第2套量子力学自测题

对易，
而与体系的
无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体
系的
，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的
，无论该力学量是否守恒量。
二、（本题15分）
1．设全同二粒子的体系的Hamilton量为（1，2，），波函数为
（1，2，），试证明交换算符是一个守恒量。
2．设是一个幺正算符，求证是厄米算符。
3．设为Pauli矩阵，
，， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰：
求基态（n=1）能量的一级近似值。
如有必要，可利用积分公式。
六、（本题20分）
设表示一维谐振子的能量本征态，且已知
，
（1）求矩阵元。
（2）设该谐振子在t=0时处于基态，从t>0开始受微扰的作用。
求：经充分长时时以后体系跃迁到态的几率。
一、填空题
量子力学自测题2参考答案
1．矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加 2．力学量，Hamilton量，状态，状态，本征态 二、
1．证明 全同粒子的不可区分性体现在体系Hamilton量的交换对称 性。也就是说，
因此，
由此得到，
所以
2．证明
，为守恒量
因为是幺正的，
，
所以
因此
可见为厄米算符。
3．证明（1）
(2)由于 =
因此， =Tr=
其中，。因此，从基态跃迁振幅 经充分长时间后， 因此，跃迁几率为
量子力学自测题（２）
一、填空题（本题20分）
1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert空间中的
来描述，而力学量用
描述。力学量算符必为
算
符，以保证其
为实数。当对体系进行某一力学量的测量
时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于
。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于
的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的
三、证明 因为 由此得到
，， 因此， 可见，是的本征值为的本征函数。
四、解 先把用球谐函数展开如下： = = =
可见，体系的=1，m=0，1。因此，的可能测值为0或，出现0的几率 为 ，出现的几率为。的平均值为
五、解 受到微扰的作用后基态能量的一级修正值为 六、解（1） 利用公式： 得到
因此，
由此可见 （2）在一级近似下，体系从能级E0跃迁到En的跃迁振幅为，
（1）求证：
（2）试求：
三、（本题10分）
求证：是角动量平方算符的本征值为来自百度文库本征函数。
四、（本题15分）
设一量子体系处于用波函数所描述的量子态。
求：（1）在该态下，的可能测值和各个值出现的几率。
（2）的平均值。
如有必要可利用，
，。
五、（本题20分）
已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分 别为