u ——x方向的位移分量 ——y方向的位移分量
Βιβλιοθήκη Baidu—剪切模量
3 4 平面应变。 ——泊松比
3 1
k=
平面应力 由弹性力学分析可知： 对Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，应力应变场的强度也由KⅡ，KⅢ 决定，可查阅有关参考书。
思考题
2型裂纹的裂端区应力场在裂纹表面有何特点？ 在裂纹正前方又有何特点？裂端区位移分量在 裂纹表面和正前方又有何特点？
由式（3-1）可知，裂端区应力场的形式恒定， 当r和θ一定时，其强度完全由KⅠ值的大小来 决定。因此称KⅠ为Ⅰ型裂纹的应力强度因子 (stress intensity factor)。
0, x 裂端正前方：
KI 2r
， y
KI 2r
, xy 0
裂纹表面： , x 0， y 0, xy 0 应变：假设为线弹性问题（材料线弹性，小挠 度） K f i，j=x，y (3-2) 2r fij是θ的函数。 εij也是由KI的大小决定的。
K a
K a
KA
KB
P
a
P
ab a b
a b ab
a<<h时
a
K 1.12 a
3.5叠加原理及其应用
1) 同型裂纹的叠加 多个载荷作用于一个带裂纹的物体，若此时的 裂纹问题与每个载荷单独作用时是同一型裂纹， 则应力强度因子为每个载荷单独作用时应力强 度因子之和。
b2 设a为椭圆长半轴，b为椭圆短半轴 a
Kt 1 2
∵ a≥ ， ∴ Kt≥3。
当 →0，Kt→∞，这时应力集中处A、B的 应力也趋于∞。可是当σ→∞，这些点的应 变并不趋于∞，而是有限的。 从(3-1)(3-2)(3-3)可见，应力强度因子KⅠ 可表示裂端的应力、应变、位移。所以KⅠ 可作为表征裂端应力应变场强度的参量。 和古典断裂力学在Griffith提出能量释放率 G以后得到发展一样，现代断裂力学在 Irwin于20世纪50年代中期提出应力强度因 子KⅠ后得到了发展。 再次强调：因KⅠ由线弹性理论推出，所以 一般只适用于线弹性材料的断裂。由此建 立起来的理论称为线弹性断裂力学。
x
y
xy
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r
KI 2r sin
+含r的高次项 +含r的高次项
+含r的高次项
(3-1)
2
cos
2
cos
3 2
I ij ij
r 2u K I k 1 2 sin 2 cos 2 2 2 1 r 2 2 K I k 1 2 sin 2 sin 2 2 2
1 2
(3-3)
问题：用叠加法证明
3.3应力奇异性和应力强度因子
由式（3-1）和式（3-2）给出的应力场和应变 场是根据线弹性理论推导而得的。 分析可知：当r→0时（裂纹端点），应力分量 趋于无限大，这种特性称为应力奇异性 （stress singularity）
解释如下：（弹性理论）
无穷远处作用有σ，A、B处会发生应力集中。用应力集中 系数（stress concentration factor）来衡量应力集中的程 度。 a
3. 应力强度因子
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
裂纹基本型 裂端的应力场和位移场 应力奇异性和应力强度因子 常见裂纹的应力强度因子 叠加原理及其应用
3. 应力强度因子
裂端应力应变场（也可以说是局部应力应变场， 此应力应变场不同于构件其他部分应力应变场） 应与裂端的扩展有关。即与能量的释放有关。 裂端应力应变场的强度(intensity)足够大，断 裂即可发生。反之，断裂就不发生。裂端应力 应变场应为一局部场。
2) 复合型裂纹的分解 复合型裂纹的应力强度因子是把载荷分解 后各型裂纹的应力强度因子。不同型K，不能 叠加。 3）把裂纹问题化为同型的另一个裂纹问题
转化条件： A B C
K A K B KC
4）格林函数(Green Function)的应用 集中力的解作为格林函数，然后用积 分来得到分布力的解。
3.4 常见裂纹的应力强度因子
将线弹性断裂力学用于工程实际时，常常要计 算应力强度因子。 方法有：
解析法：应力函数法、积分变换法等 数值法：有限单元法、边界元法、边界配置法等。
查手册：《应力强度因子手册》 应力强度因子与载荷、裂纹数目、长度和位置 以及物体的几何形状有关。单位是百万牛顿× 米-3/2 (MN/m3/2)
3.1 裂纹基本型
① 张开型 ：Opening mode ② 滑移型 Sliding mode 同平面剪切型 in-plane shear mode ③ 反平面剪切型 anti-plane shear mode
3.2 裂端的应力场和位移场
考虑二维Ⅰ型裂纹：
裂端附近一点A (r，θ)，r<<a，a为裂纹尺寸。 由弹性理论： 应力场：
