信号与系统(第四版)陈生潭第四章课后答案

信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的s域分析
第四章 连续系统的s域分析
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 单边)拉普拉斯变换 三、(单边 拉普拉斯变换 单边
4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析
一、微分方程的变换解 二、系统函数 系统的s域框图 三、系统的 域框图 电路的s域模型 四、电路的 域模型 点击目录 ，进入相关章节
Fb (σ + jω ) e (σ + jω )t d ω 令s = σ + jω, d ω=ds/j，有 ω ， ∫−∞
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4.1 拉普拉斯变换
Fb ( s ) = ∫
f (t ) = 1
∞
−∞
f (t )e − st d t
σ + j∞
2π j ∫σ − j∞
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4.1 拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻， 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标 原点。这样， 时 原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为 。
F ( s) = ∫ f (t ) e
0−
∞
− st
F1b ( s) = ∫
∞ 0
e − ( s −α ) t eαt e − st d t = − (s − α )
∞ 0
=
1 [1 − lime −(σ −α )t e − jω t ] t →∞ (s − α )
1 s −α , = 不定, 无界,
Re[ s ] = σ > α
jω
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简记为F(s)=£[f(t)] 简记为 f(t)=£ -1[F(s)] 或 f(t)←→ F(s)
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4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) ↔ 1, δ ε 2. (t )或1 ↔ 3. ′(t ) ↔ s , δ
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4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e σ σ为实常数）乘信号f(t) ，适当 为此，可用一衰减因子 -σt(σ为实常数）乘信号 σ 选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于 选取σ的值，使乘积信号 → 时信号幅度趋近于 σ 的傅里叶变换存在。 0 ，从而使 从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。
e −( s − β )t F2b ( s ) = ∫ e e d t = −∞ − (s − β )
0
βt
− st
0 −∞
1 = [1 − lim e −(σ − β )t e − jω t ] t → −∞ − (s − β )
jω
, Re[ s ] = σ . > β 无界 = 不定 ， σ =β 1 σ <β − (s − β ) ，
= πδ ω) + 1/jω πδ(ω ω 不存在。 ， ω 不存在 （3）σ0 >0，F(jω)不存在。 ） 例f(t)=e2tε(t) ←→F(s)=1/(s –2) , σ >2；其傅里叶变 ； 换不存在。 换不存在。
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∫α
α + jω
− jω
F ( s )e st ds
∞ 0
利用拉氏变换，可将f(t)分解成众多复指数信号Aest或形如Aeαt cos[ωt + ϕ(s )] 信号的线形组合。
= F (σ )e df + ∫ + 2 F ( s ) eα t cos[ω t + ϕ ( s )]df
αt
二、收敛域
只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号 的 只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的
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称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。 称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 单边拉氏变换 拉氏变换 Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 α
三、单边拉氏变换
F ( s) =
def
def
∫
∞
0−
f (t ) e − st d t
1 σ + j∞ st f (t ) = ∫σ − j ∞ F (s) e d s ε (t ) 2π j
1 1 f 1 (t ) ←→ F1 ( s ) = + s+3 s+2 1 1 f 2 (t ) ←→ F2 ( s ) = + s+3 s+2 1 1 f 3 (t ) ←→ F3 ( s) = + s+3 s+2
Re[s]= σ > – 2 Re[s]= σ < – 3 –3<σ<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 可见，象函数相同，但收敛域不同。 须标出收敛域。 须标出收敛域。
0 ∞
Re[s]>σ0 σ
F (jω ) = ∫ f (t ) e
−∞
∞
− jω t
dt
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 必须为因果信号。 要讨论其关系， 必须为因果信号 根据收敛坐标σ 的值可分为以下三种情况： 根据收敛坐标σ0的值可分为以下三种情况： 的收敛域包含jω （1）σ0<0，即F(s)的收敛域包含 ω轴，则f(t)的傅里叶 ） ， 的收敛域包含 的傅里叶 F(jω)=F(s) s=jω 变换存在， ω ω 变换存在，并且 如f(t)=e-2tε(t) ←→F(s)=1/(s+2) , σ>-2； ； 则 F(jω)=1/( jω+2) ω ω
jω
仅当β α 仅当β>α时，其收敛域为 α<Re[s]<β的一个带状区域， β的一个带状区域， 如图所示。 如图所示。
α
0
β
σ
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4.1 拉普拉斯变换
求下列信号的双边拉氏变换 信号的双边拉氏变换。 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t) f2(t)= – e -3t ε(–t) – e-2t ε(–t) f3(t)= e -3t ε(t) – e-2t ε(– t) 解
