7 随机时间序列分析一. 随机时间序列随机过程与随机序列时间序列的性质(1) 随机过程与随机序列随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,??????, xn，称它为随机序列{ xt }的一个现实随机序列的现实是一族非随机的普通数列(2) 时间序列的统计性质(特征量) 均值函数：某个时刻t 的性质时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t 和s 的统计性质时间序列的统计性质自相关函数二. 平稳时间序列模型所谓平稳时间序列是指时间序列{ xt, t=0,±1,±2,?????? } 对任意整数t，，且满足以下条件：对任意t，均值恒为常数对任意整数t 和k，r t,t+k 只和k 有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列平稳序列的特性方差自相关函数：自相关函数的估计平稳序列的判断一类特殊的平稳序列――白噪声序列随机序列{ xt }对任何xt 和xt 都不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布2. 随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归―移动平均模型（ARMA）(1) 自回归模型及其性质定义平稳条件自相关函数偏自相关函数滞后算子形式①自回归模型的定义描述序列{ xt }某一时刻t 和前p 个时刻序列值之间的相互关系随机序列{ εt }是白噪声且和前时刻序列xk （k相关函数AR(p) 自相关函数的拖尾性对AR(p) 模型，其自相关函数不能在某一步之后为零（截尾），而是按指数衰减，称其具有拖尾性举例④偏自相关函数⑤AR(p) 的滞后算子形式引进滞后算子B：一般有：(2) 移动平均模型及其性质定义自相关函数滞后算子形式①移动平均模型的定义在序列{ xt }中，xt 表示为若干个白噪声的加权平均和其中{ εt }是白噪声序列，这样的模型称为q 阶移动平均模型，计为MA(q) ②MA(1) 的自相关函数MA(q) 的自相关函数举例③滞后算子形式AR(p) 与MR(q) 的比较(3) 自回归移动平均模型定义性质滞后算子形式①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合②ARMA(p,q) 的性质ARMA(p,q) 兼有AR (p) 和ARMA(q) 的性质平稳条件：与AR (p) 相同，与MA 无关ARMA(1,1) 平稳条件ARMA(1,1) 的自相关函数ARMA(1,1) 的自相关函数③滞后算子形式性质总结三. 时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计时间序列预测1.模型识别与参数估计模型识别参数估计阶数的确定模型检验(1) 模型识别自相关函数截尾――MA(q) 自相关函数拖尾偏自相关函数截尾――AR(p) 偏自相关函数拖尾――ARMA(p,q) (2) 模型参数估计AR(p) 的最小二乘估计ARMA(p,q) 的最小二乘估计①AR(p) 的最小二乘估计②ARMA(p,q) 的最小二乘估计(3) 模型阶数的确定――MA(q) 或AR(p) 自相关函数的截尾偏自相关函数的截尾模型阶数的确定――ARMA(p,q) AIC 准则( Akaike info criterion) ARMA(n,n-1) 模型在确定平稳随机时间序列的阶数时，可以优先考虑ARMA(n,n-1) 模型，比如从ARMA(2,1) 试起，若拟合不好，考
虑用ARMA(3,2) ，以此类推原因：用Hilbert 空间算子形式的基本原理可以证明，对于任何平稳随机系统，可以用一个ARMA(n,n-1) 近似到想要表达的程度用差分方程的理论也可以证明，对于n 阶自回归，MA 的阶数为n-1 (4) 模型的检验2. 时间序列模型预测AR(1) 时间序列模型预测MA(1) 时间序列模型预测ARMA(1,1) 四. 非平稳时间序列与协整单整虚假回归协整误差修正模型非平稳时间序列举例随机游走随机游走序列的方差无穷大(1)单整差分：用变量的当期值减去其滞后值而得到新序列的方法单整：若一个非平稳的时间序列必须经过d 次差分之后才能变换成一个平稳的ARMA 时间序列，则称具有 d 阶单整性。记作单整性也称齐次非平稳性单整自回归移动平均模型随机时间序列经过d 次差分后变换成一个p 阶自回归、q 阶移动平均的平稳序列，则称为单整自回归移动平均序列，记作ARIMA(p,d,q) 也称为d 阶齐次非平稳时间序列，求和自回归移动平均序列，或综合自回归移动平均序列，或单积自回归移动平均序列(2)虚假回归两个相互独立的非平稳序列，如对和的一个现实，作如下一元线性回归：和相互独立，因此应该有但如果假设检验的结果是，即T 检验显著，这就是虚假回归问题。虚假回归的原因当两个相互独立的I(1) 序列进行回归时，回归系数的t 统计量不服从通常意义的t 分布，而是发散的（服从维纳Wiener 过程函数分布）(3)协整若时间序列一般来说，若但如果的单整阶数小于d，则称和存在协整关系协整的经济含义是什么？协整是对非平稳的经济变量长期均衡关系的统计描述均衡是一种状态，当一个经济系统达到均衡时将不存在破
坏均衡的内在机制当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点(4)误差修正模型0 5 10 15 -15 -10 -5 t 分布k=0 k=1,2,??????,q k>q 1 0 ρk k 0.5 1 2 3 的序列yt -1 1 3 5 t 其中AR(1) MR(1) 计为ARMA(p,q) 自协方差函数ARMA(p,q) 的自相关函数与AR(p) 一样，具有拖尾性特征根在单位圆外无条件平稳特征根在单位圆外平稳的条件拖尾截尾拖尾自相关函数可逆的条件偏自相关函数模型特征根在单位圆外特征根在单位圆外无条件可逆拖尾拖尾截尾ARMA(p,q) MA(q) AR(p) 模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否普通最小二乘法非线性最小二乘估计选择使AIC 最小的( p,q) 组合目的与标准：残差项是否为白噪声序列K 是自相关函数的个数* * t xt t xt k ρk k ρk 0 0 1 1 平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降是否平稳？均值为零？方差为有限常数？自协方差与t 无关？成立满足这两个条件成立仅与k 有关，与t 无关结论：时，一阶自回归序列渐进平稳两边同除以r0 耶尔-瓦克尔( Yule-Walker) 方程取k=1 取k=2 取k=3 1 0 ρk k 的序列t yt 20 耶尔-瓦克尔( Yule-Walker) 方程AR(p) 的偏自相关函数具有截尾性AR(p) 记或
