第八章 匹配理论

和点。 如果没有，那么肯定是最大匹配了，如果 有，从图中的任一选定的非饱和点出发，用标号 法寻找增广链。如果找到增广链，则就可以得到 增广；否则从图中另一个非饱和点出发，继续寻
找增广链。重复这个过程直到G中不存在增广链
结束，此时的匹配就是G的最大匹配。这个算法 通常称为匈牙利算法.
匈牙利算法
基本思想:设G是具有二部划分(V1,V2)的二部图,从图G的 任意匹配M开始.若M饱和V1,则M是G的匹配.若M不能饱和 V1,则在V1中选择一个非M饱和点x,若G中存在以x为起点 的M可增广路P,则M’=MP就是比M更大的匹配,利用M’ 代替M,并重复这个过程.若G中不存在以x为起点的M可增 广路,则令H是根在x的M交错子图的顶点集,并令 S=HV1,T=HV2, 由定理1,T=NG(S),且G中不存在以x为 起点的M可增广路,此时称x为检验过的非M饱和点.对V1中 其它未检验过的非M饱和点重复该过程,直到V1中的所有 非M饱和点全部检验过为止.当整个过程结束时,由于G中
• 最简单的情况是G是一条单通路。显然
• ①G的边应交错地属于M(M不能有邻接的边)。
• ② G的第一条边和最后一条边中至少应有一条 边属于M (否则M不是最大匹配)。如下图所示：
• 定义4：若M是图G的一个匹配，若从G中 一个顶点到另一个顶点存在一条道路，此 路径由属于M和不属于M的边交替出现组成
§8.3
Hall定理
设有m个人，n项工作，每个人会做其中的若
干项工作，能不能适当安排，使得每个人都有工
作做？
w1
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当m>n时，肯定是不可能的，即使是 m≤n也不一定。但如果每个人能做的工作 越多，越容易实现。
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注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。
贝尔热(1926---2002) 法国著名数学家。他的《无限图 理论及其应用》(1958) 是继哥尼之后的图论历史上的第 二本图论专著。他不仅在图论领域做出了许多贡献，而 且四处奔波传播图论，推动了图论的普及和发展。 1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章。 贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。 贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《谁杀害了Densmore公爵》。
第八章
匹配
本章的教学内容
8.1 最大匹配 8.2 完美匹配 8.3 匈牙利算法
教学内容: ①匹配、最大匹配和完美匹配的基本概念 ②如何求一个图的最大匹配和完美匹配 考试要求：
理解匹配的基本概念；掌握图的最大匹配的确定
难点：定理完美匹配判定条件充分性的证明
预备知识
• 定义：若图G=(V,E)的顶点可以分成X，Y两 个子集，每个子集里的顶点互不邻接，这
的，则称此路径为交错道路.。
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• 定义5：若交互道路的两个端点为关于M的不 饱和顶点时，称此交互道为M-可增广道路。
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2、贝尔热定理 定理2 (Berge 1957)：M为最大匹配的充要条
件是：图G中不存在M-可增广道路。
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工作分配问题的求解模型
申请者集合
职位的集合
ai
......
bj
在此模型中如何 解释问题的解？
A
B
aibjEG 当且仅当 ai 适合于 bj
例9.6 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广 州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e 都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条 件下，共有几种派遣方案？ 解 令G = <V1, V2, E >, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u, v) | uV1, vV2, v想去u}, 其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示. G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案).
和的方式建议他们改正。
推论：若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。 证明：一方面，由于G是k (k>0)正则偶图,所以k|X|=k|Y|, 于是得|X| = |Y|；
另一方面，对于X的任一非空子集S, 设E1与E2分别是与S 和N(S)关联的边集，显然 有：E1 E2 即：
E1 k S E2 k N (S )
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证明： 设M是G的最大匹配。若G中存在M–
可增广路，的长度必为奇数，且不属于M的
边比属于M的边恰好多一条。令M’ = M。
显然M’也是G的一个匹配，且|M’| = |M| + 1＞
|M|。此与M的假设矛盾。故G中无M–可增广路。
（反证法） 反之，设G中不存在M–可增广路，若M不 是最大匹配，则可令M’是最大匹配，|M’|＞|M|。令 H=G[MM’] (边导出子图)。
Hall定理(1935)：
二部图G=（X，Y）存在一匹配M，使 得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对 于X任一子集S，及与S邻接的点集为N(S)，
恒有：
|N(S)|≥|S|。
(2) Hall定理也可表述为：设G=(X,Y)是偶图，如果存在 X的一个子集S,使得|N(S)| < |S| ，那么G中不存在由X到Y的 匹配。
v8
这是最大匹配而不是完 美匹配。此图尽管是偶 数个顶点却无完美匹配
推论1.设G是k(>0)正则二部图,则G有完美匹配. 推论2.设G是二部划分(V1,V2)的简单二部图,且 V1=V2=n,若(G)n/2,则G有完美匹配. 定理1.G有完美匹配O(G-S) S,SV(G),其 • 中O(G-S)是G-S的奇数阶连通分枝数目.
