福建省厦门2016－2017学年度下学期期末考试
高二数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．复数
i
i
+1（i 为复数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．抛物线y x 42
=上一点()1,a P 到焦点的距离是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．甲乙丙丁四人站成一排，要求甲乙相邻，则不同的排法是（ ）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
4．在一次投篮训练中，甲乙各投一次，设p ：“甲投中”，q ：“乙投中”，则至少一人没有
投中可表示为（ ）
A ．q p ?∨?
B ．q p ?∨
C ．q p ?∧?
D ．q p ∨
5．正方体1111D C B A ABCD -中，N 为1BB 中点，则直线AN 与C B 1所成角的余弦值为（ ）
A ．
10
5 B ．
5
5 C ．
10
10
3 D ．
10
10 6．已知正态分布密度函数(
)()()2
2
2,,x x x μσ?--
=
∈-∞+∞ ，
以下关于正态曲线的说法错误的是（ ）
A ．曲线与x 轴之间的面积为1
B ．曲线在u x =处达到峰值
σ
π21
C ．当σ的值一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移
D ．当u 的值一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越矮胖
7．若()
n
x -1的二项展开式中仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数的绝对值
之和是（ ）
A ．1
B ．256
C ．512
D ．1024
8．现有红、黄、蓝三种颜色供选择，在如图所示的五个空格里涂上颜色，，要求相邻空格不
同色，则涂色方法种数是（ ）
A ．24
B ．36
C ．48
D ．108
9．我国古代数学明珠《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
?--
-
2121
2中…即代表无限次重复，但原式是个定值x ，这可以通过方程x x
=-1
2解的1=x ,类比之，?+++222=（ ）
A ．2
B ．-1或2
C ．2
D ．4
10．已知函数(
)
1)(2
+++=x
e b ax x x
f 的大致图像如图所示，则b a 、的值可能是
（ ）
A ．2,1=-=b a
B ．2,3-==b a
C ．4,4==b a
D ．2,1-=-=b a
11．抛物线()022
>=p px y C ：与椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x E ：有相同的焦点F ，两条曲线在第一象
限的交点为A ，若直线OA 的斜率为2，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
2
B ．
2
2
6- C ．12- D ．
4
2
6+ 12．已知函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1≥x 时，x x x f ln )(=，若不等式)1()1(+≥+ax f e f x
对
任意的[]3,0∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]e e ,-
B ．???
???-3,
322e e
C ．?????
?-3,2e e
D ．(]e ,∞-
二、填空题：本大题
4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．5
221??
? ??+x x 展开式中的常数项是 ． 14．计算
()=+?-dx x x 22
cos ππ ．
15．已知
p ：m a ≤，q ：函数ax x x f -=2sin )(在??
?
???60π，上单调递减，若p 是q 的充分不必要条件，
则实数m 的取值范围是 ．
16．已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x C ：的右焦点()0,c F ，双曲线C 上一点N 满足c ON =||，若双
曲线的一条渐近线平分FON ∠，则双曲线两条渐近线方程是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分
10分）
教育部考试中心在对高考试卷难度与区分性能分析的研究中，在2007至2016十年间对每年理科数学的高考试卷随机抽取了若干样本，统计得到解答题得分率x 以及整卷得分率y 的数据，如下表：
（1）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（精确到）
（2）若以函数01.085.0-=x y 来拟合y 与x 之间的关系，计算得到相关指数87.02=R ．对比（1）中模型，哪一个模型拟合效果更好
参考公式：∑∑==∧
-?-=
n
i i
n
i i
i x
n x
y x n y
x b 1
2
2
1，.x b y a ∧
∧-=∑∑==∧
---
=n i i
n
i i i
y y
y y
R 1
2
12
2)()(1，参考数据：
,
036.0)
(,006.0)(,
429.1,89.1,5,7.32
10
1
101
10
1
2
10
1
101
10
1≈-≈-≈≈≈≈∑∑∑∑∑∑=∧
=====y y y y x y x y x
i i
i
i i
i i i i i i i i i
.
其中∧
i y 表示（1）中拟合直线对应的估计值．
18．（本小题满分
12分）
已知函数)0(6)(23>+-+=b b x ax x x f 在2=x 处取得极值． （1）求)(x f 的单调区间；
（2）若)(x f 有两个零点，求)(x f 在1=x 处的切线方程．
19．（本小题满分
12分）
某商场周年庆，准备提供一笔资金，对消费满一定金额的顾客以参与活动的方式进行奖励，顾客从一个装有大小相同的2个红球和4个黄球的袋中按指定规划取出2个球，根据取到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：
现有两种取球规则的方案： 方案一：一次性随机取出2个球； 方案二：依次有放回取出2个球．
（1）比较两种方案下，一次抽奖获得50元奖金概率的大小；
（2）为使得尽可能多的人参与活动，作为公司负责人，你会选择哪种方案请说明理由．
20．（本小题满分
12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，将CBD ?沿BD 翻折到EBD ?的位置．
（1）求证：直线⊥BD 平面ACE ；
（2）若二面角C BD E --的大小为?60，?=∠60DBE ，求直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．
21．（本小题满分
12分）
已知圆427)23(:22
=-+y x C 经过椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点21F F 、，点N 为圆C
与椭圆E 的一个交点，且直线N F 1过圆心C ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）直线l 与椭圆E 交于B A 、两点，点M 的坐标为()0,3．若3-=?，求证：直线l 过定点．
22．（本小题满分
12分）
已知函数R a ax x x f ∈-+=,)1ln()(． （1）讨论)(x f 的极值； （2）若ax e
ax
x f x
≤+)(对任意[)+∞∈,0x 恒成立，求实数a 的取值范围．（其中e 为自然对数的底数）