不定积分(高数竞赛)

例30
解 令：
，其中 则：
2 k ( x p x q ) 若分母含既约因式 ，则对应的部分因式为
Bk x Ck B1 x C1 B2 x C2 … 2 2 2 2 k x p x q ( x p x q) ( x p x q)
。
六. 分部积分公式
注：下列题型用分部积分法
① 不含反正切函数；
的结果中，
② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数。
② 不含对数函数； ③
仅含有理函数
四、凑微分法： 例6
原式= 求
时， 原式=
时，
原式=
例7
解
求
例8
求
例9
解1
求
例9
解2
求
烦！
例10（自学）
解
五、 分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）
例11
原式=
例12
原式=
例13
① m，n中至少一个奇数： 化为 ② m，n均为偶数： 或
降次
③
m，n均为负偶数（负奇数）： 化为
或
例19
答案：
① m，n中至少一个奇数： 化为 或
例20
② m，n均为偶数：
降次
原式
积化和差公式：
例21
③ 化为 m，n均为负偶数（负奇数）： 或
九、
型（a，b，p，q为常数）
解题方法： 求待定常数A，B，使 分母 分母
一般地：
f ( x) dx d ( f ( x)) 。
四、第二类换元法 1. 被积函数含
n
axb
令 令
n axb t n axb t 。 cxd
n axb cxd
2. 被积函数含
a x
2
2
2
令 x a sin t 令 x a tan t 令 x a sec t 先配方，再作适当变换
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
。
csc xdx ln csc x cot x
dx 1 x2 arctan x C
C

dx 1 x
2
arcsin x C
。
三、 常见凑微分
在
上定义，在
内可导，
在
时，
内定义且可导，
求
，
的表达式。
答案：
二、分段函数求不定积分： 例3
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示；
(2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2 的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 解
在 在
连续，
连续，
自学
解
由
例22
原式=
例23
（课外练习）
十、两项都难积分
一项用分部积分，产生另一项的相反项
例24
例25
例26
十一、含抽象函数的积分 例27
设 的原函数是 或 ，求
…
例28
Байду номын сангаас
求
原式=
例28
另解
原式=
求
十二、 化为参数方程
例29
解题思路： 把
，其中 转化为
把积分中变量 x、y 换为参变量 t 解 令： 则：
a x
2
x a
2
2
2
ax bx c
1 (有时用倒代换 x 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
P( x) R( x) Q( x)
a0 x a1x
n
n1
an
(n m)
a0 x n a1x n1 an
分母在实数范围内因式分解
k
若分母含因式 ( x a ) ，则对应的部分因式为 Ak A1 A2 … 2 x a ( x a) ( x a)k
；
u dv u v v d u u v u v d x
；


x ln n x dx；
ax
x arctan x dx ；
x arcsin x dx ；

e
sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
（典型例题）
一、由 例1
解：
求
，求
例2
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
。
二、 基本积分公式
(1)
(2)
dx x C
1 x 1 C ( 1) x d x 1
dx (3) ln x C x
(4)
x x e d x e C
x a (5) a x dx C 。 ln a
(6) (7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
dx 2 (8) sec xdx tan x C 2 cos x dx 2 (9) 2 csc xdx cot x C sin x
处连续，得：
例4
定义在 R 上，
求 。
在
连续
三、有理函数的积分： 例5
求常数a，b 的值，使 的结果中，
①
不含反正切函数；
② 不含对数函数；
③ 仅含有理函数。
例5① 求 a, b , 使
不含反正切函数；
不含反正切函数
例5① 求 a, b , 使
不含反正切函数；
不含反正切函数
b 任意
例5
求常数a，b 的值，使
1 1 d x d ( a x ) d ( a x b) a a
1 1 2 2 d(ax b) x dx d( x ) 2a 2
1 1 x dx d( x ) 1 1 dx d (ln x) x

( 1)
1 e dx d ( e a x ) 。 a
ax
1 cos ax d x d (sin ax) a
1 sin ax d x d (cos ax) a
sec x d x d (tanx)
2
sec xtan x d x d (secx)
1 dx d (arctan x) 2 1 x
1 d (arcsin x ) d x 2 1 x
，求
x x (1 e ) e x x e ln(1 e ) 1 e x d x
例14
递推公式
…
…
六：三角代换
原式
例15
例16
原式
1 七、倒代换：x t
分母含x的因子，
分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：
例17
原式
例18
原式
八、
型（m，n为正负整数）