浅谈自然辩证法和数学
摘要：数学也和自然界一样充满了矛盾,所以数学本身就是一部辩证法。宇宙间充满着矛盾和变化,矛盾表现在一切事物的各个方面。数学中也充满着矛盾和矛盾的互相转化。这种从一种形式到另一种相反形式的转变就是现实世界矛盾在数学中的反映。在初等数学中,加和减、乘和除、乘方和开方都是一对矛盾,是简单的矛盾,最初它们是绝对分离不能统一的,后来加减之间、乘除之间、乘方开方之间一切固有差别都消失了,它们都可以相互转化,用相反的形式来表示。
关键词：辩证法；数学；常数；变数
一、数学与辩证法
辩证唯物主义认为,物质世界无处不存在着对立统一,即任何事物都包含着矛盾,矛盾的双方既对立又统一,从而推动事物的变化和发展。对立统一法则是唯物辩证法最根本的法则。辩证唯物主义的哲学要求人们全面地看问题,因为一切客观事物是相互联系的,并且具有其独特的内部规律,不认识事物的相互联系,不认识事物的内部规律,得出的观点必然是主观主义的。要真正地认识事物就必须把握和研究它的一切方面、一切联系和媒介。数学所反映的数目关系和空间形式同样也充满着矛盾,充满着“对立统一”的内容。如:正数与负数,实数与虚数,乘法与除法,微分与积分,这些数量之间的关系都是对立统一的,是数学整体性的具体体现。事实上,数学整体性是一系列繁简不一、层次不同的具体数目和形体关系的内容,按一定逻辑和顺序组成的严密知识体系。强调数学的整体性,就是要使人们的头脑反映这种数学的整体性,使客观的东西逐步地变成主观的东西,用辩证唯物主义的观点、方法全面地看问题,对外界事物能够有正确的判断和清醒的认识,用丰富的想像力,高度的概括力,发挥智力的独创性,形成思维的完整结构和辩证唯物主义的科学世界观。
二、常数中的辩证法
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的学科。数和形的概念都是从现实世界中来的。人类认识数是从认识一、二、三……，这些自然数开始的,随着人类认识的发展、深化,对数的研究范围也就不断扩大,从自然数到整数,又到分数,后来又发现有些量不仅有大小的区别,还具有相反的意义,因而产生了正数与负数,它们是同时被定义的,是先认识清楚相反意义的量的基础上定义的。代数学上的负数,只是对正数而言,只是在和正数的关系中才是实在的。它们互相依存,互为前提,在一定条件下可以互相转化。因此在用正负数表示相反意义的量时必须先约定某一种意义为正。在特殊情况下我们所需要的仅仅是数量,即只考虑绝对值,这时正负就不起作用了。即使在有区别的情况下也只是一种规定,例如最简单的办法就是把坐标轴方向一改变,正就为负,负就为正。所以恩格斯指出:“正和负可以,作彼此相等的东西—不管把嘴方面当作正,把哪方面当作负,都一样的,”但是代数学的抽象把它们〔负数〕当作独立的实数,所以负数出现以后,正和负又是以安全平等的资格独立参加运算,因而负在运算中又起了一定的作用。例如,乘积的符号由乘数中负数的个数来决定,去括号时前面有负号就要
改变括号内各项的符号等等,这反映了负数积极主动的一面。由于负数的独立运算,推动了数
学的发展,扩大了数的范围,出现了虚数,但是在实数范围内研究问题时,又必须注意到根号下的式子必须是非负的数,不然又会出现许多错误。
对于常数“零”是无与有的对立统一体。在辩证法中,否定不是简单地说不,或宣布布某一事物不存在,或用任何一种方式把它消灭”。所以,辩证法中,否定是对一定事物有一定内容的否定。否定中包含着肯定。否定是发展。因而辩证法所理解的无,不是完全空洞的虚无,不是什么东西也没有,而是“某个特定的无”。“有”和“无”是对立统一的,无是对有的否定,它在否定旧事物的同时,产生新事物,肯定新事物的存在,因而这一否定同时又是肯定。“零是任何一个确定的盆的否定,所以不是没有内容的。相反地,零是具有非常确定的内容的。”也就是说零是特定的、具体的、丰富的,有确定内容的。零是一切正负数之间的界线。零本身也是一个数,在数轴上对应于原点。在坐标系中,零的位置十分重要,它决定着其他各点。由于原点选取的不同,曲线方程的简一单与复杂就不同。
三、变数中的辩证法
社会生产的发展推动了自然科学的发展,使数学从研究常数到研究变数。恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了……”。以后,牛顿、菜布尼兹完成了微积分,使数学进入了新的时期。冲破了过去那种孤
