第六章群与环1. S={2n | n N}，加法是S上的二元代数运算吗？乘法呢？解：加法不是S上的二元代数运算，乘法是。
2. 自然数集N 上的二元代数运算* 定义为x * y = x y，* 是否满足结合律？是否满足交换律？解：都不满足。
3. 设* 是集合S上的二元代数运算，且满足结合律，设x，y是S中任意元素，如果x * y = y * x，则x = y。
试证明* 满足等幂律。
证明：由于对S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。
4. 设（G，·）是代数系统，则（G×G，*）是代数系统，这里G×G的运算“*”规定如下：（a，b）*（c，d）=（a·c，b·d），其中，a，b，c，d为G中任意元素。
证明：当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群；当（G，·）有单位元素时，（G×G，*）有单位元素；当（G，·）是群时，（G×G，*）是群；证明：设（G，·）是半群，a，b，c，d，e，f为G中任意元素，若有(a，b),(c，d)，(e，f)属于G×G，则有(a，b)*((c，d)*(e，f))=(a，b)*(c·e，d·f)=(a·(c·e)，b·(d·f))=((a·c)·e，(b·d)·f))=((a·c)，(b·d))*(e，f)=((a，b)*(c，d))*(e，f)，这就证明了当（G，·）是半群时，（G×G，*）是半群。
设（G，·）有单位元素1，(a，b)是（G×G，*）中任意元素，则有(a，b)=(a·1，b·1)=(a，b)*(1，1)且(a，b)=(1·a，1·b)=(1，1)*(a，b)，故(1，1)就是（G×G，*）的单位元素。
设（G，·）是群，1是群（G，·）的单位元素，则由前面的证明知(1，1)就是（G×G，*）的1且（G×G，*）是半群。
我们来证明（G×G，*）中的任意元素(a，b)有逆元素。
(1，1)=(a·a’，b·b’)=(a，b)*(a’，b’)，其中a’和b’分别是a和b在群（G，·）中的逆元素。
同样有(1，1)=(a’·a，b’·b )=(a’，b’ )*(a，b )，这就证明了(a’，b’ )是(a，b)的逆元素，从而说明（G×G，*）是群。
5. 举例说明不要求可除条件而要求消去条件，即要求由aχ=ay可推出χ=y，由χ·a=y·a可推出χ=y，则G不见得是一个群，若G有限怎么样？解：例如，全体自然数在普通乘法下，适合消去律，但不是群。
若G={a1，a2，…a n}，用a右乘G中各元素得a1a，a2a，…，a n a必不相同，否则若a i a=a j a (i≠j) ，由消去条件有a i=a j，矛盾。
对任意b∈G，必有a i，使a i a=b，因之方程xa=b有解。
同理可知ay=b 有解。
故G是群。
6. 举例说明定理6.2.2中的（1）ˊ和（2）ˊ分别改成：（1）ˊG中有一个元素1适合1·a=a，（2）ˊ对于任意a有一个a-1适合a·a-1=1，则G不见得是一个群。
解：例如，a bG= a，b是实数。
001 0 a-1 0有左1= 右逆：，但G不是群0 0 0 0因当b≠0时a b 1 0 a 0 a b= ≠。
0 0 0 0 0 0 0 0而不难知道G中无1。
7. 设集合G={a，b，c}上的二元运算表如下：则（G，·）是否为半群？是否为群？为什么？解：由于G非空且对任意的a，b属于G，有a·b 属于G，故（G，·）是代数系统。
又由于·运算满足结合律，故（G，·）是半群，但（G，·）不是群，因为元素c没有逆元素。
8. 计算（1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 3）。
解：（1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 3）=（1 3）（2 4）。
9. 用1，2，…，n代表M中元素。
求证M的任意置换可以表为（1 2），（1 3），…，（1 n）的乘积。
又可表为（1 2），（2 3），…，（n-1 n）的乘积。
解：M的任意置换都可分为对换之乘积，又注意到：（a r a s）=(1 a r)(1 a s)(1 a r)，(a r，a s 1)，而(1 a r)=(1 2)(2 3)…(a r-2 a r-1)(a r-1 a r)(a r-2 a r-1)…(2 3)(1 2)。
10. 设σ，τ是两个置换。
把τ表示为不相杂的轮换的乘积。
求证στσ-1只要用σ变换τ中文字。
例如σ=（1 2 3）。
τ=（1 2）（3 4）则στσ-1=（2 3）（1 4）。
即按照σ的变法把τ中之1换成2，2换成3，3换成1，即得στσ-1。
