =1 i =1
用单纯形法求解,最终得到辅助问题的最优单纯形表 用单纯形法求解 最终得到辅助问题的最优单纯形表T(B*) 最终得到辅助问题的最优单纯形表
min Z = 3x1－x3 + My1 + My2 + My3 x1 + x2 + x3 + x4 + y1 = 4 2 x + x x x + y = 1 1 2 3 5 2 S.T . 3x2 + x3 + y3 = 9 x j ≥ 0, j = 1, 2,3, 4,5, y j ≥ 0