举个简单的例子，一物体运动的路程s 与时间t 的函数关系为s=s(t)求物体的运动速度。大家知道,在匀速运动时速度等于单位时间内通过的路程,但在变速运动中,速度不再是常数了,利用初等数学只能求出物体运动的平均速度,描写的只是物体运动在t ∆时间内的平均状况,而不能反映出t ∆时间内每一时刻的速度,即瞬时速度。瞬时速度是物体运动在某一时刻的速度,显然必须取0t ∆=,这时0s ∆=，瞬时速度0/0v =，因而什么结果也没有得到。初等数学走到了它的尽头,再也无法前进一步了。
问题的根源在于初等数学静止地、孤立地,即形而上学地研究问题的结果。它只孤立地考虑了物体在时刻t 一点的情况。而物体运动在某一时刻的速度是不能和它前后时刻隔裂开来的,隔裂开来就否定了运动本身,正像从物体运动在某一时刻(或某一位置)的一张摄影照片上看不出这物体的运动速度一样。恩格斯指出:“运动本身就是矛盾;甚至简单的机械的位移之所以能够实现,也只是因为物体在同一瞬间既在一个地方又在另一个地方,既在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动。”
从常数到变数,数学发生了巨大的转折。在上面的例子中s=s(t)已不再是一个或若干个孤立的t 和与其对应的一个或若干个孤立的s,而是一系列连续变化的t 和与其对应的一系列连续变化的s 。由此,在考察运动速度时, t ∆也不再是常数而是变数了。微分就是建立在这样的基础上的,即建立在变数的基础上,建立在运动和辩证法的基础上。
微分既是零又体现了变化过程。微分的本质正是这样一种“零”与“非零”的矛盾的对立统一。这个“零”与“非零”的矛盾的对立统一正是变量静止和变化的矛盾的对立统一的表现。微分必须达到零,即差值的消失,正反映了变量的静止的一面;而微分必须肯定变化过程,正反映了变量的变化的一面。微分反映了变量变化和静止的矛盾的对立统一。
四、辩证法对学习数学的帮助
用辩证唯物主义思想指导数学学习,有利于帮助提高辩证分析能力,理解数学系统关系的整体性。这种数学整体性的修养,有利于获得哲学观点和数学知识,同时,它也是发展思维结构整体性的基础。从事数学学习、研究与应用的人们应当成为辩证唯物主义者。数学作为人民生产活动知识的结晶,在人类历史上是一种起推动作用的力量,它在本质是同宗教蒙昧和唯心主义对立而同辩证唯物主义紧密相联的。它为现代科学技术的飞速发展提供了与日剧增的新材料,证明了辩证唯物主义哲学的正确数学是自然科学的一部分。数学工作者要想取得成功,首先必须自觉地学习和运用唯物辩证法这一锐利的思想武器,坚持唯物主义的理论,排除唯心主义和形而上学对数学研究的阻碍,在科学实践中捍卫和发展辩证唯物主义的哲学。当然,在这一过程中,也应划清一些界限:一是把数学性质的问题同哲学性质的问题区分开来,既要强调用唯物辩证法来指导,又不要搞“代替论”；二是要正确区分社会历史观与自然观,既要看到人们由于受社会的影响而存在唯心史观,又要看到大多数人在自己的数学研究中会自觉地存在唯物主义的倾向,努力把唯物辩证法这种高度科学的世界观和方法论运用到自己的数学研究中去,指导和推动科学技术的发展。数学发展的历史证明,数学愈向前发展,数学探索的难度就愈大,就愈需要更加准确的计算、更加精密的实验仪器和更加高超的哲学武器。进行创造性、探索性的数学研究工作,必须借助辩证唯物主义哲学思维。唯物辩证法是人类认识发展的最高度的概括,但它并不能自动地解决具体的数学问题,这里关键是要真正通晓唯物辩证法,勇于实践,善于探索,解决数学研究中的疑难问题。只有这样,才能确保数学研究方向的正确性,才能获得促进人类进步和幸福的数学成果。
五、总结
“自然界的一切归根到底是辩证地而不是形而上学地发生的。”“如果有了对辩证思维规律的领会,进而去了解那些事实的辩证性质,就可以比较容易地达到这种认识。无论如何,自然科学现在已发展到如此程度,以致它再不能逃避辩证的综合了。”所以只有坚持马克思的辩证唯物主义才能使自然科学研究沿着正确的路线前进,一旦背离了辩证唯物主义,就不可避免地陷入混乱和谬误的深渊,因此,在自然科学前进的路标上,我们同样应该写上:“遵循着马克思的理论的道路前进,我们将愈来愈接近客观真理；而遵循着任何其他的道路前进,除了混乱和谬误之外,我们什么也得不到。”
参考文献:
