柔性双轮平衡机器人的动力学建模与分析

的俯仰自由度、前向运动自由度和偏航自由度．由 于仅由左、 右电机驱动， 此机器人为欠驱动系统． 本文机器人与经典双轮平衡机器人最大的区别 在于机身分为躯干和底盘两部分，两者之间的连接 方式为柔性被动旋转关节，即由一组圆柱弹簧环绕 的被动俯仰自由度旋转关节（图 1） ，以此模仿实际 应用中双轮平衡机器人机身的柔性关节．这种柔性 关节的优点在于结构简单，便于替换参数不同的弹 簧以实现各种柔性程度的动力学特性．
DOI:10.13973/j.cnki.robot.2010.01.020
第 32 卷第 1 期 2010 年 1 月 文章编号：1002-0446(2010)-01-0138-07
机器人
ROBOT
Vol.32, No.1 Jan., 2010
柔性双轮平衡机器人的动力学建模与分析
李欣源，阮晓钢，任红格
表 1 柔性双轮平衡机器人的主要物理参数 Tab.1 Main parameters of the FTWBR 物理量 底盘和躯干的质量 轮子的质量 底盘和躯干的高度 底盘和躯干的宽度 轮子半径 弹簧扭转刚度系数 弹簧扭转阻尼系数 符号 Mb1 ,b2 Mw Hb1 ,b2 Lb1 ,b2 Rw k c 数值 10 kg,10 kg 2 kg 0.5 m, 0.25 m 0.4 m 0.15 m 500 N·m/rad 2 N·m·s2 /rad2
（北京工业大学， 北京 100124）
摘 要：提出了一种柔性双轮平衡机器人，其机身具有以一段弹簧作为弹性阻尼的被动俯仰旋转关节．运用拉 格朗日方法建立了此机器人在平面运动的动力学模型．基于此模型， 首先证明了柔性双轮平衡机器人在直立平衡点 不稳定和局部可控．其次，分析了关节刚度对线性二次型最优姿态平衡控制系统的影响．结果显示，关节刚度减小 在理论上能够加强系统的鲁棒性， 却使得控制系统动态性能下降．本文提出的模型及相关分析为柔性双轮平衡机器 人的设计和控制提供了一定理论依据． 关键词：柔性；双轮平衡机器人； 建模； 可控性；动态性能 中图分类号：TP391 文献标识码：A
Dynamic Modeling and Analysis of Flexible Two-Wheeled Balancing Robot
LI Xinyuan ，RUAN Xiaogang ，REN Hongge
(Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)
视机身为含柔性旋转关节的多刚体系统．此外，人 类身体在物理上可以简化为含粘弹性旋转关节的 倒立摆 [9] ，所以 HT 电动车与其驾驶员作为整体也 能近似为一个含柔性关节的多刚体系统．可见，将 机身近似为单刚体的模型不适用于研究机身含柔性 关节的双轮平衡机器人的动力学问题，因而构建柔 性机身双轮平衡机器人实验平台并建立其动力学模 型，有助于更加准确地分析此类系统特性以保障控 制系统性能． Spong[10] 最早对柔性旋转关节机械臂动力学建 模进行深入研究，随后围绕串联机械臂展开了众多 相关研究，只有少数研究者关注移动机器人中的柔 性关节问题，如 Karayem 等 [11] 分析了装有柔性关 节机械臂的轮式机器人的负载能力；Filipovic 等 [12] 建立了考虑关节柔性的双足类人机器人在动平台上 的动力学模型，但这些工作与双轮平衡机器人并不
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基金项目：国家 863 计划资助项目（2007AA04Z226） ； 国家自然科学基金资助项目（60774077） ； 北京市教委重点项目（KZ200810005002） ． 通讯作者：李欣源， li xinyuan@emails.bjut.edu.cn 收稿／ 录用／ 修回： 2009-02-26/2009-05-19/2009-10-12
Abstract: This paper presents a kind of FTWBR (flexible two-wheeled balancing robot). Its main body has a passive pitch-joint which contains a spring as elastic damping. The Lagrange approach is used to formulate the dynamic model of the robot moving in plane. Based on the model, it is proved firstly that FTWBR is unstable and locally controllable at upright equilibrium state. Secondly, the impact of joint-stiffness on the linear quadratic optimal posture balancing control system is analyzed. The result demonstrates that the decrease of the joint-stiffness will improve the robustness of the control system theoretically, but it degrades the dynamic performance of the control system. The proposed dynamic model and the analysis provide some theoretical basis for designing and controlling FTWBR. Keywords: flexible; two-wheeled balancing robot; modeling; controllability; dynamic performance
由于电枢电压 Um 为机器人的实际控制信号， 因此引入电机模型． Um 与电机输出转矩 τm 的关系： Km Ke K ˙ m + m Um τm = − ϕ (15) Ra Ra 其中， Km 为直流电机电磁转矩系数 （N·m/A） ， Ke 为 直流电机反电动势系数（V·s/rad） ， Ra 为直流电机电 ˙ m 为直流电机角速度（rad/s） 枢电阻（Ω） ， ϕ ． 此外，经减速器减速 N 倍后，轮子的驱动转矩 和角速度为：
