(非常好)等差等比数列基础知识点以及练习题(含答案)
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2013一、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式:
①等差数列:1°.定义:若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列;
2°.通项公式:;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式:公式:.2
)
1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=
②等比数列:1°.定义若数列q a a a n
n n =+1
}{满足
(常数)
,则}{n a 称等比数列;2°.通项公式:;1
1k
n k n n q
a q
a a --==3°.前n 项和公式:),1(1)
1(111≠--=--=
q q
q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2.简单性质:
①首尾项性质:设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ
1°.若}{n a 是等差数列,则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列,则.23121Λ=⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a
②中项及性质:
1°.设a ,A ,b 成等差数列,则A 称a 、b 的等差中项,且;2
b
a A +=
2°.设a ,G,b 成等比数列,则G 称a 、b 的等比中项,且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数,且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列,则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列,则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质:
1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n
n k k
k
k
a
a a 1
21
31
2,,则
组成公差为n 2d 的等差数列;
2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列,∑∑∑=+=+=n k n n k n
n k k
k
k
a
a a 1
21
31
2,,则组成公差为q n 的等比数列.(注意:当q =-1,n
为偶数时这个结论不成立)
⑤若}{n a 是等比数列,
则顺次n 项的乘积:n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,ΛΛΛ++++组成公比这2
n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,
1°.若n 为奇数,则,,:(2
1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
数项的和);
2°.若n 为偶数,则.2
nd
S S =-奇偶 (二)学习要点:
1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m (或
a-m,a,a+m )”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq 2(或
q
a
,a,aq )”③四数成等差数列,可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列,可设四数为“),,,,(,,,3
3
3
2
aq aq q a q
a aq aq aq a ±±或
”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题:
(Ⅰ)已知
c
b a 1
,1,1成等差数列,求证: (1)c
b
a b a c a c b +++,,成等差数列;
(2)2
,2,2b
c b b a ---
成等比数列. [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
.
2,2,2,
)2(4)(2)2)(2)(2(;
,,.)(2)()(2)()1(),(222112222
22
2成等比数列成等差数列b
c b b a b
b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b
c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=
+++=++++=⇒=+⇒=+ΘΘ
[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,. (Ⅱ)等比数列的项数n 为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为 2128,求项数n. [解析]设公比为242
1281024
,142531==-n n a a a a a a a q ΛΛΘ
)1(2
42
11=⋅⇒-n q
a
.7,2
35
25,
2)2()1(,2)(2
)1(2212810242
352
52
35
2
1
12
353
211235321==∴
==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n q
a a a a a n n n n 得代入得将而ΛΛ
(Ⅲ)等差数列{a n }中,公差d ≠0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:
,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列Λ
求数列.}{项和的前n k n
[解析],
,,,1712
51751a a a a a a ⋅=∴成等比数列Θ① ②
①
②