函数的单调性
知识梳理
1. 单调性概念
一般地，设函数()f x 的定义域为I ：
（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；
（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.
2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（2）定义法步骤；
①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)；
②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性.
（3）复合函数的单调性：
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
3. 单调区间的定义
如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．
例题精讲
【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．
(1)从左向右看，图形是如何变化的？
(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；
（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。
【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f (x )=x ;
①从左至右图象上升还是下降?
②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？
（2）f (x )=x 2．
①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？
②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？
解：（1）①从左至右图象是上升的；
②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．
（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；
②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．
【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函
数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？
解：不一定，例如下图：
【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---；
其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数.
【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x < （取值）
则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ （作差）
123()x x =-
由12x x <，得 120x x -<
于是12()()0f x f x -< （定号）
所以12()()f x f x <
所以，函数()32f x x =+在R 上是增函数。 （下结论）
课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 若函数()f x 在区间(,)a b 上是增函数，在区间(,)c d 上也是增函数，则函数()f x 在区间(,)(,)a b c d U 上 ( )
A.必是增函数
B.必是减函数
C.先增后减
D.无法确定单调性
2. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）
A ．1=y
B ．21+-=x x
y
C ．122---=x x y
D ．21x y +=
3．函数,在上是（ ）
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.无单调性
4．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是(
)
A.f ?x 1?－f ?x 2?
x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )f ?x 2?－f ?x 1?>0
5．函数1
1y x =-的减区间是 .
6．证明：函数1
()f x x =在(0,)+∞上是减函数。
7．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
34的大小关系．
8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，求k 的取值范围.
9．已知函数()1ax f x x =-,若. (l)求的值.
(2)利用单调性定义证明函数
在区间的单调性.