证明：若τ=(a 11 a 12 …a 1r )(a 21… a 2s )…(a m1…a mt )a 11 …a 1r a 21…a 2s …a m1…a mt而σ=b 11 …b 1r b 21…b 2s …b m1…b mt取典型元素b jk ，我们有111++−→−−→−−→−-jk jk jk jk b a a b στσ 所以在στσ-1下，b jk →b jk+1。
11. 试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。
证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。
写出四次交代群中的元素。
n 次交代群的元数为何？证明：只需验证满足群的各条件，略。
注意到偶置换×偶置换=偶置换。
易知偶置换成群。
A 4：(1)，(1 2 3)，（1 3 2），（1 2 4），（1 4 2），（1 3 4），（1 4 3），（2 3 4），（2 4 3），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3），21n!。
12. （1），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 2）（2 3）四个置换作成一个群叫klein四元群，求证klein四元群是四次对称群的正规子群。
证明：用H记Klein四元群，对任σ∈S4，τ∈H，στσ－1只须用σ变τ中文字，不变轮换长度，结果仍是二对换之积，而这种乘积全在H中，故στσ－1∈H，故σHσ－1⊆H。
13. 写出三次对称群的所有子群。
解：｛（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）｝，｛（1），（1 2 3），（1 3 2）｝，｛（1），（1 2）｝，｛（1），（1 3）｝，｛（1），（2 3）｝，｛（1）｝。
14. 求证G的任意多个子群的交集是G 的子群。
并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。
证明：设G的任意多个子群的交为H。
显然1∈H。
故H非空。
若a，b∈H，则a，b∈各子群，故ab-1∈各子群。
ab-1∈H。
从而H是群。
设任意多个正规子群的交为H。
对任g∈G，h∈H，h∈每个正规子群，故ghg-1∈每个正规子群。
ghg-1∈H，所以gHg-1⊆H。
15. 设H是G的子群。
N是G的正规子群。
命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合。
求证HN是G的子群。
证明：显然1∈HN，NH非空。
对任a，b∈HN，可以有：a=h1n1，b= h2n2ab-1=h1n1(h2n2)-1=h1n1n2-1h2-1=h1n1h2'n2'=h1h2'n1'n2'∈HN由此推知HN是G的子群。
16. 求证循环群的子群仍是循环群。
证明：若循环群G由其中元a生成。
H 是G的子群，但不是单位元群。
则H中必含有幂m>0的元a m。
因为若m<0，a m的逆元a-m也在H内，而-m>0。
假定a m是H中的最小正幂，显然H包含a m的任意乘幂。
假如又有H中任意元a S，由S=tm+r。
0≤r<m 知a r=a S-tm=(a S)·(a m)-t是H中元，但m最小。
而0≤r<m，故r=0，因此有a S=(a m)t这表明H中任意元a S也是a m的乘幂，而知H为a m 生成的循环群。
17. 求证若G的元数是一个质数，则G 必是循环群。
证明：设G的元数为质数P，任取G中非单位元a，则(a)是G的一个循环子群，设a的周期为r，则(a)的元数为r，因此r|P。
但P是质数。
显然r≠1,故r=P，所以G=(a)，即G是由a生成的循环群。
18. 设G是6元循环群，试找出G的所有生成元，并找出G的所有子群。
解：设G={1,a，a2，a3，a4，a5}，容易证明a和a5是G的生成元，因为由第16题知循环群的子群仍是循环群，故用G的每个元素去生成群，即得G的子群，它们是{1}，（a3）={1，a3}，（a2）={1，a2，a4}，以及G本身。
19. 设K和H都是群G的子群，试证明：若H·K是G的子群，则K·H = H·K。
证明：对任意的k·h∈K·H，(k·h)-1=h-1·k-1∈H·K，由于H·K是G的子群，所以((k·h)-1)-1∈H·K，因此K·H⊆H·K。
同样，对于任意的h·k∈H·K，(h·k)-1∈H·K，即存在h1∈H，k1∈K使得(h·k)-1=h1·k1，所以h·k=(h1·k1)-1=k1·h1∈K·H，因此H·K⊆K·H。
由集合论知识知K·H = H·K。
