(泰森多边形插值)基于泰森多边形法的空间品位插值

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Yes
Yes
到下一层 Zi+1 层
B A
No 是否 Zi 层中 Yj 列中所有行 都被处理？ No 计算网格点与已知点的最 小距离 d 及 d 的个数 n 计算临时品位值 tempG=(tempG1+…+tempGn)/n d>d0 ? No Grade=(d0-d)tempG/d0 存入到变量中 到 Yj 列的下一行 Xk+1 行 Yes Grade=0 Yes 到下一列 Yj+1 列
d ⎧ ) d ≤ d0 ⎪Z ( O ) × ( 1 − Z( A ) = Z( O ) × f ( d ) = ⎨ d0 ⎪ 0 d > d0 ⎩
⎧1 d )× ⎪ × (1 − Z( A ) = ⎨ n d0 ⎪ 0 ⎩
∑Z
k =1
n
k(O )
d ≤ d0 d ≥ d0
（6）
至此，无需真正构造泰森多边形，便可进行泰森 多边形法的插值，其在计算机上实现的流程如图 2。
第4期
李翠平，等：基于泰森多边形法的空间品位插值
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其中， i, j , k 分别为任意一个插值点 ( x, y, z ) 所在 的行、列、层的序号； ∆x, ∆y, ∆z 分别为网格点在 三个方向上的间距； f ( x, y, z ) 为体数据在网格点
(i, j , k ) 处的属性值。
由规则网格结构化体数据构型可见，该构型将 需要插值的空间区域划分为规则空间网格。这种规 则空间网格实质上是对需插值的空间区域进行规 则的分层，即先在某一方向（如 Z 方向）上按指定 的间隔将其划分为若干分层，之后再对每一分层按 指定的方向和间隔进一步划分，这样整个空间区域 就被分割成由三个方向（X、Y、Z 方向）上若干分 层组成的规则空间网格，网格的各顶点即为需要插 值的空间点[5]。而对于采用泰森多边形插值法来生 成规则空间网格结构化的体数据，可以采用如下的 分析方案进行。 由于地质勘探与生产勘探所获取的样品数据 以及对其进行正则化处理所得到的离散的空间点 数据，均具有沿取样方向数据相对其它方向分布集 中特性，且地质勘探和生产勘探的取样方向常为大 地坐标系的 Z 轴方向。故针对样品数据在 Z 方向上 分布相对集中甚至连续的特性，则在对原始采样数 据进行正则化处理时，按照规则体素的 Δz 间隔对 原始的样品数据进行正则化，这样正则化后的空间 离散点数据已是在 Z 方向上按 Δz 间隔分层的数 据。而此时对于 Z 方向上每一分层的数据，其分布 是散乱、稀疏的，其离散稀疏的程度则取决于勘探 网度的大小，为此需经插值处理而使各分层的数据 呈规则分布。由于此时的插值只是在二维平面上进 行， 故采用泰森多边形法按规定的 Δx、 Δy 间隔对 分层数据进行插值，沿 Z 方向顺次处理各分层，直 至所有分层均被插值处理。这样，对于原本三维空 间的插值问题，已转变为在若干二维平面上的插值 问题，从而较轻松的将泰森多边形法插值引入到了 三维空间中。
Z ( A) = w × Z (o) w = f (d )
（2）
其中， Z (o) 为已知点的属性值； Z ( A) 为待求点的 属性值； w 为权系数，取决于 f ( d ) ； f ( d ) 为待求 点与已知点之间的距离函数。而对于该距离函数的 确定，可做如下分析： 最简单的函数确定情况下，权系数 w 的值为常 数 1，即认为各泰森多边形内部属性为一定值，这 样所有待求点的属性均等于其所在多边形中已知 点的属性，这种情况表明待求点属性的确定与距离 无关。但对于这种简单情况基本不符合现实情况下 需插值的数据点集，因实际采样数据受勘探网度影 响，数据点集稀疏、散乱，若待插值点属性直接取 其相应的已知点属性值，显然不合理。为此，必须 确定一权系数 w ，能够表达待插值点与其各控制点 （该待求点所在多边形内的已知点）间的距离不等 时，各控制点对待求点的影响程度不同，故将权系 数 w 表达为距离函数，即说明待求点属性的确定与 其控制点之间存在距离的相关性，这种相关性表现 为待求点距离控制点越近相关性越强，距离控制点 越远相关性越弱，并且当超过一定距离时两者间便 不再具有相关性，此时的距离称为临界影响距离。 故其距离函数可采用如下关系表达
f ( x, y, z ) = f (i × ∆x, j × ∆y, k × ∆z ) （1）
收稿日期:2006-08-29 基金项目：国家自然科学基金资助项目(50604003);教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20060008005)； “十一五”国家科技支撑计划基 金重点资助项目(2006BAK04B04) 作者简介：李翠平（1974-） ，女，辽宁 黑山人，副研究员，博士，主要从事于矿山开采方面的研究。本文编校：于永江
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引
言
泰森（Thiessen）多边形法（又称 Drichlet 或 Voronoi 多边形法或最近邻点法） ，是由荷兰气象学 家 A.H.Thiessen 提出的一种插值分析方法，最初用 于从离散分布气象站的降雨量数据中进行平均降 雨量的计算[1-2]。 泰森多边形插值方法的原理比较简单，即将整 个数据平面按已知采样点的位置分割成若干个由 泰森多边形表示的子区域，而每个泰森多边形的构 成则是由相应的采样点与周围的所有邻域点间作 垂直平分线，并将各垂直平分线依次连接组合而 成。泰森多边形内的点较多边形外的任意点至已知 点最近，故又常被称为最近邻点法。各泰森多边形 内的每一点属性均由各多边形内的已知点确定，若 求数据域内任意一点数据属性 Z（xi，yi） ，则需首 先判断待求点所落入的多边形，然后再由控制该多 边形的已知点 Z（x，y）推算得到。 由于泰森多边形插值方法简单易行，故在地
学、资源、环境、气象等方面的研究中作为一种由 点到面的插值方法得到了广泛的应用。但由泰森多 边形法的插值原理可见，泰森多边形是一种基于二 维平面的插值方法。而如何将该插值方法引入到三 维空间中，用于解决三维空间地质体的属性插值 （如品位插值） ，以满足矿山生产的实际需要，则 是本文将探讨的问题。