(3) Hall定理也称为“婚姻定理”，表述如下：
“婚姻定理” ：在一个由r个女人和s个男人构成的人群中， 1≦r≦s。在熟识的男女之间可能出现r对婚姻的充分必要条 件是，对每个整数k(1≦k≦r),任意k个女人共认识至少k个男 人。 (4) Hall定理是在偶图中求最大匹配算法的理论基础，即 匈牙利算法基础。
样的图称为二部图。
对称差：A、B是两个子图，
A B=(A∪B)-(A∩B)
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v3
v2
பைடு நூலகம்
v3 e3 e4 v4
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v4 v2 e1 v1
e1 v1
v3 e5 v1
v3
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e3
v4
§8.1 最大匹配(matching)
匹配问题是运筹学也是图论中的重
要问题之一, 它提供了解决“人员分配
任取vH，d(v)为1或2。∴H的每个连通分支是一条
M’边和M边交错出现的通路或偶数长度的回路。∵|M’| ＞|M|，∴H包含M’的边多于M的边，从而必有一个连 通分支P中的M’边多于M边。∴P是开始边和终止边都是 M’边通路，即M–可增广路。矛盾。故M为最大匹配。
设G中不含M可增广路，假设M'是G的一个最大 匹配。设H是MM'边诱导子图。若H=, M=M', 即 M是最大匹配。否则，因为M和M'均为匹配，H中 不可能有3次或3次以上的顶点，H的每个连通分支 只能是交错回路或交错路，在两种情况下，H中取 自M和M'的边总是一样多(否则，M和M'中有一个
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(5) Hall (1904---1982) 英国人，
20世纪最伟大的数学家之一。 主要功绩是在代数学领域。在 剑桥大学工作期间，主要研究 群论，1932年发表的关于素数 幂阶群论文是他最有名的工作。 匹配定理是他1935年在剑桥大 学做讲师时发表的结果。Hall 是一名雅致的学者，对学生特 别友好，当他觉得有必要批评 学生时，他都会以一种十分温
不存在M可增广路,从而M为G的最大匹配.
匈牙利(Hungarian)算法：
(1)任给一个初始匹配；
(2)若X已经饱和，结束；否则转（3）；
(3)在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={}；
(4)若N(V1)=V2则停止，否则任选一点y∈N(V1)-V2；
问题”和“最优分配问题”的一种新的 思想.
具体问题描述：
有n个女士和n个男士参加舞会，每位女士与其中若干
位男士相识，每位男士与其中若干位女士相识，问如何安 排，使得尽量多配对的男女舞伴相识。
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下图就是一种分配方法： f1 f2 f3 f4 f5
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由Hall定理，存在由X到Y的匹配.又|X| = |Y|，所以G存在 完美匹配。
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§3
匈牙利算法
1965年，匈牙利著名数学家 Edmonds设计了一种求最大匹配的算法， 称为匈牙利(Hungarian)算法。
求最大匹配常用匈牙利算法，在图中求最大
匹配的关键是寻找M-可扩充路。它的基本思想是：
通常是先构造一个匹配M，再看图中有没有不饱
饱和的
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不饱和的
匹配的性质定理
定理1.设M1和M2是图G的两个不同匹配,由M1M2导出 的G的边导出子图记作H,则H的任意连通分支是下 列情况之一:
(1)边在M1和M2中交错出现的偶圈.
(2)边在M1和M2中交错出现的路.
一个匹配
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另一个匹配
含可增广路)，M是最大匹配。
实际问题 二次大站期间，许多盟军飞行员到英
国参加对法西斯的空袭，当时每架飞机需领航员 和飞行员各一名。其中有些只能领航，有些只能 驾驶，也有人二者均会。加之二人语言要求相通， 如果以结点表示人，边表示二人语言相通并且一 人可领航，另一人可驾驶便可得一图，这是一简 单图，那么最多的编队方案就是求该G的一个最
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下图是一种分配方法吗？ f1 f2 f3 f4 f5
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5项工作准备分给5个人去做，如图，其中边（fi,mj) 表示fi,可以从事mj ，如果每个人最多从事其中一项， 且每项工作只能由一人担任。问怎样才能使尽可能 多的人安派上任务？
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• 定义1：若M是图G=(V,E)的边子集，且M中的任意
大匹配。
安
静
§8.2 完美匹配
定义1：设M是G的一个匹配，如果G的每一个 顶点都是M-饱和点，则称M为完美匹配。
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• 完美匹配是让图中所有顶点
都成双成对的匹配。显然只
有在偶数个顶点的图中才会
有完美匹配。
例9.3 下列图中，
M1
M2
关于M1, a, b, e, d 是饱和点， f, c 是非饱和点 M1不是完美匹配 M2是完美匹配
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f5 • 环合是交错道路 f1 f 2 f3 f4 f5
m1 m2 m3 m4 m5 f1 f2 f3 f 4 f5 m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5
• 环合是偶圈
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课堂练习 求下图的两个不同的匹配（至少3条边），并求 它们的环合
e1 a b e2
d e3 e 4 e5
c e6 e7
f
e8 e9 g
e
• 定义3：图G中边数最多的匹配M，称为G
中的一个最大匹配。
f1
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最大匹配一般不唯一
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m5
怎样会是最大匹配？
• 图G中的匹配M怎样会是最大匹配呢？让我们
来考虑最简单的情况：
最大匹配与完美匹配
• 完美匹配必定是最大匹配，但反 之不然。 • 任何图G一定有最大匹配，但却 不一定有完美匹配。
v1 v2 v6 v3 v5
v4
v7
• 含奇数顶点的图不可能有完美匹 配，因为无论如何配对，注定有 人打单身。 • 有完美匹配的图一定是偶数个顶 点，但偶数个顶点的图中也未必 能使天下人终成眷属。
两条边在G中不相邻，则称M为G中的一个匹配，
M中的每条边的两个端点称为在M中是配对的。
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匹配——边 独立 集（边与边 不 相邻）
例9.2 求下列图的匹配：
3
3
4
• 定义2：若匹配M的某边和顶点v关联，称v
是M-饱和的，否则就是M-不饱和的。
f1 f2 f3 f4