2013中考数学精选例题解析分式方程

2 013中考数学精选例题解析：分式方程

知识考点：

会用化整法，换元法解分式方程，了解分式方程产生增根的原因并会验根，会用分式方程解决简单的应用问题。

精典例题：

【例1】解下列分式方程：

1、x

x x x --=-+222； 2、41

)1(31122=+++++x x x x 3、1131222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

x x x x 分析：（1）题用化整法；（2）（3）题用换元法；分别设112++=x x y ，x

x y 1+=，解后勿忘检验。

答案：（1）1-=x （2=x 舍去）；

（2）1x ＝0，2x ＝1，21733+=x ，2

1734-=x （3）2

11=x ，22=x 【例2】解方程组：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==-92113111y x y x

分析：此题不宜去分母，可设x 1＝A ，y 1-＝B 得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==+92

31AB B A ，用根与系数的关系可解出A 、B ，再求x 、y ，解出后仍需要检验。 答案：⎪⎩⎪⎨⎧==32311y x ，⎪

⎩⎪⎨⎧-=-=23322y x 【例3】解方程：31

24122=---x x x x 分析：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细观察可发现x x x x 12122-=-，所以应设x

x y 122-=，用换元法解。 答案：2611+

=x ，2612-=x ，213=x ，14-=x 探索与创新： 【问题一】已知方程1

1122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。

略解：存在。用化整法把原方程化为最简的一元二次方程后，有两种情况可使方程无解：（1）△＜0；（2）若此方程的根为增根0、1时。所以m ＜4

7或m ＝2。 【问题二】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。

当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。 你认为哪种方案获利最多？为什么？

略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x 吨蔬菜精加工，用时间列方程解得60=x ，故可算出其获利810 000元，所以应选择第三种方案。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若关于x 的方程011

1=--+x ax 有增根，则a 的值为 。 2、用换元法解方程01222=-+-+x

x x x ，如果设y x x =+2，则原方程可变形为整式方程 。

3、分式方程01

11=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，则k ＝ 。 4、若2

121+=+x x ，则x ＝ 或 。 二、选择题：

1、方程6

25222+-=+-x x x x 有（ ） A 、一解 B 、两解 C 、无解 D 、无穷多个解

2、方程21

32=+-x x 的根是（ ） A 、－2 B 、

21 C 、－2，21 D 、－2，1 3、用换元法解方程71

)1(61)1(222=+++++x x x x 时，下列换元方法中最适宜的是设（ ） A 、12

+=x y B 、1+=x y C 、112++=x x y D 、112+=x y 4、用换元法解方程4112

2=+++x x x x ，通常会设y （ ）

A 、2x x +

B 、x x 1+

C 、211x x +

D 、2+x 三、解下列方程：

1、6

25--=-x x x x ； 2、1226102=-+-+x

x x ； 3、

11213122=-++++--x x x x x ； 4、9

8876554-----=-----x x x x x x x x 四、用换元法解下列方程（组）

1、2

53113=-+-x x x x ； 2、3114338222=-----x x x x

x x ； 3、31234222=---

-x x x x ； 4、061512=++-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x x x x 五、已知0132=++x x ，求441x

x +的值。 参考答案

一、填空题：

1、－1；

2、022=--y y ；

3、－1；

4、2，

2

1； 二、选择题：ACCB

三、解下列方程：

1、x ＝10；

2、x ＝5；

3、x ＝－2；

4、x ＝7

四、用换元法解下列方程（组） 1、21-=x ，512-=x ； 2、11=x ，3

82=x ； 3、01=x ，22=x ，21423+=

x ，21424-=x 4、21-=x ，232-=x 五、57