天水师范学院拓扑学
考试试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1、设X={a , b , c }，T ={φ，{a },{b , c },{a , b , c }，则拓扑空间(X ，T )是( ).
(A) T 1空间 (B) 正则空间 (C) Hausdorff 空间 (D) T 0空间
2、设X 是拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则下列说法错误的是( )
（A ） C 是最大的连通子集 （B ） C 一定是闭集
（C ） C 一定是开集 （D ） C 可能是既开又闭的子集
3、设X={x ，y ，z }，A ={x }，T ={φ，{x }，X}是X 上的拓扑，则d(A )=( )
(A) {y ，z } (B) {x ，z } (C) {x } (D) {x ，y ，z }
4、下列说法正确的是( )
(A) 实数空间R 是紧致空间
(B) 有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是连通的
(C) 单位圆周S 1
与实数空间R 同胚
(D) 可分空间在连续映射下的像也是可分的
5、设X 是离散空间，则（ ）
(A) X 是连通空间 (B) 对任一拓扑空间Y ，映射 X →Y :f 都连续
(C) d(A )=φ，A 是X 的任意子集 (D) X 是可分空间
6、设X 是拓扑空间，A ，B ? X ，则（ ）
(A) )())((A d A A d d Y ? (B) ____________B A =B A I I
(C) οοοY Y B A B A )(= (D) )()()(B A d B d A d ∩?∩
7、下列说法错误的是 ( )
(A) 拓扑空间的离散性是可遗传的 (B) 拓扑空间的连通性是可遗传的
(C) 拓扑空间的第一可数性是可遗传的 (D) 拓扑空间的第二可数性是可遗传的
8、设Y 是拓扑空间X 的子空间，则（ ）
(A) 若A 是Y 中的开集，则A 也是X 中的开集
(B) 若X 是局部连通空间，则Y 也是局部连通空间
(C) 若Y ?A ，则A 在X 中的闭包也是A 在Y 中的闭包
(D) 若T 是Y 上的相对拓扑，则T 是使内射X →Y :Y i|连续的最小拓扑
二、判断题（本大题共8小题，每小题2分，共16分 ）
1、如果Y 是拓扑空间X 的连通子集，则___
Y 也是X 的连通子集． （ ） 2、实数空间R 是连通空间但不是局部连通空间． （ ）
3、T 1空间中的有限子集都不是闭集． （ ）
4、A 1空间中的的聚点可以用序列收敛的性质来刻画． （ ）
5、Y X f →:是映射，则对任意的X A ?， A A f f ?))((-1． （ ）
6、Hausdorff 空间中的收敛序列只有一个极限点． （ ）
7、连续映射下保持的性质就是拓扑不变性质． （ ）
8、X 是连通空间当且仅当X 中存在既开又闭的非空真子集． （
三、简述和证明（本大题共3题，共34分 ）
1、设X 是拓扑空间，R 是X 上的一个等价关系；验证 （10分）
}X )( | /{-1中的开集是V p R X V T ?=
是商集X/R 上的拓扑，并证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑
2、叙述“粘接引理”并给予证明．（10分）
3、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性．（
14分） 四、证明题（本大题共3题，共26分 ）
1、证明单位圆周1S 和球面2S 不同胚．（6分）
2、证明实数空间R 是连通空间. （10分）
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，Y →X :f ，证明以下条件等价：（10分）
(1) f 连续．
(2) 对Y 的任意子集B ，都有οο))(( )(-1-1B f B f ?．
1、B
2、C
3、A
4、D
5、C
6、A
7、B
8、D
1、√
2、×
3、×
4、√
5、×
6、√
7、√
8、×
1、设X 是拓扑空间，R 是X 上的一个等价关系；验证
}X )( | /{-1中的开集是V p R X V T ?=
是商集X/R 上的拓扑，并证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑． （10分） 证明：先证T 是商集X/R 上的拓扑；
事实上，因为R X R X p p /)/( ,)(-1-1==φφ，所以T R X ∈/ ,φ；设T V U ∈ ,，由T 的定义知，)( ),(-1-1V p U p 都是X 中的开集，从而)()()(-1-1-1V p U p V U p I I =是X 中的开集，即T V U ∈ I ；T T ??1，因为1T V ∈? ，)(-1V p 是X 中的开集，于是
)()(-1-1V p V p T V T V 11∈∈=Y Y 是X 中的开集，即T V T V ∈∈1Y ．
下面证明T 是使自然映射R X X p /:→连续的最大拓扑；
事实上，设τ是商集X/R 是使自然映射连续的任一映射；对τ∈?V ，则)(-1V p 是X 中的开集，由T 的定义知，T V ∈，于是T ?τ．
2、叙述“粘接引理”并给予证明．（10分）
粘接引理：设A 和B 是拓扑空间X 中的两个开集（闭集），且B A Y =X ．Y 是一拓扑间，Y B f Y A f →→: ,:21是两个连续映射，并且满足条件B A B A f f I I ||21=，定义映射Y X f →:如下：
{B x x f A
x x f x f ∈∈= )( )( )(21
则f 是一个连续映射.
