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《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
《固体物理学》习题解答( 仅供参考 )参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006 年 6 月第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为 a。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个 Na+和一个 Cl－组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：⎧⎪a1=a2( j + k)⎪⎪⎨a 2=a2( k + i)⎪⎪⎪a 3=a ( i +j)⎩ 2相应的晶胞基矢都为：⎧a =a i,⎪⎨b =a j,⎪⎩c =a k.2.六角密集结构可取四个原胞基矢a1, a 2,a 3与 a4,如图所示。
试写出O'A1A3、A1 A3 B3 B1、 A2 B2 B5 A5、 A1 A2 A3 A4 A5 A6这四个晶面所属晶面族的晶面指数(h k l m)。
解：(1)．对于O'A1A3面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，- 1 ，１。
所以，其晶面2( )指数为。
(2)．对于A1A3B3B1面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，-12，∞。
所以，其晶面指数为(1120)。
(3)．对于A2B2B5A5面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，-1，∞，∞。
1所以，其晶面指数为 (1 100)。
(4)．对于 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞ ，∞ ，∞ ，１。
所以， 其晶面指数为 (0001) 。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方： π6 ；体心立方： 83π；面心立方： 62π ；六角密集： 62π ；金刚石：3π 。
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a aa i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+ 倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a ab i k a a a aππ⨯==+⋅⨯ 32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+ 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k aπ=-+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
固体物理习题解答《固体物理学》习题解答( 仅供参考)参加编辑学⽣柯宏伟（第⼀章），李琴（第⼆章），王雯（第三章），陈志⼼（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范⼤学物理科学与技术学院2003级2006年6⽉第⼀章晶体结构1. 氯化钠与⾦刚⽯型结构是复式格⼦还是布拉维格⼦，各⾃的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基⽮，设晶格常数为a 。
解：氯化钠与⾦刚⽯型结构都是复式格⼦。
氯化钠的基元为⼀个Na +和⼀个Cl －组成的正负离⼦对。
⾦刚⽯的基元是⼀个⾯⼼⽴⽅上的Ｃ原⼦和⼀个体对⾓线上的Ｃ原⼦组成的Ｃ原⼦对。
由于NaCl 和⾦刚⽯都由⾯⼼⽴⽅结构套构⽽成，所以，其元胞基⽮都为：123()2()2()2a a a ?=+??=+=+a j k a k i a i j 相应的晶胞基⽮都为：,,.a a a =??=??=?a ib jc k2. 六⾓密集结构可取四个原胞基⽮123,,a a a 与4a ,如图所⽰。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶⾯所属晶⾯族的晶⾯指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '⾯，其在四个原胞基⽮上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶⾯指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B ⾯，其在四个原胞基⽮上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶⾯指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A ⾯，其在四个原胞基⽮上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶⾯指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A ⾯，其在四个原胞基⽮上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶⾯指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最⼤体积与总体积的⽐为：简⽴⽅：6π；六⾓密集：6；⾦刚⽯：。
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
《固体物理学》部分习题解答补充：证明“晶体的对称性定律”。
证明：晶体中对称轴的轴次n并不是任意的,而是仅限于 n=1,2,3,4,6这一原理称为“晶体的对称性定律”。
现证明如下:设晶体中有一旋转轴n 通过某点O,根据前一条原理必有一平面点阵与你n 垂直,而在其中必可找出与 n垂直的属于平移群的素向量a,将a作用于O得到A 点将-a作用于O点得到A’点:若a= ,则L( )及L(- )必能使点阵复原,这样就可得点阵点B,B’,可得向量BB’,显然BB与a平行,因为空间点阵中任意互相平行的两个直线点阵的素向量一定相等,因而向量BB’的长度必为素向量a的整数倍即:BB’= ma由图形关系可得:=即m=0,±1,±2m n-2 -1 p 2-1 - 30 0 41 62 1 2p 1所以 n=1,2,3,4,6综上所述可得结论:在晶体结构中,任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重,二种,三重,四重或六重等五种,而不可能存在五重和七重及更高的其它轴次,这就是晶体对称性定律。
晶体的对称性定律证明:1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
