高考数学核心专题：数形结合

高考数学核心专题：数形结合
高中数学的最大特点之一就是“数形合一”，通过形的直观描述来帮助思考数的问题，同时通过数的精确刻画来推导形的正确结论，使代数问题、几何问题相互转化。

对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形”、“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果。

Venn 图，三角函数线，函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。

这些图形可以将题目中的数量关系以及空间结构准确形象地展示出来，使抽象的问题变得具体，化繁为简，便于解决数学问题。

【例1】已知向量a ，b 的夹角为3
π
，且a ||2=，|b =|1，则向量a 与向量a b
2+的夹角等于______.
【解法一】因为向量a ，b 的夹角为3
π
且a ||2=，|b =|1
所以a a b a a b 2(2)24221cos 63
π
⋅+=+⋅=+⨯⨯⨯=
又a b 2+=
所以a a b cos a a b
a a
b (2),(2)2⋅++=
==
⋅+因为向量夹角的范围是[0,]π，所以向量a 与向量a b 2+的夹角等于6
π
.
【解法二】以O 为起点，作向量OA a =，OB b =，则AOB=
3
π
∠如图1，
延长OB 到C ，使得OC =b =22，以OA ，OC 为邻边构造平行四边形OADC ，则OD a+b 2=.
又因为OA =OC =2，所以平行四边形OADC 是菱形，因此OD 平分AOB ∠，所以AOD=
6
π
∠，
即向量a 与向量a b 2+的夹角等于6
π
.
【点评】本题是一道平面向量求夹角的常规题目，看似简单，实则将对平面向量的数量积及向量的模的考查表达了出来. 但是通过解法二我们看到，直接利用向量加法的平行四边形法则，充分利用已知条件转化为图形得特点进行分析，即可快速地得出结论. 因此，解决此类问题我们可以选择“选画后算”的思路分析，利用向量加法、减法及数乘向量的图形运算法则，充分挖掘图形的特点，简化计算过程.
【例2】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足D A =D B =D C
，DA DB=DB DC=DC DA=⋅⋅⋅-2，动点P ，M 满足AP =1，PM=MC ，则BM 2
的最大
值是（ ）
（A ）
434 （B ）49
4
（C （
D 【解法一】因为DA =DB =DC ，所以D 是ΔABC 的外心，
又DA DB=DB DC ⋅⋅，
所以DB DA DC DB CA ()00⋅-=⇒⋅=，即DB CA ⊥ 同理，DA BC ⊥，DC AB ⊥，所以D 是ΔABC 的垂心，
图1
因此，ΔABC 是等边三角形 又因为DA DB=DB DC=DC DA=⋅⋅⋅-2，
所以DA =DB =DC =2，且ADB=BDC=CDA=120∠∠∠︒， 以D 为原点，与BC 平行线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建系
如图2，则A (0,
2)，B (1)-
，C 1)-
因为AP =1，则点P 的轨迹是以A 为圆心1为半径
的圆，所以设P 的坐标为(cos ,2sin ),[0,2]θθθπ+∈.
又PM=MC ，所以M 是线段PC 的中点，
即
M 1sin )2
θ
+，
所以BM =2
223
1sin (
(1)2
θ
+++ 37+12sin()
4934
4
π
θ
+
≤
故答案选B .
【解法二】前同解法一，
取线段AC 的中点N ，则点N 的坐标为1
)2
（如图3）
因为M ，N 分别是线段PC ，AC 的中点， 所以MN AP 1122
==
所以点M 在以N 为圆心，12
为半径的圆上，
图2
图3
BM BN +≤BM 2
的最大值为【点评】本题是一个典型的平面向量问题，DA =DB =DC 两个条件是以人教A 版《必修组的第5题和第8题为背景的；题干中动点P ，M 满足AP =1，PM=MC 含有任教A 版《必修2》第4.1.2节的例5为背景改编的. 以上两种解法可以看出，通常可以从“几何意义法”，“坐标表示法”等角度解决平面向量的有关问题. 由于向量可以用有向线段进行几何表示，因此做题时首先应根据题意尝试作出图形，从图中观察几何关系与数量关系. 如同本例中的解法二，画出图形不难发现点B 是
不变的，点M 在以N 为圆心1
2
为半径的圆上，那么求解BM 2的最大值就可以转
化为圆上动点到圆外定点间最大距离的常规问题上来.
【例3】已知P x y (,)的直线k x y k 40(0)++=>上
一点，P A 和PB 是圆C x y y 22
:20+-=的两条切线，切点为A ，B 两点，若四边形P ACB 的最小面积是
2，则k 的值为（ ）
（A ）3 （B （C ） （D ）2 【解析】 把圆的方程从一般式化为标准形式得x y 22(1)0+-=，所以圆心
C (0,1)，半径r 1=.
如图4，连接PC ，易得四边形P ACB 的面积S =2S ΔPBC ，所以若四边形P ACB 的面积的最小值是2，则S ΔPBC 的最小值为1.。