证明：首先、由条件知f 的定义是确切的．
其次、对Y 的任意子集Z ，因为A Z f Z f I )()(-1-1=1且B Z f Z f I )()(-1-1=2，所以
)()()(-1-1-1Z f Z f Z f 21Y =
最后，对Y 的任一开集U ，因为21f f ,都连续，于是)( ),(-1-1U f U f 21分别是A 和B 中的开集，由于A 和B 都是开集，所以)( ),(-1-1U f U f 21也都是X 中的开集，从而
)()()(-1-1-1U f U f U f 21Y =是X 中的开集，故f 是连续映射．
3、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性．（14分） 答：设X 和Y 是拓扑空间，X ∈x ，若X 中的序列}{n x 收敛于x ，则映射Y →X :f 在x 处连续蕴含Y 中的序列)}({n x f 收敛于)}({x f ，但反之不成立．
事实上，（1）假设X 是可数补空间，则X 中的序列}{n x 收敛于x ?存在正整数M ，当n>M 时x x n =．必要性显然，下面只证充分性；假设x x n →，则} ,|{+∈≠=Z n x x x D n n 是一个可数集，于是'D 是x 是的一个开邻域，从而存在正整数M ，当n>M 时，有'D x n ∈，即有x x n =．
（2）设X 是实数集做成的可数补空间，R X :→i 是X 到实数空间R 上的恒同映射，取X 中的序列}{n x ，并设}{n x 收敛于x ，由（1）知，存在正整数M ，当n>M 时，x x n =；因为)M ( )( )(>===n x i x x x i n n ，所以序列)}({n x i 在R 中也收敛．但是，因为每个包含)(x i 的开区间U （U ≠R ），)U (-1i 不能作为X 中任何一点的邻域，因而说明i 在x 处不连续．
1、 证明：假设1S 和2S 同胚，则存在同胚映射21S S f →:，在1S 任取两点a ，b
（a ≠b ），则)}(),({\},{\:|},\{b f a f S b a S f b a S 211→也是同胚映射，但},{\b a S 1不连通而
)}(),({\b f a f S 2连通，这于连通性是拓扑不变性矛盾。
2、证明：假设R 不连通，则R 有两个非空闭子集A 和B ，使得R =A Y B 且A ∩B=φ，B b A a ∈∈? ,，记]b ,[ ],b ,[1a B B a A A ∩=∩=1，则] ,[b a B A =11Y 且φ=11B A I ；因为b 是A 的上界，所以1A 有上确界1b ，且由1A 是闭集知11A b ∈；如果1b b =则有
φ=∈111B A b I ，矛盾，所以1b b >，从而11B b b ?] ,(；又因为1B 是闭集，所以11B b ∈；即111B A b I ∈，这与φ=11B A I 矛盾．
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，Y →X :f ，证明下面两个条件等价：（10分）
(1) f 连续．(2) 对Y 的任意子集B ，都有οο))(( )(-1-1B f B f ?． 证明：1）?2) 设B 是Y 的任一子集，因为B B ?ο，所以)()(-1-1B f B f ?ο，由f 连续知)(-1οB f 是开集，因而οο))(()(-1-1B f B f ?． 2）?1）设U 是Y 中的任一开集，因为U U =ο，由（2）知οο))(()()(-1-1-1U f U f U f ?=，反之显然ο))(()(-1-1U f U f ?，从而ο))(()(-1-1U f U f =，即)(-1U f 是开集；这说明f 是连续映射．
