单元20 相对论动力学
一. 选择、填空题
1. 观测者甲以c 5
4的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L 、截面
积为S ，质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则
1) 甲测得此棒的密度为LS
m =
0ρ； 2）乙测得此棒的密度为LS
m 925=ρ。
2. 匀质细棒静止时质量为m 0，长度l 0，当它沿棒长方向作高速匀速直线运动时，测得长为l ，那么棒的运动速度2
)(
1l l c v -=；该棒具有的动能2
00
)1(
c m l l E k -=。
3. 设电子静止质量为M e ，若将一个电子从静止加速到速率0.6c ( c 为真空中光速)，需做功
2
4
1c M A e =。
4. 一静止质量为m 0，带电量为q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中加速，在时刻t 时它所获得的速度是
2
20
2
)(c
m qEt qEct +。
如果不考虑相对论效应，它的速度是
qEt m 。
经过时间t 加速后粒子的速度v 、质量2
2
0/1c v m m -=
根据相对论动量定理：mv qEt =，22
0/1c
v v m qEt -=
求得速度大小：2
20
2
)(c
m qEt qEct v +=
如果不考虑相对论效应，v m qEt 0=，0
m qEt v =
二. 计算题
1. 已知电子的静能为0.511 Mev ，若电子动能为0.25 Mev ，则它所增加的质量∆m 与静止质量m 0的比值近似等于多少
电子的相对论能量：0E E E k +=，k E E E E =-=∆0
k 2
E mc
E ==∆∆，2
k c
E m =
∆，
2
00
E E c
m E m m k k =
=
∆
∆m 与静止质量m 0的比值:
49.00
=∆m m
2. 某一宇宙射线中的介子的动能207c M E k =，其中M 0是介子的静止质量，试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。
因为k E mc
E ==2
∆∆，2
02
07)(c m c
m m =-，08m m =
，代入m m =
得到：
2
2
/11m m c
v =
-，
8/112
2
=-c
v ，代入2
2
/1c
v -=
ττ, 得到：08ττ=
3. 设快速运动的介子的能量约为MeV E 3000=，而这种介子在静止时的能量为MeV E 1000=，
若这种介子的固有寿命是s 60102-⨯=τ，求它运动的距离(真空中光速s m c /109979.28
⨯=)。
设固定在介子上的参照系为S ’。
根据2
00)(c m m E E -=-，将MeV E 3000=，MeV E 1000=和2
2
0/1c
v m m -=
代入得到
30/112
2
=-c
v ，介子运动速度：30
899c
v =
介子在S 系中的寿命：2
2
/1c
v -=
ττ，介子在S 系中运动的距离：2
2
0/1c
v v x -=
∆τ
将
30/112
2
=-c
v ，30
899c
v =和s 60102-⨯=τ代入得到：m x 4
108.1⨯=∆
4. 求一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量(用焦耳和电子伏特表示)。
已知它们的静止质量分别为： 质子;10
67262.127
kg m p -⨯= 中子;1067493.127
kg m n -⨯= 氘核;1034359.327kg m D -⨯=
结合前的系统的总能量：22
0p n E E m c m c ==+，结合后系统的总能量：20''c m E E D == 一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量：2
00)('c m m m E E E n p D --=-=∆
MeV E 224.2=∆
单元21狭义相对论习题课
一. 选择、填空题
1. 一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行，现宇航员希望将这路程缩短为3光年，则他所乘火箭相对于地球速度是： 【 C 】
(A)c 2
1； (B)c 5
3； (C)c 5
4； (D)c 10
9
地球上测得星球的距离50=l 光年，在做相对运动的火箭上观察3=l 光年，所以火箭的速度满足：
2
2
0/1c v l l -=，2
2153c
v -
=，解得：c v 5
4=
2. 如图XT_0061所示，在S 参照系中有一静止的正方形，其面积为100 cm 2
，现在正方形以0.8 c 的匀速度沿其对角线运动，S 系中所测得的该图形的面积是2'60s cm =。