固体物理经典复习题及答案⼀、简答题1.理想晶体答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间⽆限重复排列⽽构成的。
2.晶体的解理性答：晶体常具有沿某些确定⽅位的晶⾯劈裂的性质，这称为晶体的解理性。
3.配位数答: 晶体中和某⼀粒⼦最近邻的原⼦数。
4.致密度答：晶胞内原⼦所占的体积和晶胞体积之⽐。
5.空间点阵(布喇菲点阵)答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由⼀些相同的点⼦在空间有规则地做周期性⽆限重复排列，这些点⼦的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移⽮量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。
空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
6.基元答：组成晶体的最⼩基本单元，它可以由⼏个原⼦(离⼦)组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列⽽构成。
7.格点(结点)答: 空间点阵中的点⼦代表着结构中相同的位置，称为结点。
8.固体物理学原胞答：固体物理学原胞是晶格中的最⼩重复单元，它反映了晶格的周期性。
取⼀结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共⾯的⽮量，以此三个⽮量为边作的平⾏六⾯体即固体物理学原胞。
固体物理学原胞的结点都处在顶⾓位置上，原胞内部及⾯上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有⼀个结点。
9.结晶学原胞答：使三个基⽮的⽅向尽可能的沿空间对称轴的⽅向，以这样三个基⽮为边作的平⾏六⾯体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。
10.布喇菲原胞答：使三个基⽮的⽅向尽可能的沿空间对称轴的⽅向，以这样三个基⽮为边作的平⾏六⾯体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞)答：以某⼀阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂⾯(或中垂线) 将空间划分成各个区域。
第四章习题试解1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系.解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk .n-k n-1 n n+1 n+k显然：k k ββ-=第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k km i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑色散关系即为2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB Ab2 b1只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=---将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-=化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是从而得到3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较这两者的g<ω>曲线.解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π.dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得考虑ω=cq 〔德拜近似〕由q →0〔德拜近似下〕, 有111()222m m q qa qa a q ωωω==⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅ 则有：12m d a dq ωω=⋅ 121()12m m NaN g a ωππωω==⋅ 〔常数〕考虑ω=ω0〔爱因斯坦近似〕显然有()000g ωωωωω∞=⎧=⎨≠⎩ 4.金刚石〔碳原子量为12〕的杨氏模量为1012N·m -2,密度ρ=3.5g·cm -3.试估算它的德拜温度ΘD =？ 解：德拜温度D D B k ωΘ=223231()4()(2)2j V V g c c c ωωπωππ==, 2233()2V g c ωωπ== 近似看作弹性介质时,1/2410/C m s ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭杨氏模量密度 每摩尔原子数目为N=6.02×1023,摩尔质量m=12g,则摩尔体积代入,得ωm =57.97×1013最后得 ΘD =4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能. 解：根据量子理论,各简谐振动的零点能为12ω 德拜近似下2233()2V g C ωωπ= 总零点能为034232301()2331444m m m E g d VV d C C ωωωωωωωωππ===⎰⎰ 由自由度确定的21/3[6()]m NC V ωπ=代回上式中6.一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率,在30K 的温度达到一个锐的极大值,试估计此极大值.〔蓝宝石在T ﹤﹤ΘD =1000K 时,c V =10-1T 3J·m -3·K -1〕解：m D B k ωΘ=→ωm =1.31×1014λ与晶格常数10-10m 近似时约为2.09×103,近似作为平均声速代入 热导率35.643103c l υκυ==⨯ 7.Na 和Cl 的原子量分别为23和37.氯化钠立方晶胞边长为0.56nm,在[100]方向可以看做是一组平行的离子链.离子间距d=0.28nm.NaCl 晶体的杨氏模量为5×1010N·m -2,如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等,求对应的光波波长.解：当q=0时,光频支频率为杨氏模量10510a β=⨯,且90.2810a -=⨯m故201.7910β=⨯,再同两原子质量一同代入频率式则波长02c πλω==1.53×10-14m8.立方晶体有三个弹性模量C 11,C 12和C 44.铝的C 11=10.82×1010N·m -2,C 44=2.85×1010N·m -2,铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度l υ=,横波速度t υ=,Al 的密度ρ=2.70×103kg·m -3.求德拜模型中铝的振动模式密度g<ω>.解：由题条件知36.3310l υ=⨯,33.2510t υ=⨯若所考虑的晶体体积为V,则。
黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