教育部最新发布的2012年学科评估结果，对全国391所高校和科研机构的七大类、95个一级学科进行整体评分，为公众了解高校特色学科提供了一个相对权威、客观的渠道。以下是土木工程专业官方大学排名： A+等级 同济大学清华大学浙江大学哈尔滨工业大学重庆大学湖南大学东南大学西南交通大学河海大学 A等级： 上海交通大学西安交通大学山东大学天津大学华中科技大学大连理工大学中南大学东北大学华南理工大学福州大学新疆大学贵州大学南昌大学武汉理工大学太原理工大学西南大学 合肥工业大学北京交通大学郑州大学中国矿业大学广西大学中国矿业大学(北京) 南京农业大学北京工业大学华侨大学河南大学南京工业大学河北农业大学长沙理工大学石家庄铁道学院兰州理工大学安徽理工大学 , 河南理工大学河南工业大学广东工业大学沈阳建筑大学西安建筑科技大学西南科技大学汕头大学华东交通大学华北水利水电学院深圳大学长安大学兰州交通大学广州大学山东建筑大学西安科技大学山东科技大学安徽建筑工业学院浙江科技学院河北工程大学重庆交通大学北京建筑工程学院广西工学院苏州科技学院天津城市建设学院长春工程学院青岛理工大学河北建筑工程学院 *B+等级： 武汉大学四川大学吉林大学中山大学厦门大学北京航空航天大学兰州大学西北工业大学北京科技大学暨南大学哈尔滨工程大学南京理工大学燕山大学内蒙古大学河北大学浙江工业大学南京航空航天大学中国石油大学(华东) 中国石油大学(北京) 海南大学中国海洋大学黑龙江大学昆明理工大学西安电子科技大学中国地质大学(北京) 成都理工大学济南大学江苏大学北京林业大学中北大学湘潭大学内蒙古科技大学上海大学上海理工大学江南大学扬州大学河南科技大学哈尔滨工业大学（威海）南京林业大学宁波大学青海大学东北林业大学上海应用技术学院辽宁工程技术大学东北农业大学沈阳工业大学内蒙古农业大学华北电力大学（保定）浙江理工大学东北电力大学中国民航大学四川农业大学华南农业大学西安理工大学河北理工大学山东农业大学辽宁科技大学西南石油大学山东理工大学南昌航空大学中国地质大学(武汉) 西华大学河北工业大学集美大学中南林业科技大学长江大学福建工程学院四川理工学院烟台大学辽宁工业大学平顶山工学院武汉科技大学南华大学湖南工业大学安徽工业大学陕西科技大学湖北工业大学山东交通学院桂林理工大学内蒙古工业大学 大连水产学院三峡大学江西理工大学大连大学大连交通大学南京工程学院大连民族学院北方工业大学攀枝花学院湖南理工学院黑龙江科技学院武汉工程大学安徽工程科技学院盐城工学院河北科技师范学院黑龙江工程学
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级
点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
2012年实习班主任工作计划 张永龙 根据指导教师孙长军老师的指导结合我自己对班级管理的想法 我计划从以下六个方面展开我的八（6）班实习班主任工作！ 一、在前三天内了解学生的基本情况，包括学生的主体思想，学习现状，学习成绩，优秀学生和后进生。方式：找原班主任了解情况，开班干部会议，找学生个别谈话，悉心观察。 二、做好日常的班级工作，指导早读，检查卫生，批改周记，中下午有空找学生聊天，晚自习随堂自修或备课，深入班级，广泛接触学生。 三、了解班干部的个性与工作能力，督促班干部努力学习，提高成绩，指导班干部开展工作，发挥班干部模范带头作用。 四、开主题班会，教育引导学生，主题与与班主任、班干部协商，待定。 五、找后进生特别辅导，了解其家庭、学习、思想等各方面的情况，找出原因，耐心劝导，必要时进行家访，争取家庭的配合。 六、尊重、理解、宽容每一个学生，用心去爱他们 本班的班级的基本情况如下： 本班共有学生36人，女生19人，男生17人。该班在原任班主任的严格要求之下纪律良好，学生与老师积极配合，成绩整体水平较高，尤其是英语成绩在整个年级较为突出，但少数同学有偏科现象。班级气氛活跃，集体荣誉感强，学生对各种活动积极性高。班上有特
长的学生也较多，体育舞蹈声乐器乐等方面都有专门的特长生。学生对自己的将来有一定的打算，但也有一部分学生仍然缺乏自觉性，不能很好的约束自己，需要老师的时刻提醒与督促。班上的干部能起带头作用，在班级的日常管理中能起到很好的组织和督促作用。如检查日常卫生工作，组织好两操等，为老师分担了相当一部分工作。针对以上情况，我将在原班主任王李靖老师及孙长军老师的指导和帮助下，努力按照学校的各项规章制度，管理好整个班级，做好个人工作计划，有目的的开展活动，教育和引导好学生，争取做好实习班主任工作，并做好实习班主任工作总结。
