固体物理习题解答-完整版

6 a
3a / 2
6 a
2a
1.7
画体心立方和面心立方晶格结构的金属在 (100) ， (110) ， (111) 面上 解：
原子排列．
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3
《固体物理》习题解答
体心立方
面心立方
1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向 解 (111)面与(100)面的交线的 AB－AB 平移， A 与 O 重合。B 点位矢 RB = −aj + ak （111） 与 （100） 面的交线的晶向 AB = − aj + ak —— 晶 向指数 ⎡011⎤
⎛ ε 11 3ε 22 ⎜ + 4 4 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3ε 11 3ε 22 ε 23 ⎟ = ⎜ − + 4 4 ⎜ ε 33 ⎟ ⎠ ⎜ 3ε 23 − ⎜ 2 ⎝ − 3ε 11 3ε 22 + 4 4 3ε 11 ε 22 + 4 4 − − 3ε 23 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ε ⎟ − 23 ⎟ 2 ⎟ ε 33 ⎟ ⎟ ⎠
h k l ( )2 + ( )2 + ( )2 a b c
说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理 证 简单正交系 a ⊥ b ⊥ c 倒格子基矢 b1 = 2π
a1 = ai , a2 = bj , a3 = ck b2 = 2π a3 × a1 a1 ⋅ a2 × a3 b3 = 2π a1 × a2 a1 ⋅ a2 × a3
r a/2 a/2 n 1 1 2 4 2 V a3 a3 a3 a3
ρ
π / 6 ≈ 0.52
3π / 8 ≈ 0.68 2π / 6 ≈ 0.74 2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
1/ 2
3a / 4
2a / 4
a/2
2a 3
c ⎛3⎞ 1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp）的轴比 = ⎜ ⎟ 2 ⎝8⎠
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
2π 2π 2π i , b2 = j , b3 = k a b c 2π 2π 2π 倒格子矢量 G = hb1 + kb2 + lb3 = h i +k j +l k a b c b1 =
晶面族 (hkl ) 的面间距 d =
2π =1 G
h k l ( )2 + ( )2 + ( )2 a b c
⎣
⎦
(111)面与(110)面的交线的 AB —— 将 AB 平 移 ， A 与 原 点 O 重 合 ， B 点 位 矢
RB = −ai + aj
(111)面与(110)面的交线的晶向 AB = −ai + aj ――晶向指数 ⎡110 ⎤
⎣
⎦
1.10 找出立方体中保持x 轴不变的所有对称操作，并指出他们中任意两个操作乘积的结果 解：立方体中保持x轴不变，可有绕x轴转 π / 2 、 π 、 3π / 2 加上不动C1，所有对称操作构
u (r0 ) = (−
α
rm
+
β
rn
)
r = r0
3)
体弹性模量 K = (
∂ 2U )V ⋅V0 ∂V 2 0
3
晶体的体积 V = NAr —— A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能 U ( r ) =
=0 mα nβ − m +1 + n +1 = 0 r0 r0
1 nβ n − ) m r0 = ( mα
dU 平衡条件 dr
r = r0
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6
《固体物理》习题解答
2)
单个原子的结合能 W = −
1 u (r0 ) 2 1 m nβ n−−m W = α (1 − )( ) m 2 n mα
1 1
1
⎛ nC ⎞ n +1 r0 (2e ) = ⎜ = 4 n +1 r0 (e ) 2 ⎟ ⎝ 4αe ⎠
结合能为 u (r ) = −
αe 2 ⎛
4αe 2 ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎜1 − ⎟ 当 e 变成 2e 时有 u (2e ) = − ⎜1 − ⎟ = u (e )× 4 n +1 r0 (2e ) ⎝ n ⎠ r0 ⎝ n ⎠
得
⎛ ε 11 0 ⎜ ⎜ 0 ε 22 ⎜0 ε 32 ⎝
所
以
ε 23
2
⎛ ε 11 0 ⎜ ε 23 = ε 32 = ε 11 = 0 可得到六角晶系的介电常数为 ε = ⎜ 0 ε 22 ⎜ 0 0 ⎝ ⎛ ε1 0 ⎜ 可得到 ε = ⎜ 0 ε 2 ⎜0 0 ⎝
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 选择相应的坐标变换 ε 33 ⎟ ⎠
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为
(2π )3 ，其中 v 0 为正格子原胞体积 v0
证
倒格子基矢 b1 = 2π
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3 a3 × a1 a1 ⋅ a2 × a3 a1 × a2 a1 ⋅ a2 × a3
b2 = 2π
a3 × a1 a1 ⋅ a2 × a3
b3 = 2π
a1 × a2 wk.baidu.com1 ⋅ a2 × a3
体心立方格子原胞基矢 a1 = 倒格子基矢 b1 = 2π
a a a (−i + j + k ), a2 = (i − j + k ), a3 = (i − j + k ) 2 2 2
a2 × a3 2π a a = ⋅ ( i − j + k ) × (i + j − k ) 2 a1 ⋅ a2 × a3 v0 2
⎛ ε 11 ε 12 ⎜ 假 设 六 角 晶 系 统 的 介 电 常 数 为 ε = ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε 32
⎛ ε 11 ε 12 ⎜ ⎜ ε 21 ε 22 ⎜ε ⎝ 31 ε 32
ε 13 ⎞ ⎟ ε 23 ⎟ 则 由 ε = AT ε Ax 得 ε 33 ⎟ ⎠
x
ε 13 ⎞ ⎛ ε 11 − ε 12 − ε 13 ⎞ 0 ⎞ ⎛ ε 11 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ε 23 ⎟ = ⎜ − ε 21 ε 22 ε 23 ⎟ 可见 ε = ⎜ 0 ε 22 ε 23 ⎟ 将上式代入 ε = AzT ε Az ⎜ ⎜0 ε ε 33 ⎟ ε 33 ⎟ ε 33 ⎟ 32 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ − ε 31 ε 32
面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构中，最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为a，写 出最近邻和次近邻原子间距 解 简立方 最近邻数 最近邻间距 次近邻数 次近邻间距 6 a 12 面心立方 12 体心立方 8