在运动的正方形上建立S ’参考系，在该参考系中，正方形对角线的长度为a l 20=
在地面S 参考系中，对角线的长度： a c
v l l 26.0/12
20=-= —— 运动方向上发生收缩
S 参考系看到的是一个菱形，其面积：2
01
1'2()602
2
s l l cm =⨯⨯
= —— 如图XT_0061_01所示
3. π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是s 8
10
6.2-⨯，如果它相对实验室
以0.8 c 的速度运动，那么实验室坐标系中测得π+
介子的寿命是s 8
103.4-⨯=τ。
s c
v 8
2
2
10
3.4/1-⨯=-=
ττ
4. 如图XT_0062所示，S 系与S’系是坐标轴相互平行的两个惯性系，S’系相对于S 系沿OX 轴正方向匀速运动。
一根刚性尺静止在S’系中，与O’X’轴成300
角，今在S 系中观测得该尺与OX 轴成450
角，则S’系的速度是： 【 C 】
(A)
c 3
2； (B)
c 3
1； (C)
c 3
2； (D)
c 3
1
刚性尺静止于S’中，在O’X’轴投影：0'cos 30x l ∆=︒ 在O ’Y ’方向上的投影：0'sin 30y l ∆=︒ 在S 中观测到刚性尺在OX 轴投影长度：
2
20/130cos c v l x -︒=∆
—— 相对运动方向上，长度发生收缩
OY 方向上的投影不变：0sin 30y l ∆=︒—— 在没有相对运动的方向上，长度不发生收缩
tan 451y x
∆︒===∆
解得：c v 3
2=
二. 计算题
1. 一短跑选手在地球上以10 s 时间跑完100 m ，在与运动员同方向运动，飞行速度0.6 c 的飞船S’系中观测，这选手跑了多少距离？经历多长时间？速度的大小和方向如何？
在不同参考系中观察2个事件：事件1：选手开始起跑；事件2：选手到达终点。
在S 系中两个事件的时空间隔：100,10x m t s ∆∆==
在飞船S’参考系上: 2
2
/1'c
u t u x x -∆-∆=∆，m x 9
1025.2'⨯-=∆
经历的时间：2
2
2/1'c
u x
c
u t t -∆-∆=∆, s t 5.12'=∆
S ’系中选手的速度：s m t x v /108.1'
''8
⨯-=∆∆=，方向沿X’的负方向。
飞船S’测得的跑道的长度：2
2
2)6.0(
1100/1'c
c c u x x -=-∆=∆, m x 84'=∆
在S ’中选手跑过的距离不等于S ’中测得的跑道的长度。
2. 远方的一颗星体，以0.8 c 的速度离开我们，我们接收到它辐射出来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参照系测得的闪光周期。
如图XT_0087所示，地球参考系S 中接收到信号1的时刻：11l
t t c
∆=+
发射接收
—— l ∆：1t 发射时刻星体到地球的距离。
S 参考系中接收到信号2的时刻：
22l v t t t c
∆∆+=+
发射
发射接收
—— v t ∆发射：星体在时间间隔t ∆发射走过的距离。
S 系测得两个光信号发射的时间间隔与S’系中发射的时间间隔满足时间膨胀关系：
'5'3
t t t ∆∆∆=
=
发射发射
S 参考系中接收到两个信号的周期：21(1)v t v t t t t t c
c
∆∆=-=∆+
=+
∆发射
发射发射接收接收接收
'5
(1)
(1)'3'3
t v v t t t c
c ∆∆=+
=+
∆=∆发射发射接收 固定在星体上的参照系S’ 中测得的闪光周期为: 15'3
3
t t ∆∆==
发射接收 昼夜。
3. 在实验室参照系中，某个粒子具有能量J E 10102.3-⨯=、动量,/10
4.919s m kg P ⋅⨯=-求该粒子的静止质量、速率和在粒子静止的参照系中的能量。
根据能量和动量的关系：2
0222E c p E +=，2
00E m c =
kg c
c
p E m 27
42
2
2
010
68.1-⨯=-=
由质量和能量关系：2mc E =，kg c
E m 27
2
10
56.3-⨯==
由质速关系：2
2
0/1c
v m m -=
，解得：c c m
m v 88.0)(
12
0=-=
在静止参考系中的能量：MeV c m E 944200==
4. 粒子的静止质量为m 0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少？
根据题意，粒子的能量：002k E E E E =+=；粒子的质量：02
2
02
0222m c
c m c
E m ==
=
根据能量和动量关系：2222
0E p c E =+
22
22
2
00
02
2
2
(2)3E E E E E p c
c
c
--=
=
=
，2
00E m c =, 粒子的动量：c m p 03=。
