习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆
柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a '，故2m 对地加速度，由图(b)可知，为
a a a '-=12 ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，有
111a m T g m =- ②
222a m g m T =- ③ 联立①、②、③式，得
212
12
112122
12211)
2()()(m m a g m m T f m m a m g m m a m m a m g m m a +'-==+'
--=
+'
+-=
讨论 (1)若0='a ，则21a a =表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若g a 2='，则0==f T ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m , 2m 均作自由落体运动．
2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ϖ
方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-2.
题2-2图
X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v
2sin 2
1
t g y α=
由①、②式消去t ，得
2
20
sin 21x g v y ⋅=
α 2-3 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y v ＝0．求 当t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解： 2s m 83166-⋅===
m f a x x 2s m 16
7
-⋅-=
=
m f a y y (1)
⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=201
01
2
00s m 8
7
2167s m 4
5
2832dt a v v dt a v v y y y x x x
于是质点在s 2时的速度
1s m 8
745-⋅--=j
i v ϖϖϖ
(2)
m
8
74134)16
7(21)483
2122(2
1)21(2
20j i j i j
t a i t a t v r y x ϖϖϖϖϖϖϖ--=⨯-+⨯⨯+⨯-=++=
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m
k
e
v )(
0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为
x ＝(k mv 0)［1-t m k
e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)(0k
m
v ；(4)证明当k m t =时速度减
至0v 的
e
1
，式中m 为质点的质量． 答: (1)∵ t
v
m kv a d d =
-= 分离变量，得
m t k v v d d -= 即 ⎰⎰-=v v t m
t
k v v 00d d m kt
e v v -=ln ln 0
∴ t
m k e v v -=0
(2) ⎰⎰---==
=t
t
t
m k m k
e k
mv t e
v t v x 0
00)1(d d
(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有 ⎰∞
-=
='0
0d k
mv t e
v x t
m k (4)当t=
k
m
时，其速度为 e
v e v e
v v k
m m k 0
100=
==-⋅-
即速度减至0v 的
e
1. 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m ，2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝
2
1
g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m ，2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图(b)所示．
(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有
)(22a a m T g m -'=-
a m T '=1
联立，解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为
2
2g
a a a =
-'= 方向向下 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a ϖϖϖ+='
∴ g g g a a a 2
5422
2
2
1=+=+'=
a a '=arctan
θo 6.262
1
arctan ==，左偏上． 2-6一质量为m 的质点以与地的仰角θ=30°的初速0v ϖ
从地面抛出，若忽略空气阻力，求质