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《固体物理》习题解答
=
2π a 2 2π ( j +k) ⋅ (i − j + k ) × (i + j − k ) = a v0 4
同理 b2 = 2π
a3 × a1 2π (i + k ) = a1 ⋅ a2 × a3 a
b3 =
2π (i + j ) a
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢
n
2.3
若一晶体的相互作用能可以表示为 u ( r ) = − 求 1 ）平衡间距 r 0
α
r
m
+
β
rn
3 ）体弹性模量 4 ）若取
2 ）结合能 W （单个原子的）
m = 2, n = 10, r0 = 0.3 nm, W = 4 eV ，计算 α , β 值。
解 1）晶体内能 U ( r ) =
N α β (− m + n ) 2 r r
0⎞ ⎟ 0⎟ ε3 ⎟ ⎠
1.12 比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格、Nacl 晶格的晶系、布拉伐格子、平 移群、点群、空间群。 晶格 面心立方晶格 金刚石晶格 闪锌矿晶格 Nacl 晶格的晶系 晶系 立方 立方 立方 立方 布拉伐格子 面心立方 面心立方 面心立方 面心立方 点群 Oh Oh Td Oh 空间群 Fm3m Fd3m
≈ 1.633
1/ 2
c ⎛3⎞ 2 c 2 解 由1.1题，六角密排中 h = a = 2 r − ，故 = ⎜ ⎟ 2 ⎝8⎠ 3 3 2
1.3
≈ 1.633
证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方
解 由倒格子定义 b1 = 2π
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
3π / 8 ≈ 0.68
2π / 6 ≈ 0.74 2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
解 设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致
密度为: ρ = 结构 简单立方 体心立方 面心立方 六方密排 金刚石
4π nr 3 （设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是 3V
《固体物理》习题解答
第一章
1.1
习 题
如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明 结构 简单立方(书P2, 图1-2) 体心立方(书P3, 图1-3) 面心立方(书P3, 图1-7) 六方密排(书P4, 图1-6) 金刚石(书P5, 图1-8) x
π / 6 ≈ 0.52
α
r
= ∑′
j
(±1) 1 1 1 1 = 2[ − + − + ...] rij r 2r 3r 4r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为
α = 2[1 − + − + ...] 2 3 42 x x3 x 4 ∵ n (1 + x) = x − + − + ... x 3 4
4
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《固体物理》习题解答
成群C4:C4=（C1 C2 C3 C4） ，群中任意两元素乘积仍是群中元素。
⎛ ε1 0 ⎜ 1.11 证明六角晶体的介电常数张量为 ⎜ 0 ε 2 ⎜0 0 ⎝
0⎞ ⎟ 0⎟ ε3 ⎟ ⎠
T
证明 若 A 是一旋转对称操作，则晶体的介电常数 ε 满足 ε = A
F43m
Fm3m
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《固体物理》习题解答
第二章
习 题
2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 α = 2 ln 2 . 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子 （这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有
b2 = 2π
b3 = 2π
*
倒格子体积 v0 = b1 ⋅ (b2 × b3 )
(2π )3 v = 3 (a2 × a3 ) ⋅ (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) v0
* 0
(2π )3 v = v0
* 0
1.5
证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2b2 + h3b3 垂直于密勒指数为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系。 证：
a1 = a( j + k ) / 2 a2 = a(k + i ) / 2 a3 = a(i + j ) / 2
倒格子基矢 b1 = 2π 同理 b2 =
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
b1 =
2π ( −i + j + k ) a b3 = 2π (i − j + k ) a
2π (i − j + k ) a
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《固体物理》习题解答
CA =
a1 a3 a a − , CB = 2 − 3 h1 h3 h2 h3
容易证明
Gh1h2 h3 ⋅ CA = 0 Gh1h2 h3 ⋅ CB = 0
G = h1b1 + h2b2 + h3b3 与晶面系 (h1h2 h3 ) 正交。
1.6 如果基矢 a , b , c 构成简单正交系 证明晶面族 ( hkl ) 的面间距为 d = 1
ε A ，对六角晶系，绕 x 轴
（即 a 轴）旋转 180 度和绕 z 轴（即 c 轴）旋转 120 度都是对称操作，坐标变换矩阵分别为
⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Ax = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1/ 2 ⎜ Az = ⎜ − 3 / 2 ⎜ ⎜ 0 ⎝
3 / 2 0⎞ ⎟ −1/ 2 0⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎠
当 X=1 时，有 1 − 2.2
1
1 1
1 1 1 + − + ... = 2 3 4
C rn
n
2
∴α = 2 n 2
讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）
解 u (r ) = −
αe 2
r
+
du 由 dr
r0
=
αe 2
r02
nC ⎛ nC ⎞ n +1 − n +1 = 0 解 可 得 r0 (e ) = ⎜ 2 ⎟ 于 是 当 e 变 成 2e 时 有 r0 ⎝ αe ⎠