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直接相关．而 Kawaji 等 [13] 曾提出一种含柔性旋转 关节的二级直线倒立摆，其中旋转关节采用弹簧作 为柔性阻尼器．该结构简单牢固，十分适合构造柔 性双轮平衡机器人，只是采用 2 段弹簧的结构稍显 冗余．另外，由于双轮平衡机器人构造上不同于倒 立摆 [1] ，而且增加了偏航自由度，所以文 [13] 中以 拉格朗日法建立柔性倒立摆动力学模型虽然值得借 鉴，但其结果并不能完全体现双轮平衡机器人的特 点． 综上，以往的研究中很少涉及机身含柔性旋转 关节的双轮平衡机器人设计及其动力学问题，因而 也少有针对此类机器人的相关分析．为此，本文介 绍了一种柔性双轮平衡机器人，该机器人机身具有 一段弹簧作为柔性阻尼的旋转关节．将柔性关节近 似为具有线性阻尼的扭转弹簧，机器人物理系统可 抽象为含弹性阻尼旋转铰的多刚体系统，采用拉格 朗日方法建立其在平面运动的动力学模型．基于此 模型对柔性双轮平衡机器人展开相关分析．首先， 分析系统稳定性和可控性，证明系统在直立平衡点 不稳定和局部可控．其次，在线性二次型最优控制 策略下，通过测试刚度变化对鲁棒性和动态性能指 标的影响，分析柔性双轮平衡机器人姿态平衡控制 性能随关节刚度变化的规律，结果显示，柔性关节 刚度减小能够加强系统的鲁棒性，却使得动态性能 加速下降．本文提出的模型和相关分析为柔性双轮 平衡机器人的设计和控制提供了一定理论基础．
τw = N τm 1 ϕw = ϕm N
这样， 广义力最终可写为： 2N 2 Km Ke NKm ˙+ (Ul + Ur ) − Ra R2 x R a Rw w 2 N 2 Km Ke NLb1 Km Lb − 1 2 ˙+ (Ul − Ur ) α 4Rw Ra 2Rw Ra F = 2N 2 Km Ke NKm x ˙− (Ul + Ur ) Ra Rw Ra 0 根据拉格朗日方程： d ∂ (T − U ) ∂ (T − U ) ∂ D − =F + ˙ ˙ dt ∂q ∂q ∂q
1 引言（Introduction）
双轮平衡机器人为典型的非完整、 非线性、 欠驱 [1] 动系统 ，是控制科学和机器人领域备受关注的研 究对象 [1-4] ．这种机器人因行走机构小巧、 灵活而具 [5] 有广阔应用前景． 近年来， 以 JOE 等经典双轮平衡 机器人为原型，已发展出一类独特的双轮仿人机器 人 [6-7] ， 另外， Segway 公司的 HT 电动车 [8] 应用也日 益广泛． 双轮平衡机器人由于重心位于两轮轴连线之上 而不能自治维持直立姿态， 姿态控制系统必不可少， 而其动力学模型往往作为姿态控制系统设计与分析 的重要依据 [1-3,5] ．以往在建立双轮平衡机器人动力 学模型时通常将机身近似为刚体 [1-3,5] ． 然而， 形如文 [6] 中的双轮仿人机器人在腰部具有俯仰旋转关节， 当关节的材料、负载等因素导致关节弹性不可忽略 时， 将机身近似为刚体不足以描述系统特性， 此时应
图 1 柔性双轮平衡机器人结构 Fig.1 Structure of the FTWBR
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动力学建模（Dynamic modeling）
2 机器人构成（Robot composition）
本文所述柔性双轮平衡机器人由躯干、底盘和 双轮三部分组成， 物理参数如表 1 所示． 由左、 右电 机驱动底盘两侧的双轮运动，机器人运行时重心在 轮轴连线之上．以加速度计、陀螺仪检测姿态变化， 以光电编码器检测电机转速，通过数字控制器控制 左、右电机以驱动机器人按指令运动，同时保持机 身姿态平衡． 系统具有 4 个自由度， 即躯干和底盘
图 2 柔性双轮平衡机器人简化物理模型 Fig.2 The simplified model of FTWBR
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机
器
人
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以机器人轮轴中心为原点建立笛卡儿直角坐标 系， X 轴为机器人前进方向， Z 轴与重力反向．忽略 实际环境中存在的风阻、摩擦力和打滑等因素的影 响， 建立机器人在平面运动的运动学方程． b1 质心 c1 处平动速度： V c1 = [ vc1x vc1z ]T ˙b1 cos θb1 , (Hb1 /2)α ˙ sin θb1 , = x ˙ + (Hb1 /2)θ T ˙b1 sin θb1 −(Hb1 /2)θ (2) vc1y
将机器人简化为图 2 中的物理模型．机器人的 底盘和躯干分别视为匀质刚体 b1 、b2 ，柔性关节的 质量平分计入 b1 、b2 ．弹性关节近似为含线性阻尼 的扭转弹簧模型： ¨ (t ) = −kθ (t ) − cθ ˙ (t ) + Tf (t ) Jθ (1)
其中，J 为转动惯量，k 为弹簧刚度系数，c 为弹簧 阻尼系数， θ (t ) 为弹簧偏转角度， Tf (t ) 为外力矩．
机器人左、 右轮的驱动力矩为 τ = (τl 得广义力为： F = Eτ 其中， E = 1/Rw Lb1 /2Rw −1 0 1/Rw −Lb1 /2Rw −1 0 T
τr )T ， 可
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b2 质心 c2 处平动速度： V c2 = [ vc2x vc2y vc2z ]T ˙b1 cos θb1 + (Hb2 /2)θ ˙b2 cos θb2 x ˙ + Hb1 θ = ˙ sin θb2 ˙ sin θb1 + (Hb2 /2)α Hb1 α ˙b1 sin θb1 − (Hb2 /2)θ ˙b2 sin θb2 −Hb1 θ 左、 右轮（wl , wr）轮子平动速度： ˙r V wr x = Rw ϕ ˙l V wl x = Rw ϕ b1 、 b2 以角坐标为参量的角速度方程为： ˙i α ˙ sin θi θ ˙ cos θi ]T ω ii = [ ωx ωy ωz ]T = [ α i = b1 , b2 左、 右轮以角坐标为参量的运动学方程： (4) (5) (3)