【028】已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【029】如图14（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形． A
C
x
y
B
O
【030】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，
(30)B ，，(03)C ，三点，
其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出s 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '，请直接写出P '点坐标，并判断点P '是否在该抛物线上．
【031】如图18，抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ． 1-
1- 2- 3- 1 2 3 3 1 D
y C B A
P
2 E
x
O
⑴当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)； ⑵若a 、b 、c 满足了ac b 22= ①求b ：b ′的值；
②探究四边形OABC 的形状，并说明理由．
【032】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(1
0)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． y
x
O P D
C B
A
图 18
【033】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分
别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到
1
点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线c
-
=2
+
bx
x
y+
4
经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．
（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．
（3）当0＜t≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．
【028】解：（1）由题意得1
29302
b
a a
b
c c ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪=-⎪⎩
解得23432a b c ⎧
=⎪⎪⎪=
⎨⎪
=-⎪⎪⎩
∴此抛物线的解析式为224
233
y x x =
+- ·
···················································· 3分 （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最
小.
B 点关于对称轴的对称点是A 点，A
C 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P . 设直线AC 的表达式为y kx b =+则302k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得23
2k b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩
∴此直线的表达式为2
23
y x =--．
把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为413⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭， （3）S 存在最大值，理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥．
∴OED OAC △∽△．∴
OD OE OC OA =，即223
m OE
-=．
∴333322
OE m AE OE m =-
==，， 方法一：连结OP ，OED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形
=()()13411332132223222m m m m ⎛
⎫⎛⎫
⨯-
⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2334
2m m -+
，∵304-<∴当1m =时，333424
S =-+=最大 ················ 9分 方法二：OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△ =()1
131341
323212
222232
m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-
⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭
