减肥问题数学模型
摘要
肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康
疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。
在问题一中，我们找到营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量
的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据，并结合肥胖的三个要素（进食、活动、新陈代谢），建立了如下的数学模型：w(t)=)1(0ct ct e c a e w ---+ 其a=i i i i i i r r w η∑∑==3131/;c=(1+10+i μ)4.2310⨯/i i i r η∑=31
。 同时也提出了，模型的改造方法一跟二。
在问题二中，实际应用上面的数学模型，重点对“NRG 清赘减肥胶囊”减肥
药广告以及“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行了论述和判断其是否对人体有副作用。
在对“10步易学瘦身操模型论述”减肥方法广告进行的论述中，还进行了
定量的计算。
关键词：减肥 饮食 活动 新陈代谢
一、问题重述
肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。
情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。
一、收集相应数据对此减肥问题建立数学模型。
二、任意找几则减肥药和减肥方法广告，用你建立的数学模型论述它们是如何达到减肥的，会不会产生对身体有害的副作用？
二．相关数据
1 、每日膳食中,营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准,营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量,如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将使身体产生不利的影响. (每天膳食提供的热量不少于5000 ———7500J ,这是维持正常命活动的最少热量)
2 、成人每天需要的热量= 人体基本代谢需要的热量+ 体力活动需要的热量+ 食物的特殊动力的作用所需要的热量
①人体基本代谢的需要的热量的简单算法:
10J
女子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×9 (千卡) = 体重(斤)×3.78 ×3
10J
男子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×10 (千卡) = 体重(斤)×4. 2 ×3
②食物的特殊动力的作用所需要的热量≈10 % ×人体基本代谢的最低热量
③体力活动所需要的热量= 人体基本代谢的需要的本热量×活动强度系数
3 、热量主要由3 种物质即由脂肪、蛋白质、碳水化合物转化而得,因此在
减肥期间应当限制膳食的总热量,而不仅是限制脂肪的摄入。
正确的摄入比例为:
碳水化合物:55 %———60 %
脂肪:20 %———25 %
蛋白质:15 %———20 %
在减肥的过程间适量增加蛋白质的摄入,降低另两类的摄入,但也不该过分改变上述比值。
4 、人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。
5 、由于热量的3 种来源是碳水化合物、脂肪、蛋白质我们不妨以人体这3
种物质的重量作为体重的标志。记这3 种物质的转化系数分别为1r = 1. 7 ×710J / kg ，2r = 1. 7 ×710J / kg ，3r = 3. 8 ×710J / kg
三、 模型假设
1 、假设人的体重由碳水化使物、脂肪、蛋白质三部分组成,不考虑其它成分;
2 、假设人每天摄入的食物中能转化为热量的只有碳水化使物、脂肪、蛋白质;
3 、摄入的食物全部转化为热量。
四、 符号说明
四、模型建立
4.1问题一
4.1.1问题分析：
该小题要求，收集的相关数据,并在此基础上，对减肥问题建立数学模型。对于此问题的解决，我们要先从营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面收集到上述数据。然后，再根据数据以及能量平衡定理，列出方程，再结合积分的知识，
求出W （t ）的关系式即减肥问题的数学模型。
4.1.2模型建立：
根据背景知识成人每天所需要的热量由人体基本代谢所需需热量、体力活动所需热量和食物的特殊动力的作用所需要的热量三部分组成. (下面以成人男子为分析对象,未成年男子和女子代入其相应的数据即可得到)
成人每天的基本代谢所需热量为:w(t)⨯10 ×4. 2 ×310J
成人每天的体力活动所需热为:w(t) ⨯10j μ ×4. 2 ×310J
成人每天由于食物的特殊动力的作用所需热量为:w ( t )×4. 2 ×310J
已知人每天摄入的总热量为:i i i r w ∑=3
1
现在我们研究在时间(t ,t + △t) 内能量的变化。
摄入与消耗能量之差为:i i i r w ∑=3
1 △t - w(t) (1+ 10 + 10j μ )
体重改变的能量变化为: [w(t + △t) - w(t) ]i i i r η∑=3
1
由能量的守恒可得等式:
i i i j i
i i r t w t t w t t w t r w ημ∑∑==-∆+=∆⨯++-∆3
1331)]()([102.4)10101)(( 以△t 除等式两边且△t →0 ,可得
cw a dt
dw -= 其中a =i i i i i i r r w η∑∑==3131/ c=(1+10+i μ)*3
102.4⨯/i i i r η∑=3
1 于是我们给出了一个减肥的数学模型。
4.1.3模型求解
解:当t =0为模型启动的初始时刻,此时人的体重为w(0)=0w , 通过变量分离, 两边积分易得(l)的解为: w(t)=)1(0ct ct e c
a e w ---+
其中 a=i i i i i i r r w η∑∑==3131/;
