高等代数知识结构
二、高等代数知识结构内容（一）线性代数：1.行列式1行列式的计算设有2
n 个数，排成n 行n 列的数表
nn
n n n
n a a a a a a a a a 212222111211，即n 阶行
列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
n 21nj j 2j 1a a a
⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211=
()
()
n 21n 21n
21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里
∑
n
21j j j 表示
对所有n 级排列求和.
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数
乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．
矩阵相等：设n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(, 若 ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称
B A =.
线性运算：n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(
加法：⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++++=+=+⨯mn mn m m n n n
m ij ij b a b a b a b a b a B A
11111111)(
数乘：⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡==⨯mn m n n
m ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ⨯-=-=-)()1( 减法：⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡----=-=-⨯mn mn m m n n n
m ij ij b a b a b a b a b a B A
11111111)( 矩阵的乘法定义：设 s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=ms m s a a a a AB 1111∆
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡sn s n b b b b 1111⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=mn m n c c c c 1111其中元素[]is i i ij a a a c 2
1
=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i ==
A 的列数 =
B 的行数。
AB 的行数 = A 的行数；
AB 的列数 = B 的列数． A 与B 的先后次序不能改变．
(5)矩阵的初等变换
矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换；
2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元；
3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。
3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为
()i 式中(1,2,,)i xi n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==称为方程组的系数，(
1,2,,)j b j n =称为常数项. 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120
s bb b ====. 令
1112121
2221
2
n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
则()i 可用矩阵乘法表示为
A X
B =，,,.m n n m
A C X C
B
C ⨯∈∈∈
a.线性方程组的解法
1)消元法
在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.
2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有
定理1 如果含有n 个方程的n 元线性方程组
的系数矩阵
的行列式
11
12
12122212
det 0n n n n nn
a a a a a a A a a a =
≠，
那么线性方程组()i i 有唯一解：
其中d e t j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即
此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式d e t 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的.
广义逆矩阵A -
法
设m n
A C ⨯∈.如果存在n m G C ⨯∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-
广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵
A 的{1}-逆的全体记为{1}A .
若m n A C ⨯∈，A -n m C ⨯∈为A 的一个{1}-广义逆矩阵，则对,n m
V W C
⨯∈为任意的n m ⨯矩阵，矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵为
G A V A A V A A ---
=+-,
同时还可以表示为