习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路
连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）
1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。
天水师范学院临时用工管理办法 第一章总则 第一条为了适应劳动制度改革的需要，加强对临时用工队伍的管理，规范临时用工制度，提高临时用工队伍素质，利于我院教学科研和后勤服务工作的开展，根据《中华人民共和国劳动法》和甘肃省各级劳动行政部门对临时用工管理的有关规定精神，结合我院实 际，制定本办法。 第二条管理办法中所指的临时用工，包括院内各部门 后勤公司、校办产业除外 用学校经费列支工资，不纳入正式职工编制的临时工作人员。临时用工不包括教学岗位上聘用的具有专业技术职务的教师和勤工俭学的在校学生。 第三条学院临时用工分为计划内临时用工和计划外临时用工。计划内临时用工是指由用人部门申请，经人事处审批，部门使用管理，学院支付工资的用工；计划外临时用工是指由用人部门自主聘用，并自筹经费支付工资的用工。 第四条使用临时工必须依据本部门人员编制缺员情况，以及教学、科研、管理和服务工作的需要，严格控制使用范围和人数。各部门领导不得聘用与自已有亲属关系的人为本部门临时工。 第二章管理 第五条学院将根据发展情况，每年度核定一次临时用工计划。人事处是全院临时用工管理的归口部门，负责对全院临时用工的宏观管理。各部门应参照正式职工管理体制，对临时用工进行分级管理。
第六条计划内临时用工工资纳入学院工资基金管理。 第七条人事处核定全院使用行政经费列支工资的临时用工名额；根据国家劳动政策法规，建立和健全临时用工管理制度；制定、调整临时用工工资标准；审核临时用工的上岗资格；核定使用行政经费聘用的临时用工工资。 第八条用工部门制定临时用工的岗位职责；审查、选聘临时工，安排临时工的工作；检查临时工的《外出人员就业登记卡》或《失业证》、《计划生育证明》的有效期，并督促他们及时办理以上两证的年审；按时向人事处报告临时用工增减情况；负责对临时用工进行思想教育、岗位培训、工作考核等日常性管理工作。 第九条临时用工实行合同管理。由人事部门、用工部门与临时工签订合同，规定权利和义务。临时用工聘用聘用期限一般为 —— 年，期满后解聘，根据工作需求，可续聘，按规定重新办理聘用手续。全院临时用工部门应在每年 月和 月核对本部门实际聘用临时用工的人数和基本资料，对己发生变化（解聘、辞退）的人员应及时上报人事处。 第三章聘用 第十条聘用临时用工必须贯彻执行甘肃省政府规定的“先本地后外地，先城镇后农村 的用工原则，优先聘用天水市户口的失业人员、 下岗 人员和院内教职工的配偶、子女，保安人员原则上应从市内城镇复退军人中聘用。严格控制聘用外省劳动力。 第十一条被聘用的临时用工必须符合下列基木条件 、思想品德好、作风正派、遵纪守法及遵守国家计划生育政策；
拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）
六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，
天水师范学院2020年专升本考试 专业课考试大纲 土木工程专业 一、考试大纲内容 考试基本内容为《工程力学》和《结构设计原理》两大部分。试卷总分为200分，其中《工程力学》部分占120分，《结构设计原理》部分占80分。基本题型包括选择题、填空题、判断题、作图题、计算题等。 （一）《工程力学》 1、静力学 （1）静力学基本概念与物体受力分析 了解静力学基本概念；掌握约束和约束力；熟练画物体受力图。 （2）汇交力系 掌握汇交力系的合成，汇交力系的平衡条件。 （3）平面力偶系 了解力对点之矩矢、力偶矩矢、力偶的等效条件和性质；掌握力偶系的合成计算；掌握平面力偶系的平衡条件。 （4）平面任意力系 了解力的平移、平面任意力系向一点简化；熟练掌握平面任意力系的平衡条件；熟练掌握刚体系的平衡，能根据平衡条件，应用相应的平衡方程求出未知的约束力。 2、材料力学 （1）基本概念