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插值方案设计
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辽宁工程技术大学学报
第 26 卷
f (d ) = 1 −
d d0
d ≤ d0
（3）
其中，d 为待插值点与其控制点间的距离，d 0 代表 临界影响距离。而对于 d 0 的取值，应根据所研究的 具体问题来具体确定。 根据上述分析的距离函数，采用泰森多边形法 进行插值，则待插值点的属性可由如下关系确定
2
插值方案实施
在以往的利用泰森多边形法进行插值的过程 中，均需首先在已知数据点的平面区域内构造出泰 森多边形，之后通过判断插值点所在的泰森多边形 来实现插值。而对于构造泰森多边形若采用手工方 法绘制还是一个相对简单的工作，较为容易实现， 但若采用计算机来构造泰森多边形却是一个比较 复杂的过程。为此考虑在插值的过程中能否可以不
关键词：泰森多边形法；空间插值；相关性；体数据 中图分类号：TD 82 文献标识码：A
Ore grade interpolation based on Thiessen polygon method
LI Cui-ping，LI Zhong-xue，YU Dong-ming (Key Lab of High-Efficiency Mining and Safety of the Metal Mines Ministry of Education, University of Science and Technology of Beijing, Beijing 100083,Chin) Abstract：To make Theissen polygon method used in spatial attribute interpolation of 3D geological body and generate regular structured grid volume data with Theissen polygon method, according to the spatial distribution of the sampling data, this paper advances a method used in spatial interpolation. Based on the analysis of Theissen polygon method, ore grade interpolation relationship of distance dependency is built, without real construction of Theissen polygons. Thus, the Thiessen polygon method can be effectively used to the ore grade interpolation. The case study demonstrates that the method is feasible and the result is reasonable. Key words：Thiessen polygon method；spatial interpolation；dependency；volume data
从数据库中按 Z 提取 数据并保存到变量中 划分行、列、层形 成所求未知网格点
（4）
这里还尚需考虑一种特殊情况， 即当待求点位 于两个相邻泰森多边形的公共边上或者多个相邻 多边形的公共顶点上时，如图 1，其属性值的确定 方法。
是否所有层都 被处理？即 Zi 达到最大？ No 是否 Zi 层中所有 列都被处理？
由地质勘探与生产勘探所获取的原始采样数 据以及对其进行正则化处理所得到的离散的空间 点数据，均具有显著的稀疏性。而为实现地矿数据 的体视化、地矿工程的真三维显示及赋存矿石平均 品位、储量的计算，均需首先进行数据的空间属性 插值处理， 以获取所需的体数据形式[3-4]。 为解决问 题的实际需要，文中插值得到的体数据构型为规则 网格结构化数据，该构型可表示为
已知属性点
未知属性点
图 1 未知点位于相邻泰森多边形公共边上的情况 Fig.1 uncertain point on the public line of the adjacent Theissen polygons
第 26 卷第 4 期 No.4 Vol.26
文章编号：1008-0562(2007)04-0488-04
辽宁工程技术大学学报 Journal of Liaoning Technical University
2007 年 8 月 Aug. 2007
基于泰森多边形法的空间品位插值
李翠平，李仲学，余东明
构造泰森多边形，而直接进行插值。 但不论采用何种实施策略来进行泰森多边形 法的插值实现，都必须满足泰森多边形的三个性 质，具体为 性质 1 每个泰森多边形所控制区域的属性均 由内部的原始已知点的属性决定； 性质 2 泰森多边形内任意点与其内部已知点 的距离均小于与外部其它已知点的距离； 性质 3 位于泰森多边形边界上的点，到以此 边为公共边的相邻泰森多边形内的原始已知点的 距离相等[6]。 为此，首先结合性质 2 分析，由于多边形内任 意点与其内部已知点的距离均小于与外部其它已 知点的距离，故只要能够确定待求点与已知点集的 哪个已知点的距离最小，就可以确定待求点与其距 离最小的已知点相关，即待求点一定落在与该已知 点所控制的泰森多边形内；再结合性质 1，因每个 泰森多边形所控制区域的属性均由其内部的原始 已知点属性决定，即表明待求点属性的确定取决于 其所在多边形中已知点的属性，其关系可表达为
(北京科技大学 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室, 北京 100083)
摘
要：为使泰森多边形法能够用于三维地质体的空间属性插值，生成规则网格结构化体数据，利用取样数据的空间分布特性，提
出了用于空间插值的方案，通过分析泰森多边形的性质，无需真正构造泰森多边形，建立了具有距离相关性的品位插值关系，从而解 决了泰森多边形法的空间品位插值问题。实例验证表明，该插值方案是可行的，插值结果是理想的。