现代信号处理第1章全解

WT x (a, b) a
1/ 2



x(t ) a , b (t )dt x(t ), a , b (t )


(1.4.4) (1.4.5)
Rxy ( ) x(t ) y (t )dt x(t ), y(t )

内积可视为 x(t ) 与“基函数”关系紧密度或相似性的一种度量。
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1.4 信号处理的内积与基函数
工程中获得的动态信号，它们的平稳性是相对的、局部的，
而非平稳性是绝对的、广泛的。
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.3.1 非平稳信号处理
正因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关，所以 对非平稳信号的处理必须同时进行时域、频域分析。
D. Gabor在著名的“通信理论”论文中生动形象地指 出：
小波变换(Wavelet Transform)
小波包分析(Wavelet Package Analysis)
循环平稳信号分析(Cyclostationary Signal Analysis) 经验模式分解(Empirical Mode Decomposition)和 希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform)
用技术。阐述平稳和非平稳信号的特点，信号 数学变换的本质，信号正交分解的物理意义和 工程背景。内容包括信号的时域分析、频域分 析、循环平稳信号分析、时频分析、小波变换
及第二代小波变换、经验模式分解等。列举了
所介绍的方法和技术在工矿企业中机电设备动 态分析与监测诊断方面的应用实例。
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按照信号取值随时间变化的特点，信号可以分 为确定性信号和随机信号：
1、确定性信号——所有参数都已经确定。
2、随机性信号——在取值时刻以前不可准确预知。
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1.2 信号的分类
1.2.1 确定性信号
确定性信号
周期信号
非周期信号
正弦周期信 号
复杂周期信号
准周期信号
1.4 信号处理的内积与基函数 1.5 现代信号处理的应用现状与进展
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1.1 现代信号处理的内容和意义
信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、 人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的 属性。 信号处理的本质是信息的变换和提取。 信息的提取就要借助各种信号获取方法以及信号处理 技术。 信号测量系统和信号处理的工作内容的成本已达到装 备系统总成本的50%-70%。
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第一章 绪论
1.1 现代信号处理的内容和意义
1.2 信号的分类
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.4 信号处理的内积与基函数 1.5 现代信号处理的应用现状与进展
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
m n
(1.3.1)
称该函数系为区间[a, b]上的正交函数系，式中*表示共轭。 如果还满足
1 b 1 b 2 m (t )m (t )dt m (t ) dt 1 a a ba ba
(1.3.2)
就称该函数系为区间[a, b]上的标准(规范)正交函数系。
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西安交通大学研究生创新教育系列教材
现代信号处理技术及应用
Modern Signal Processing Technology and Its Application 何正嘉 訾艳阳 张西宁
西安交通大学
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内容简介
介绍现代信号处理技术的基本原理和工程实
傅里叶级数具有两个独特的性质： 1、函数 x(t ) 可分解为无限多个互相正交的分量 gn (t ) : cnei n t 的和，其中正交是指 g m 与 g n 的内积对所有 m n 成立， 即 1 T /2 g m , g n : g m (t ) g n (t )dt 0 m n T / 2 T
1.3.1 非平稳信号处理
所谓非平稳性，是指信号的统计特性与时间变化有关； 信号的统计特性包括时域统计特性和频域统计特性 设备运行过程产生大量的非平稳动态信号：
1、故障发生或发展时将导致动态信号非平稳性的出现； 2、变工况机电设备，其运行状态具有非平稳性；
3、机电设备在运行状态的非线性及动态响应的非线性。


x(t )，y(t ) L2
(1.4.3)
函数 x(t ) 的自相关函数 Rxx ( ) ，以及 x(t ) 与函数 y(t ) 的互相关函数 Rxy ( ) ， ( 是时间滞后)，都可以用内积的方式表示如下：
Rxx ( ) x(t ) x (t )dt x(t ), x(t )
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.3.2 信号的正交分解
, , n (t ) ， 定义：函数正交是指一个函数系： 0 (t )，1 (t )， 其中每个函数都定义在区间[a, b]上的实函数或实变量的复 值函数，如果满足
1 b ( t ) m n (t )dt 0 a ba
“迄今为止，通信理论的基础一直是由信号分析的两种方法组成
的：一种将信号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数
(Fourier分析)。这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的 经历——特别是我们的听觉——却一直是用时间和频率两者来描述信 号的。”
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1.1 现代信号处理的内容和意义
信号处理技术的应用领域：

电子通讯； 机械振动信号的分析与处理； 自动测量与控制工程领域；
语音分析、图像处理与声纳探测；
生物医学工程。
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第一章 绪论
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
历史回顾