了解材料力学的研究对象、基本假设；掌握外力与内力、正应力与切应力、正应变与切应变的概念。 （2）轴向拉伸和压缩 了解轴向拉伸和压缩的概念；熟练掌握轴力和轴力图、拉压杆的应力；熟悉拉压杆的强度条件、拉压杆的变形。 （3）扭转 了解扭转的概念；熟练掌握截面法求扭转轴的内力、扭转轴的内力图、圆轴扭转的变形和刚度计算。 (4)梁的弯曲 了解弯矩、剪力的概念；熟练掌握梁的内力计算及内力图的绘制；掌握荷载与内力图特征的关系；熟练掌握梁的正应力计算公式及正应力强度条件、矩形截面梁剪应力及强度计算。 (5)截面的几何参数 熟练掌握截面的形心位置、面积矩、截面的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径的计算、惯性矩的平行移轴公式；了解形心主惯性轴和主惯性矩、形心主惯性平面。 （二）《结构设计原理》 1．钢筋混凝土结构的基本概念及材料的物理力学性能 了解混凝土在长期荷载作用下的变形，掌握混凝土的强度、钢筋的主要力学性能。 2．结构按极限状态法设计的原则 了解极限状态设计的基本概念，熟悉荷载作用及荷载效应组合。 3．受弯构件正截面承载力计算 熟悉受弯构件正截面的破坏特征、正截面承载力计算的基本假定，熟练掌握单筋、双筋矩形截面受弯构件计算，了解T形截面受弯构件计算。 4．受弯构件斜截面承载力计算
习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ） 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的 个数为（ ） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间 三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个 连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数 其中为至多可数集 试证：(1) (), X 余可数 是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数 是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数 为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数 是Lindel?ff 空间(提示： 即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案。每小题2分，共50分)。 1、快速以太网的介质访问控制方法是（A ）。 A．CSMA/CD B．令牌总线 C．令牌环D．100VG-AnyLan 2、X.25网络是（A）。 A．分组交换网B．专用线路网 C．线路交换网D．局域网 3、Internet 的基本结构与技术起源于（B ） A.DECnet B.ARPANET C.NOVELL D.UNIX 4、计算机网络中，所有的计算机都连接到一个中心节点上，一个网络节点需 要传输数据，首先传输到中心节点上，然后由中心节点转发到目的节点，这种连接结构被称为（ C ） A．总线结构B．环型结构 C．星型结构D．网状结构 5、在OSI的七层参考模型中，工作在第二层上的网间连接设备是（ C ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 6、物理层上信息传输的基本单位称为( B ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 7、100BASE-T4的最大网段长度是：（ B ） A.25米 B. 100米 C.185米 D. 2000米 8、ARP协议实现的功能是：（ C ） A、域名地址到IP地址的解析 B、IP地址到域名地址的解析 C、IP地址到物理地址的解析 D、物理地址到IP地址的解析 9、学校内的一个计算机网络系统，属于（ B ） A.PAN https://www.doczj.com/doc/aa15516006.html,N C.MAN D.WAN 10、下列那项是局域网的特征（D ） A、传输速率低 B、信息误码率高
