第六章群与环
1. S={2n | n N}，加法是S上的二元代数运算吗？乘法呢？
解：加法不是S上的二元代数运算，乘法是。
2. 自然数集N 上的二元代数运算* 定义为x * y = x y，* 是否满足结合律？是否满足交换律？
解：都不满足。
3. 设* 是集合S上的二元代数运算，且满足结合律，设x，y是S中任意元素，如果x * y = y * x，则x = y。试证明* 满足等幂律。
证明：由于对S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。
4. 设（G，·）是代数系统，则（G×G，*）是代数系统，这里G×G的运算“*”规定如下：
（a，b）*（c，d）=（a·c，b·d），
其中，a，b，c，d为G中任意元素。证明：当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群；当（G，·）有单位元素时，（G×G，*）有单位元素；当（G，·）是群时，（G×G，*）是群；
证明：设（G，·）是半群，a，b，c，d，e，f为G中任意元素，若有(a，b),(c，d)，(e，f)属于G×G，则有
(a，b)*((c，d)*(e，f))=(a，b)*(c·e，d·f)=(a·(c·e)，b·(d·f))
=((a·c)·e，(b·d)·f))=((a·c)，(b·d))*(e，f)=((a，b)*(c，d))*(e，f)，
这就证明了当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群。
设（G，·）有单位元素1，(a，b)是（G×G，*）中任意元素，则有(a，b)=(a·1，b·1)=(a，b)*(1，1)且(a，b)=(1·a，1·b)=(1，1)*(a，b)，故(1，1)就是（G×G，*）的单位元素。
设（G，·）是群，1是群（G，·）的单位元素，则由前面的证明知(1，1)就是（G×G，*）的1且（G×G，*）是半群。
我们来证明（G×G，*）中的任意元素(a，b)有逆元素。(1，1)=(a·a’，b·b’)=(a，b)*(a’，b’)，其中a’和b’分别是a和b在群（G，·）中的逆元素。同样有(1，1)=(a’·a，b’·b )=(a’，b’ )*(a，b )，这就证明了(a’，b’ )是(a，b)的逆元素，从而说明（G×G，*）是群。
5. 举例说明不要求可除条件而要求消去条件，即要求由aχ=ay可推出χ=y，由χ·a=y·a可推出χ=y，则G不见得是一个群，若G有限怎么样？
解：例如，全体自然数在普通乘法下，适合消去律，但不是群。若G={a1，a2，…
a n}，用a右乘G中各元素得a1a，a2a，…，a n a必不相同，否则若a i a=a j a (i≠j) ，由消去条件有a i=a j，矛盾。对任意b∈G，必有a i，使a i a=b，因之方程xa=b有解。同理可知ay=
b 有解。故G是群。
6. 举例说明定理6.2.2中的（1）ˊ和（2）ˊ分别改成：（1）ˊG中有一个元素1适合1·a=a，（2）ˊ对于任意a有一个a-1适合a·a-1=1，则G不见得是一个群。
解：例如，
a b
G= a，b是实数。
00
1 0 a-1 0
有左1= 右逆：，但G不是群
0 0 0 0
因当b≠0时
a b 1 0 a 0 a b
= ≠。
0 0 0 0 0 0 0 0
而不难知道G中无1。
7. 设集合G={a，b，c}上的二元运算表如下：
则（G，·）是否为半群？是否为群？为什么？
解：由于G非空且对任意的a，b属于G，有a·b 属于G，故（G，·）是代数系统。又由于·运算满足结合律，故（G，·）是半群，但（G，·）不是群，因为元素c没有逆元素。
8. 计算（1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 3）。
解：（1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 3）=（1 3）（2 4）。
9. 用1，2，…，n代表M中元素。求证M的任意置换可以表为（1 2），（1 3），…，（1 n）的乘积。又可表为（1 2），（2 3），…，（n-1 n）的乘积。
解：M的任意置换都可分为对换之乘积，又注意到：（a r a s）=(1 a r)(1 a s)(1 a r)，(a r，a s 1)，而(1 a r)=(1 2)(2 3)…(a r-2 a r-1)(a r-1 a r)(a r-2 a r-1)…(2 3)(1 2)。
10. 设σ，τ是两个置换。把τ表示为不相
杂的轮换的乘积。求证στσ-1只要用σ变换τ
中文字。例如σ=（1 2 3）。τ=（1 2）（3 4）则στσ-1=（2 3）（1 4）。即按照σ的变法把τ
中之1换成2，2换成3，3换成1，即得στσ-1。
证明：若τ=(a 11 a 12 …a 1r )(a 21… a 2s )…(a m1…a mt )
a 11 …a 1r a 21…a 2s …a m1…a mt
而σ=
b 11 …b 1r b 21…b 2s …b m1…b mt
取典型元素b jk ，我们有
1
11++−→−−→−−→−-jk jk jk jk b a a b σ
τσ 所以在στσ-1
下，b jk →b jk+1。
11. 试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。写出四次交代群中的元素。n 次交代群的元数为何？
证明：只需验证满足群的各条件，略。
注意到偶置换×偶置换=偶置换。易知偶置换成群。 A 4：(1)，(1 2 3)，（1 3 2），（1 2 4），（1 4 2），
（1 3 4），（1 4 3），（2 3 4），（2 4 3），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3），
21n!。
