1.9.2 Flux of a Vector Field
为了克服矢量线不能定量描述矢量场
的大小的问题，引入通量的概念。
矢量场在场中某一曲面s 上的面积分，称为
通过此曲面的通量，记做：F F ds a F ds F n s
s •=•=Ψ∫∫n a ：面元ds 法线方向的单位矢量也可认为通量是穿过曲面s 的矢量线总数，故矢量线也叫做通量线。
{右手螺旋法则闭合面外法线两个要素
矢量场通过闭合曲面的通量
物理上的场(无论是矢量场，还是标量场）都是相应的源作用的结果。
矢量场通过闭合曲面通量的可能结果与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源。
矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。
在M 点，（1）若，则该点有发出通量线的
正源；（2）若，则该点有吸收通量线的负
源；（3）若，则该点无源。
div 0F >
div 0F <
div 0F =
若某区域内的所有点上矢量场的散度都为零，则称该区域内的矢量场是连续的( continuous vector field ) 或
无散的( 螺线管式) 矢量场( solenoidal vector field ) 。
例如磁场。
j
v ∆ni
a nj
a i
v ∆
()()lim i
i
i i ni i
s s v F ds F a ds F v ∆∆∆→∆Ψ=•=•=∇•∆∫
∫
i ∆Ψ：从体积元内穿出的通量
i
v ∆再考虑与相邻的体积元，也有
i v ∆j v ∆0
()()lim j
j
j j nj j
s s v F ds F a ds F v ∆∆∆→∆Ψ=•=•=∇•∆∫
∫
∴由和组成的体积中穿出的通量为
i v ∆j v ∆0
()()()()lim lim i
j
i j i j ni nj s s v v F v F v F a ds F a ds
∆∆∆→∆→∇•∆+∇•∆=•+•∫∫
j
v ∆ni
a nj
a i
v ∆0
()()()()lim lim i
j
i j i j ni nj s s v v F v F v F a ds F a ds
∆∆∆→∆→∇•∆+∇•∆=•+•∫∫
注意：
和有一部分是公共面BEGJ 。在公共面上
值
相同，但。计算总
通量时，公共面上的面积分值
相互抵消。等式右边的积分值
等于由和组成的体积的
外表面上的通量。
i s ∆j s ∆ni nj a a =−
F i s ∆j s ∆
j
v ∆ni
a nj
a i
v ∆
1.10.1 Circulation of a vector field
，其方向取决于闭合曲线的环绕方向
°环量是一个标量，其大小与矢量场的分布、所取的
积分环绕方向有关。
°
若在矢量场中沿任意闭合路径的环量恒为零，则
场中不可能有旋涡源。这种类型的场称为保守( conservative )场或无旋( irrotational ) 场，如静电场。
°
若矢量场的环量不为零，即认为场中有产生这种场
的旋涡源。例如，在静磁场中，沿围绕稳恒电流的闭
合路径的环量不等于零，电流是产生磁场的旋涡源。
H
结论：标量函数的梯度的旋度恒等于零。因为是一个矢量函数，所以可得出推论：f ∇0
f ∇×∇≡如果矢量函数的旋度恒等于零，则这个矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。