1807年法国的热学工程师Fourier根据他的实践，提出任 一函数都能够展成三角函数的无穷级数的思想； 1946年D. Gabor在傅里叶变换的基础上,提出短时傅里叶 变换的时频分析方法； 1984年法国从事石油信号处理的工程师J. Morlet为了克 服短时傅里叶变换的时窗选择问题，首先提出非平稳信 号处理的小波变换思想。
x(t )
n i n t c e n
(1.3.5)
常数 cn 称为傅里叶系数，定义为 1 T /2 cn x(t )e i n t dt T T / 2
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(1.3.6)
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.3.2 信号的正交分解
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第一章 绪论
1.1 现代信号处理的内容和意义
1.2 信号的分类
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.4 信号处理的内积与基函数 1.5 现代信号处理的应用现状与进展
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1.4 信号处理的内积与基函数
第一章 绪论
1.1 现代信号处理的内容和意义
1.2 信号的分类
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.4 信号处理的内积与基函数 1.5 现代信号处理的应用现状与进展
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第一章 绪论
1.1 现代信号处理的内容和意义
1.2 信号的分类
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
2、正交分量 g m 或 g n 可用一个简单的基函数 g1 (t ) 的整数m 或n的膨胀生成，线性累加逼近任何函数 x(t ) 。 小波变换中，通过母小波的伸缩和平移生成小波族。
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.3.2 信号的正交分解

在傅里叶变换中基函数是唯一的，而在小波变换中基函 数却不是唯一的； 寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论中的一 个重要研究课题；

正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到 各自独立的频带中；
正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏， 排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。
信号的内积与基函数
考虑实数序列 X ( x1 , x2 , , xn ) ， Y ( y1 , y2 , , yn ) R n ( n 维实数空间)，它们的内积定义为
X,Y xj y j.
j 1
源自文库
n
(1.4.1)
复序列 Z ( z1 , z2 , , zn ) ， W (w1, w2 , , wn ) C n ( 维复数空间)，它们的内积定义为
瞬态信号
图1.2.1 确定性信号的分类
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1.2 信号的分类
1.2.2 随机信号
随机信号描述的物理过程具有不可重复性和不可预测性，具有有一定 的统计规律性。统计特征是随机信号的基本特征，常用概率分布函数和概 率密度函数来描述。
x1
t
x2
t
xN
t t1 t2
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.3.2 信号的正交分解
函数系 ei n t ， 2 / T , n 0, 1, 2,
是区间[ T / 2, T/2]上的标准正交函数系，。 函数在区间[ T / 2, T/2]满足Dirichlet条件且平方可积，都 具有Fourier级数表达式
图1.2.2 随机振动波形记录
图中t表示时间，表示第k次行驶所测得的加速度值，k=1，2，……，N。
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1.2 信号的分类
随机信号的分类
随机信号
平稳信号
非平稳信号
各态历经信号
非各态历经信号
图1.2.3 随机过程的分类

强平稳随机信号：统计特征参数均不随时间变化； 弱平稳随机信号：平均值和方差不随时间变化； 各态历经随机信号：样本函数的所有统计特征参数等于样本集的相应 统计特征参数（平稳随机信号）。每个样本函数在概率意义上代表了 所有其它的样本函数。
我们惊奇地看到这些创新的概念都是由工程科技工作者提出的， 这是因为他们始终置身于探索自然奥秘的最前沿，能准确地探测到 自然规律的脉搏。
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1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
非平稳信号处理的主要方法

短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform)
n
(1.4.2)
Z, W z jW j .
j 1
n
*表示共轭。
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1.4 信号处理的内积与基函数
信号的内积与基函数
在平方可积空间 L2 中的函数 x(t )， y(t )，它们的内积定义为
x(t ), y(t ) x(t ) y (t )dt ，
信号的内积与基函数
傅里叶变换是应用最为广泛的信号处理方法，函数 x(t ) 的傅里叶变换为
X ( ) x(t )ei t dt x(t ), ei t


(1.4.6)
将时域函数 x(t ) 变换为频域函数 X ( )，实现的方式是函数 x(t )与基函数 e i t 通过内积运算。匹配出信号 x(t ) 中圆频率为 的正弦波。 信号 x(t ) 的小波变换 WTx (a, b) 为
1.1 现代信号处理的内容和意义
1.2 信号的分类
1.3 非平稳信号处理和信号的正交分解
1.4 信号处理的内积与基函数 1.5 现代信号处理的应用现状与进展
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1.2 信号的分类
按照信号随自变量时间的取值特点，信号可分 为连续时间信号和离散时间信号：
1、连续时间信号——任意时间都有信号值。 2、离散时间信号——在离散的时间点上有信号值。