矩阵与线性方程
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1 第一章 矩阵与线性方程组
在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。一次方程又称为线性方程。在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n 个未知量和m 个方程的线性方程组上去。矩阵是解决这类问题的重要工具之一。
1.1 矩阵及其运算
1.1.1 线性方程组及其矩阵表示
线性方程组（system of linear equations ）的一般形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
222212********* (1.1)
显见，二元一次方程组是其特款。方程组（1.1）中有m 个
方程、n 个未知量。a ij 代表第i 个方程中未知量x j 的系数，b i 是
第i 个方程的常数项。当常数项b 1 ，b 2 ，…，b m 全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组。
当m 、n 较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化
2 成如下的m 行n 列矩形数表
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ21
2222111211 如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得
到m 行n +1列矩形数表
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mn m m n n b a a a b a a a b a a a ΛM M M M M ΛΛ21222221111211 对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。
将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义。
定义1.1 将m×n 个数ij a （i =1,2,…,m;j =1,2,…,n ）排成一个矩形数表
A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ21
2222111211 (1.2)
称为一个m 行n 列矩阵(matrix)，简称为m×n 矩阵。其中横向各排称为行，纵
向各排称为列，m×n 个数叫作矩阵A 的元或元素；a ij 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。
式（1.2）也简记为：
A = (a ij )m×n 或 A = (a ij )
一般情况下，我们用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵。本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。
定义1.2 如果两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记为
3 A =B 。即如果A = (a ij )m×n , B = (b ij )m×n , 且a ij =b ij (i=1,2,…, m ; j=1,2,…, n ),则 A =B
我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。
定义1.3 设矩阵A = (a ik )m×l 的列数与B = (b k j )l×n 行数相同，则由元素
c i j =a i 1b 1j + a i 2b 2j +…+ a il b l j =∑=l
k kj ik
b a
1
(i=1,2,…, m ;
j=1,2,…, n )
构成的m 行n 列矩阵C = (c ij )m×n =(∑=l
k kj ik
b a
1
)m×n 称为矩阵A
与矩阵B 的乘积,记为 C=AB
如果记
A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ212222111211, x =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x M 2
1, b =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b M 21
则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程
Ax=b (1.3)
1.1.2 矩阵的基本运算及性质
需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具。矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算。
定义1.4 设有两个m×n 矩阵A = (a ij )m×n ，B = (b i j )m×n ，那么A 与B 的和记作A +B ，规定为
4 A +B =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ΛM M M M ΛΛ
2
21
12222
2221
211112121111 应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等时，这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m×n 矩阵） (1) A +B = B +A
(2) (A +B)+C=A+(B+C) 设矩阵A = (a ij ),记
－ A = (－a ij )
－A 称为矩阵A 的负矩阵, 显然有 A+(－A)=O 由此规定矩阵的减法为
A －B=A+(－B)
定义1.5 数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或A λ,规定为
λA=A λ=⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a
a a a λλλλλλλλλΛ
M M
M
M ΛΛ21
222
21
11211
设A 、B 为m×n 矩阵，λ、μ为数，数乘矩阵满足下列运算
规律
(1) (λμ)A =λ(μA ) (2) (λ+μ)A =λA +μA (3) λ(A+B )=λA +λB
这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。
下面给出一些矩阵基本运算的例子。
例1.1 设 A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-361531 B=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--83
0212
