高中数学不等式选讲解读课件人教版选修二

在推导过程中，要与几何结合，让学生多体会数形 结合的思想的渗透。 作用
（1）用于证明 （2）用于比较大小 （3）求最值
在求最值时，一定要把握好 “一定二正三相等”
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基本不等式（续）
若a,b为正数，则称： 扩充： 2 为调和平均
1 1 a b a 2 b2 为平方平均 2
ab 为算术平均 2 ab为几何平均
n维形式的柯西不等式：
2
2
2
2
2
3
（a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn ) 2
运用作商，比较方便
a abbcc (abc)
a b c 3
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综合法，与分析法
一般比较难的问题的情况下，通过分析法，寻找证 明的途径，用综合法书写格式 用分析法写题时，一定要注意书写的格式 变式数学在证明问题中可作适当的加深
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反证法与放缩法
反证法式涉及有关，“至少，有一个”，“不全，都是” 等这样叙述的不等式，往往可以考虑反证法。因为它的反 面情况很清楚，可作为条件。然后结合题目的条件，推出 矛盾。
难点：
含参数不等式的解法； 是学生掌握分类讨论思路的一个重要的途径
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第二讲 证明不等式的基本方法
比较法 综合法与分析法 反证法与放缩法
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比较法
作差法 步骤：
作差 化简 判断 结论
化简的结果一般为几个因式的积，或几个因式的平 方和或一个常数
等价复形作差法 作商法 ；如：
a, b, c R,
即n个实数a1,a2, …an 则有：
a1 a2 an a1 a2 an
系统地对绝对值运算的问题作总结。 对函数 y x a x b 的函数最值问题，可以借助三角不等式，还可以 借助数轴。
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绝对值不等式（续）
绝对值不等式解法：关键是把绝对值去掉
方法有：
（1）利用 的解集； （2）两边平方； （3）讨论； （4）利用函数图象； （5）零界点讨论法；
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从二维、三维到n维；从已知到未知，从严 密的代数证明到几何模型的结合，从数推广 到向量以及复数。 在教学和学习过程中要充分强调不等式的几 何背景及其意义，重点在于深刻理解不等式 的数学本质，在教学过程中尽量避免过分复 杂化和技巧化的代数恒等变形，以免冲淡主 题
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提纲
第一讲 不等式与绝对值不等式
则有：“调几算平”
ab a 2 b2 a 0, b 0时， ab 1 1 2 2 a b 2
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基本不等式（续）
推广到三个正数的算术几何均值不等式
推广前，先证明：
a, b, c R时，a3 b3 c3 3abc
在证明过程中，要作分解因式，难度大，先介绍 立方和（差），几二项式定理。
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2.证法有：配方法; 向量法；几何（三角形）法。 3. 柯西不等式应用要突出观察模型、构造模型。 4. 排序不等式的教学时，可展示 “探究—猜想— 证明—应用”的研究过程。 5.一些重要的不等式可以借助排序不等式得到简洁 的证明。 6.柯西不等式和排序不等式是新增内容，在教学中 一定要控制好难度。
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二维形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则 2 2 2 2 2 a b c d ac bd



柯西不等式的向量形式|α||β|≥|α·β| 三维形式的柯西不等式：
（a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 ) 2
不等式基本形式 基本不等式 绝对值不等式
第二讲 证明不等式的基本方法
比较法 综合法与分析法 反证法与放缩法
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提纲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二维形式 的柯西不等式 一般形式 的柯西不等式 排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
数学归纳法 数学归纳法证明不等式
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第一讲 不等式与绝对值不等式
不等式基本形式 基本不等式 绝对值不等式
反证法的学习应先复习四种命题，即证其逆否命题
放缩法
关键是放大或缩小需适度，否则就不能达到证明的目的， 因此他是技巧性很强的一种证明方法 学习好它的唯一途径，多练习各种题型的放缩，否则很难 短时间能放缩证明。对于证明不等式的具体问题来说，方 法是各种各样的，因此在教学中，一要多介绍证明方法， 二要一题多解，要防止思想方法单一性，要学会灵活多变。
不等式选讲教学中的注意点
舒林军
2008年2月
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我对不等式选讲的内容几点理解
这部分内容对文科生需要详细讲解，难度较 大；但对理科生来说只要把证明中的放缩法 和柯西不等式、排序不等式、以及贝努利不 等式作重点讲即可，其余作为复习。 对该部分内容相对独立，其中柯西不等式、 排序不等式是高中奥赛的内容，因此可以提 前上。 对该部分内容的难度深度，很难把握，对竞 赛辅导的教师都感到这块内容太难，本人认 为着重基础，适当扩充，杜绝变为数学竞赛 辅导。
进一步推广到n个正数的算术几何均值不等式，不 做证明。 在求最值时，拆，拼，凑需要一定技巧。需要多 练，才能掌握，有时，也可以求导方法求最值， 可结合数学
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绝对值不等式
在学习绝对值不等式时，一定要让学生多探究；如： 数轴方法；三角形方法；然后把数推广到向量，复 数等。 绝对值三角不等式可以推广到一般情形。
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不等式基本形式
共六条性质，给其命名为： 第一条：反身性 第二条：传递性 第三条：可加性 第四条：可乘性
推论：同相可加性
两边同乘以一个负数，不等号变号； 在两边同乘以一个字母时，一定要进行讨论； 推论：正数同向可乘性
第五条：正数可乘方性 第六条：正数可开方性
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基本不等式
两个基本不等式 ,
它们成立的条件是不同的：前者是两个实数，后 者是两个正数 等号成立的条件是相同的
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
重点：理解柯西不等式和排序不等式的数学意义、 几何背景及其在不等式证明中的简单应用。 难点：如何构建这两个不等式的模型来证明其它不 等式。 课时分配：一、柯西不等式 （2课时）；二、排序 不等式（ 2课时）。 本讲教学应强调的几个问题: 1.本节诸多不等式呈现次序是: 二维形式的柯西不等式→向量形式的柯西不等式→ 二维形式的三角不等式→柯西不等式的一般形式→ 一般形式的三角不等式;排序不等式。