定积分的概念讲课稿

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 23
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 33
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 43
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 53
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
每个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
y y = f(x)
O a x1 x2
（2）近似
xi-1
xi
xn-1 b x
方案1
方案2
方案3
特例（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2
与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 143
y
f(x2) f(x1)
f(xi) f(xi)xi
y = f(x)
O a x1x1 x2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
（2）近似： ξi [ xi-1 , xi ]， Ai f (ξi )Δxi
小曲边梯形 面积
T1
i
T2
t0 t1 t2 ti 1 ti tn 1 tn t
（2）近似
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
（3）求和 （4）取极限
n
s v( i )ti
i 1
max{t
1 i n
i
},
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
实例1 （求曲边梯形的面积）
n
A = lim λ0 i=1
f (ξi )Δxi
实例2 （求变速直线运动的路程）
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的概念
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
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一点xi（xi xi ），作乘积 f (xi )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (xi )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点 xi 怎样的取法，只要当 0时，和 S总趋于
确定的极限 I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
（3）定义中区间的分法和xi 的取法是任意的.
（4）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
某一点处的函数值
n
n
（3）求和： A= Ai f (ξi )Δxi
i =1
i =1
y y = f(x) ff((xxf11f()()fx(x1x2)2)f)(x2)
f(xi) f(xi) f(xi)xi
O axx1x1x21x2 x2
（4）取极限
λ = m1iaxn {Δxi },
xxxi ii-1 xi xi
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在区间[a, b]上的定积分，记为
积分和ห้องสมุดไป่ตู้
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (xi )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 定积分是积分和的极限，是一个确定 的数值.
（2）积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
§6.1定积分的概念
这些图形的面积 该怎样计算？
一、问题引入
实例1 （求曲边梯形的面积）
y y = f(x)
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
A?
x b所围成.
Oa
bx
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
xn-1 b x
n
A lim 0 i1
f
(xi )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间间隔
[T1,T2 ]上的连续函数,且 v(t) 0, 计算在这段时间
内物体所经过的路程。
V(T)
A
B
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2，ti ti ti1
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
(1) 分割：
y = f(x)
O a x1 x2
xi-1
xi
xn-1 b x
在区间 [a,b]任意插 n 个分点，
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
把 [a,b] 分成 n 个小区间： xi1 , xi (i 1,2,n).
定理2 设函数 f ( x)在区间[a,b]上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
三、定积分的几何意义