C、分布在一个宽广的地理范围之内 D、提供给用户一个带宽高的访问环境 11、ATM采用信元作为数据传输的基本单位，它的长度为（ D ）。 A、43字节 B、5字节 C、48字节 D、53字节 12、在常用的传输介质中，带宽最小、信号传输衰减最大、抗干扰能力最弱的一类传输介质是（C ） A.双绞线 B.光纤 C.同轴电缆 D.无线信道 13、在OSI/RM参考模型中，（ A ）处于模型的最底层。 A、物理层 B、网络层 C、传输层 D、应用层 14、使用载波信号的两种不同频率来表示二进制值的两种状态的数据编码方式 称为( B ) A.移幅键控法 B.移频键控法 C.移相键控法 D.幅度相位调制 15、在OSI的七层参考模型中，工作在第三层上的网间连接设备是（B ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 16、数据链路层上信息传输的基本单位称为( C ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 17、下面说法错误的是（ C ） A.Linux操作系统部分符合UNIX标准，可以将Linux上完成的程序经过重新修改后移植到UNIX主机上运行。 B.Linux操作系统是免费软件，可以通过网络下载。 C.Linux操作系统不限制应用程序可用内存的大小 D.Linux操作系统支持多用户，在同一时间可以有多个用户使用主机 18、交换式局域网的核心设备是（B ） A.中继器 B.局域网交换机 C.集线器 D.路由器 19、异步传输模式（ATM）实际上是两种交换技术的结合，这两种交换技术是 （ A ） A. 电路交换与分组交换 B. 分组交换与帧交换 C.分组交换与报文交换 D.电路交换与报文交换 20、IPv4地址由（ C ）位二进制数值组成。 A.16位 B.8位 C.32位 D.64位
考研B区院校排名 考研B区院校排名 1、兰州大学（ 34，985 工程， 211 工程，可以入户深圳） 2、云南大学（ 64，211 工程，可以入户深圳） 3、内蒙古大学（ 83，211 工程，可以入户深圳） 4、新疆大学（ 86，211 工程，可以入户深圳）广西大学（ 90，211 工程，可以入户深圳） 5、昆明理工大学（可以入户深圳） 以上综合排名在全国前 100 名 6、贵州大学（全国 103 名， 211 工程，可以入户深圳） 7、西北师范大学（可以入户深圳） 8、内蒙古农业大学 9、云南农业大学（可以入户深圳） 10、石河子大学（可以入户深圳） 11、宁夏大学（可以入户深圳） 12、广西师范大学（可以入户深圳） 13、云南师范大学（可以入户深圳）
14、新疆医科大学（可以入户深圳） 15、华南热带农业大学（已并入海南大学，可以入户深圳） 16、兰州交通大学（可以入户深圳） 17、内蒙古师范大学 18、兰州理工大学（可以入户深圳） 以上综合排名在全国 101 到 199 名 19、甘肃农业大学（可以入户深圳） 20、海南大学（可以入户深圳） 21、新疆农业大学（可以入户深圳） 22、西藏大学桂 23、林工学院（可以入户深圳） 24、青海大学 25、广西医科大学（可以入户深圳） 26、内蒙古工业大学（可以入户深圳） 27、西北民族大学（可以入户深圳） 28、昆明医学院 29、云南财经大学
30、青海民族学院 31、青海师范大学 32、贵州师范大学（可以入户深圳） 33、新疆师范大学 34、甘肃政法学院 35、桂林电子科技大学（可以入户深圳） 36、广西民族大学 37、云南民族大学 38、贵阳医学院（可以入户深圳） 以上大学综合排名在全国 201-299 名范围内39、云南中医学院 40、广西师范学院 41、大理学院 42、内蒙古科技大学
《基础拓扑学试卷》 试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（ ） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.
