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一 非线性动力系统
2.加入动力学行为 记忆效应(与t相关):
无记忆效应(与t无关):
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一 非线性动力系统
混沌: 混沌是指发生在源自文库定性系统中的貌似随 机的不规则运动,一个确定性理论描述的 系统,其行为却表现为不确定性--不可 重复、不可预测,这就是混沌现象。
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 d.Chaotic attractor 具有收敛性 无周期 分型结构 “奇怪吸引子”
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一 非线性动力系统
高维吸引子
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吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可 能不止一个,这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值 指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后,由指数 的值决 定的各种类型的吸引子归纳如下:
l l l l , , , ,
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二 经典非线性测量方法
稳定体系的相轨线相应 于趋向某个平衡点,如果出 现越来越远离平衡点,则体 系是不稳定的。 系统只要有 一个正值的就可出现混沌运 动。 判别一个非线性系统是否 存在混沌运动时,需要检查 它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。
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二 经典非线性测量方法
3.相关维度 C(r)为吸引子上两个随机点之间距离小于 给定距离r的似然估计。是r的函数
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二 经典非线性测量方法
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• 在混沌运动系统中,K熵大于零,K熵越大 ,那么信息的损失速率越大,系统的混沌 程度越大,或者说系统越复杂
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三 例子
正常人与癫痫发作时的比较 1.EEG &2.相空间轨迹
一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
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一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言,它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ,或者说对初始值具有极端敏感性;初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果,这时的吸引子毫无周期可言,即所谓 混沌。
二 经典非线性测量方法
1.Lorenz 散点图
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二 经典非线性测量方法
2.Lyapunov 指数
Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混 沌系统。系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则 表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的 Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则 该系统为混沌系统。
一 非线性动力系统
Lorenz方程组:
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性
• 吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是 一个动力系统在t →∞时所呈现的与时间无关的定态,并 且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个,也就 是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 • 如:阻尼单摆有不动点吸引子,范德玻耳方程有极限环 吸引子,等等。
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵(柯尔莫哥洛夫熵) S熵(香农熵,信息论) 一个吸引子的K熵是它(吸引子)所表示 的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数 之和。
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二 经典非线性测量方法
• 在随机运动系统中,K熵是无界的; • 在规则运动系统中,K熵为零;
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典型非线性方程: 人口模型:
x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))
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• 混沌二分叉图:
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a.Point attractor 静止在定态
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3.吸引子及其特性 b.Limit cycle 周期性运动
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1, 2, 3,
4,
吸引子类型 不动点 极限环 二维环面 三维环面 超混沌
维数 D=0 D=1 D=2 D=2 D = 高于3非整数
0, , , , 0,0, , ,
0,0,0, , ,0, , , , ,0, ,
奇怪吸引子(混沌) D = 2~3(非整数)
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二 经典非线性测量方法
• 设 为多维相空间中两点的初始距离,经 n 次迭代后两点 的距离为: lt
(t ) 0e
i
• 式中指数 li 值可正可负。 表示沿该方向扩展, 表示 沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后,两个不 同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。
Outline
一、非线性动力系统 二、经典非线性测量方法
三、例子 四、小结
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一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程: y(t)=a*t+b1
非线性方程: Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
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