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高中数学知识要点重温（13）直线及线性规划
1．直线的倾斜角的范围：[0，)π，x 轴及平行于x 轴的直线倾斜角是0而不是π；y 轴及平
行于y 轴的直线的倾斜角为2π
而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会
求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k 与α同增同减，当α是钝角时，k
与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量（以=（m,n ）（m ≠0）为方向向量的直线的斜率为m n
）。关注斜率在求一类分式函数值域时
的运用。
[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线
倾斜角的一半，则直
线l 的斜率为： ． 解析：记直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，其斜率tan2α=43
⇒
43tan 1tan 22=-αα ⇒tan α=-3或tan α=31而由tan2α=43>0得2α是锐角，则α∈（0，4π），
∴tan α=31
。
[举例2] 函数
θθC o s S i n y +-=31的值域为 。
解析：记P （cos θ,sin θ）,A(-3,1)
则y=kPA ，P 点的轨迹是圆心为原点 的单位圆，如右图：当直线PA 与圆相切时，其斜率分别为0和43
-
，[ ∴y=kPA ∈[43-
，0]。注：这里存在一个kPA 在0与43-
“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。
[巩固1] 已知直线l ：02cos =++y x θ则l 倾斜角的范围是： 。
[巩固2]实数x,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则
的取值范围为 （ ）
A ．),34[+∞
B ．
]34,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- [迁移] 点P 是曲线
32
3+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ 2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在
的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一
次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3
个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。
“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴
上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点
的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在
的直线，但它的变形（“积式”）：))(())((112112x x y y y y x x --=--却能表示所有的直线。
“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。
[举例]已知直线l ：kx+y-k+2=0和两点A （3，0），B （0，1），下列命题正确的是
（填上所有正确命题的序号）。
①直线l 对任意实数k 恒过点P （1，-2）；
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P （1，-2）的直线；
③当k=±1及k=2时直线l 在坐标轴上的截距相等； ④若1300=+y x ，则直线)1)(2()2)(1(00-+=+-x y y x 与直线AB 及直线l 都有公共点；
⑤使得直线l 与线段AB 有公共点的k 的范围是[-3，1]；
⑥使得直线l 与线段AB 有公共点的k 的范围是-∞(，-3]∪[1，)∞+。
解析：①直线l ：y +2= - k （x -1）恒过P （1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当
k= -1时直线l 在坐标轴上的截距相反；④若1300=+y x ，则点M （x0,y0）在直线AB 上（截
距式），又点P （1，-2）在直线l ，而直线)1)(2()2)(1(00-+=+-x y y x 过点M ，P （两点
式），即与直线AB 有公共点M ，与直线l 有公共点P ；⑤⑥直线l 与线段AB 有公共点，不宜先
解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l 应在直线PA 到PB 之间，而其间有斜
率不存在的位置，故命题⑥正确。
[巩固]已知圆C ：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？[迁
移] 对任意实数m ，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆192
2=+m y x 恒有公共点，则m 的
取值范围是 。
3.“到角”的范围：（0，π），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有
关的问题；“夹角”的范围：（0，2π
]。两直线1l ：A1x+B1y+C1=0,2l ：A2x+B2y+C2=0平行、
垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：1l ⊥2l ⇔A1A2+B1B2=0，
若1l 、2l 不重合，则1l ∥2l ⇔A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及
斜率为0的情形。
[举例1]直线1l ：x=1到直线2l ：2x+y+1=0的角是： （ ）
A ．arctan2,
B ．arctan 21
C ．π- arctan2
D ． arctan(-21
)
解析：记直线1l 到2l 的角为α，直线2l 的倾斜角为β，作图可见α=β-2π
，tan α=-cot β =21
,故选B 。
[举例2]①已知P （x0,y0）是直线l ：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f （x0,y0）=0与直线l 的位
置关系是 ； ②设a 、b 、c 分别是⊿ABC 中角A 、B 、C 的对边，则直线:
0sin =++c ay A x 与直线0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是 。
解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f （x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f （x0,y0）≠0，即常
数项不同，故平行；②由正弦定理知：0sin sin =-B a A b ，故垂直。
[巩固]已知直线l1的方程为y=x ，直线l2的方程为y=ax+b(a,b 为实数)，当直线l1与l2夹角的
范围为［0，12π
)时，a 的取值范围是：
A.(33
,1)∪(1,3) ，B.(0，1) ， C.(33,3) ， D.(1,3)
[迁移]直线012=++y a x 与直线()
0312=+-+by x a 互相垂直，,,R b a ∈则||ab 的最小值