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4.5 系统微分方程的 域解 系统微分方程的S域解 4.6 电路的s域求解 电路的 域求解 4.7 连续系统的表示与模拟 4.8 系统函数与系统特性
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信号与系统 电子教案 频域分析以虚指数信号 为基本信号， 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); ）有些重要信号不存在傅里叶变换， （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 ）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 域来解决这些问题。 以复指数函数e 本章引入复频率 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数 st为基本信 以复指数函数 任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 故称为s域分 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为 域分 所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
− j βt
1 s −j β 1 s +j β
, σ > 0 , σ > 0
e
令s0 = 0
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↔
ε(t ) ↔
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1
s
, σ > 0
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4.1 拉普拉斯变换
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F ( s) = ∫ f (t ) e − st d t
可见，对于反因果信号， 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=σ<β时，其拉氏变换存在。 其拉氏变换存在。 σ β 收敛域如图所示。 收敛域如图所示。
0
β
σ
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4.1 拉普拉斯变换
双边信号求其拉普拉斯变换。 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 e β t , t < 0 f 3 (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) = α t e , t > 0 求其拉普拉斯变换。 求其拉普拉斯变换。 解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
4.2 拉普拉斯变换性质
4.2 单边拉普拉斯变换性质 一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>σ1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>σ2 σ σ 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(σ1,σ2) σ σ 例 f(t) = δ(t) + ε(t)←→1 + 1/s， σ> 0 ，
+jω Fb(σ+jω)= ℱ[ f(t)
σt]= σ e-σt=
e-
∫
∞
−∞
f (t) e
−σ t − jω t
e
d t = ∫ f (t) e−(σ + jω )t d t
−∞
∞
相应的傅里叶逆变换 为 f(t)
1 f (t ) = 2π
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∞
1 2π
∫
∞
−∞
Fb (σ + jω ) e j ω t d ω
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4.1 拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换存在。 双边拉普拉斯变换存在。 的收敛域。 拉氏变换存在σ 使 f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为 b(s)的收敛域。 拉氏变换存在 的取值范围称为F 的收敛域 下面举例说明F 收敛域的问题 收敛域的问题。 下面举例说明 b(s)收敛域的问题。 因果信号f 求其拉普拉斯变换。 例1 因果信号 1(t)= eαt ε(t) ，求其拉普拉斯变换。 解
1
s
α > −∞ , α > 0 α > −∞
↔
1 s + s0
− s 0t
4. 数 信 号 e 指
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4.1 拉普拉斯变换
令s0 = ±α
αt
e
− αt
↔ ↔
1 s −α 1 s +α
, σ > α , σ > −α
e
令s0 = ±j β e j βt ↔
Fb ( s) e st d s
双边拉普拉斯变 换对
Fb(s)称为 的双边拉氏变换（或象函数）， 称为f(t)的双边拉氏变换 称为 的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为 b(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 称为F 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 称为
拉氏逆变换的物理意义
f (t ) =
2π j 1
cos ω0t = (e sin ω0t = (e
j ω0t j ω0t
+e −e
−j ω0t −j ω0t
)/ 2 ↔
s
s
2 2 +ω0
,σ > 0 ,σ > 0
)/ 2j ↔
ω0
2 s 2 +ω0
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4.1 拉普拉斯变换
的收敛边界为jω （2）σ0 =0，即F(s)的收敛边界为 ω轴， ） ， 的收敛边界为
F (jω ) = lim F ( s )
σ →0
如f(t)= ε(t)←→F(s)=1/s
1 σ − jω F (jω ) = lim = lim 2 + lim 2 σ → 0 σ + jω σ →0 σ + ω 2 σ →0 σ + ω 2
σ =α σ <α
0
α
σ
可见，对于因果信号， 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=σ>α时，其拉氏变换存 σ α 收敛域如图所示。 在。 收敛域如图所示。
收敛边 界
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收敛域
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4.1 拉普拉斯变换
反因果信号f 求其拉普拉斯变换。 例2 反因果信号 2(t)= eβtε(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解