数列知识点总结
二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法：等差数列、等比数列
2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即
例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2
n n S =,求通项n a . 例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。
（1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型
⎩⎨⎧≥-===-)
2()1(111n s s n a s a n n n
例3、已知数列｛n a ｝中，1a 1=，n a a n 1n =-+，求通项n a 练习1、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n
n 1n 2a a +=+，求通项n a
（2）叠乘法：递推关系式形如
型 例4、在数列｛n a ｝中，1a 1=， ，求通项n a 练习2、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n
n 1n 2a a •=+，求通项n a （3）构造等比数列：递推关系式形如B Aa a n 1n +=+(A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0) 例5、已知数列｛n a ｝满足4a 1=，2a 3a 1n n -=-，求通项n a 练习3、已知数列｛n a ｝满足3a 1=，3a 2a n 1n +=+，求通项n a （4）倒数法
例6、在数列{a n }中，已知1a 1=, ,求数列的通项n a
四、求数列的前n 项和的方法
1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. [例2] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
3、倒序相加法：数列｛n a ｝的第m 项与倒数第m 项的和相等。即：
1m n m 1n 2n 1a a a a a a +--+==+=+ [例3] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值 [例4] 函数()x f 对任R x ∈都有()()2
1
x 1f x f =-+，求： ()()1f n 1n f n 2f n 1f 0f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+ 4、分组求和法：主要用于求数列{a n +b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 [例5] 求数列： ,2
1
n ,,813,412,211n ++++
的前n 项和 [例6] 求和：()()()()
n a 3a 2a 1a n
3
2
-++-+-+-
()n f a a n
1n =+n 1
n a 1
n n
a +=+2
a a 2a n n
1n +=+
5、裂项相消法：通项分解 （1）111)1(1+-=+=
n n n n a n （2）)k n 1
n 1(k 1)k n (n 1a n +-=+=
（3）n 1n n 1n 1a n -+=++=
（4）)n k n (k
1
n k n 1a n -+=++=
[例7] 在数列{a n }中，1
n n
1n 21n 1a n ++
++++=
，又1n n n a a 2b +•=，求数列{b n }的前n 项的和. [例8] 已知正项数列{a n }满足1a 1=且()
*n 21
n 2N n 1a a ∈=-+
（Ⅰ）求数列{a n }的前n 项的和 （Ⅱ）令1
n n n a a 1
b ++=
，求数列{b n }的前n 项的和n T
五、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题
：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.
(2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。