《拓扑学基础》复习题 单项选择题 下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ） A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射 设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=（ D ） A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 下列拓扑性质中，没有继承性的是( D ) A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间 下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ） A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ） A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-= B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ= C 、对x A ?∈，且有(,)B x A εφ?≠，则A 为X 中的一个开集 D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 填空题 若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。 实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。 设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。 实数空间 的一个基是 {( ,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。 设X 是一个拓扑空间，D X ?，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。 设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。 名词解释 紧致空间： 设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
天水师范学院普通话教学及测试工作管理暂行办法 一、普通话教学管理 （一）本课程教学目的是提高学生对“普通话”的认识及应用水平，通过普通话水平测试，为学生将来运用教师职业语言打下良好的基础。 （二）本课程教学范围包括师范类本、专科学生，专科生以公共必修课的形式上课，本科生以选修课形式上课。 （三）本课程授课内容：系统讲授普通话语音知识，突出方言语音的辩证，辅以大量的普通话语音训练，使学生尽快掌握普通话练习方法，迅速提高普通话应用水平。 （四）本课程以《甘肃省普通话水平测试培训教程》为教材和普通话水平测试用书。（五）本课程一般在新生入学后第一学期或第二学期由学生选课。周课时为2节，总学时为36课时，2个学分，期末以考查方式评定成绩。 （六）本课程在教学过程中，应鼓励口语表达能力较强的学生参加学校、省市及全国性的口语应用比赛，对少数优秀学生推荐他们从事口语表达的专业工作或继续深造报考相关院校的相关专业。 二、普通话测试管理 为了全面提高我院学生综合素质和能力，适应市场经济对人才的需求，根据国家教委和国家语委有关精神，决定在我院广泛开展推广普通话活动，并进行普通话水平测试。 （一）组织领导 经甘肃省语委批准，我院成立了普通话测试站，此站挂靠在教育学院，由教育学院院长任站长，主管普通话水平测试及教学工作。测试站下设普通话水平测试办公室，负责具体工作。（二）测试标准 按照国家语委颁布的《普通话水平测试大纲》，普通话测试以口语为主，以百分计分，采用个别测试的方法，整个试题分四部分，第一部分，朗读单音节字100个，测试时间3分钟，占10分；第二部分，朗读双音节词50个（以我省难点音为主，辅之以少数变调词、轻声词、儿化音等），测试时间3分钟，占20分；第三部分，朗读材料一篇，测试时间4分钟，占30分。第四部分，说话题，由应试者根据所抽取的题目，进行三分钟的说话内容，占40分。测试主要考查应试者的语音、语调、语汇、语法是否自然流畅，普通话规范程度如何。测试中如出现语音错误、漏读或加字词、停动或断句不当、语速过快或过慢、方言明显等均要适当扣分。 （三）对学生的要求 天水师范学院测试站的测试对象主要是全院师范类本、专科学生，同时适当对外承担一定量的测试任务。因此对全院师范类学生及外面考生的要求是一致的，达到二级乙等水平即可以取得普通话水平测试合格证书，工科类学生暂不要求。 （四）测试培训办法 测试站负责对全院学生及其他社会成员进行测试。根据甘肃省语委要求，测试时间定为每年的4月和11月进行。试卷由省语委统一印发。 普通话水平测试未达标者，测试站将举行相应的普通话强化班，提供再次学习培训的机会，利用晚上或双休日授课，帮助他们早日突破难关，拿到合格证书。 （五）注意事项 各二级学院要积极宣传推广普通话的重要意义，要求全体教师、干部、学生在工作、学习和生活中坚持讲普通话，结合学院校园精神文明建设，创造一个良好的工作、学习环境，使我院推广普通话工作达到一个新的水平。
《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y
的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。