第四章 振动与波动
1.若简谐振动方程)25.020cos(1.0ππ+=t x m ，求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相.2）t=2s 时的位移、速度、加速度. 解：
rad
Hz T
s
T s rad m A π?υω
π
πω25.0101
1.02201.0)11===
==
?==-
s t 2)2=
2
22
2222/1079.2/2204
cos 1.0)20()cos(/44.4/24
sin 1.020)sin(1007.720
2221.04
cos 1.0)25.0220cos(1.0s m s m t A a s
m s
m t A v m
m x ?-=-=?÷-=+-=-=-=??-=+-=?==?
==+?=-ππ
π?ωωππ
π?ωωπ
ππ 2.
2.一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为4kg 的物体，静止时弹簧伸长
20cm ，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm ，然后由静止释放并开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振动方程.
证明：设向下为x 轴正向
物体位于o 点时：mg = k l 0 物体位于x 处时: F= mg-k (l 0+x )= -kx
则运动方程为 02
22=+x dt
x d ω
是简谐振动。
17mg k rad s l
-=
∴ω=
===??Q t=0时，x 0=0.10m ,则A=0.10m ,所以
01cos 0
===
??A
x
方程为
)(7cos 10.0m t x =
3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2
m ，周期T=0.50s 。当t=0
时，1）物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x=－1.0×10-2
m 处向正方向运动.求：以上各情况的运动方程. 解：1）设振动方程为 )cos(?ω+=t A x 式中s rad T /45.022πππω=== )()4cos(10
0.22
m t x ?π+?=∴-
求?： 0=t 时，0,000<=v x 2
cos π
??±==∴
2
0sin ,0sin 0π
???ω=∴><-=A v
则 )()2
4cos(10
0.22
m t x π
π+
?=-
2）0,100.1,002
0>?-==-v m x t
3
2,0sin ,03
221cos 00π
??π??-
=∴<>±=-==
∴v A x
)()3
24cos(10
0.22
m t x π
π-
?=∴-
4.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图所示.求：该质点的振动方程.
解：设振动方程为 )cos(4?ω+=t x 求?：
0,22,000>-==v x t
4
32
2
cos 0π
??±
=-==
∴A x 4
30sin ,00π
??-
=∴<>v Θ 则方程可写为 )4
3-4cos(x πωt = 求ω：0,0,5.0>==v x s t
2
4320)432cos(
ππωπω
±=-=-
∴
)4
32sin(0)432sin(<-∴>--=π
ωπωωA v Θ
则 s rad /2
,2432πωππω=-=-
所以方程为 34()24
cos x t ππ
=-(m)
5.某振动质点的x-t 曲线如图所示.求：该质点的运动方程.
解：设振动方程为
)cos(
01.?ω+=t x 求?：0,5.0,000>==v x t 3
,21cos π??±==
∴ 3
,0sin 00π
??-
=<∴>v Θ
则 )3
cos(01.π
ω-
=t x
)
求ω：0,0,4<==v x s t 2
3
4,0)3
4cos(π
π
ωπ
ω±
=-
=-
∴
234,0)34sin(0sin π
πωπωω=->-∴<-=v A v Θ
s rad /245π
ω=∴
方程为 501243
.cos()x t ππ
=-(m)
6.质量为0.1kg 的物体，以振幅1.0×10-2
m 作简谐运动.其最大加速度为
4.0m ·s -2.
求：1）振动的周期；2）物体通过平衡位置时的总能量；3）物 体在何处其动能和势能相等；4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动 能、势能各占总能量的多少？ 解：1）s a A T A a A a m
m m ππωπωω1.022,2
====
∴=Θ 2）J A ma A A a m A m E m m 32221022
1
2121-?==??==
ω 3）2222
1
21,21kx kA E E E kx E P k P -=-=∴=
当P k E E =时，有
2
222
12121kx kx kA =- m A x A x 322
1007.72
2
,2-?±=±==∴ 4）E A k kx E P 4
1)2(212122=== E E E E P K 4
3
=-=
7.已知波动方程m t x y )2005.0(cos 10
22
-?=-π，求：A 、λ、υ、u 。
解：波动方程的标准形式为 )](2cos[λ
πx
T t A y -= 将已知方程)()2005.0(cos 1022
m t x y -?=-π化为标准形式，则有
)()]4
100(2cos[10
22
m x
t y -?=-π
s
m u m Hz
T
s T m A /400,41001
,
01.0,1022=====
=?=∴-λυλυ
8.一平面简谐波在媒质中以速度u=0.20m/s 沿x 轴正向传播.已知波线上A 点x A =0.05m 的振动方程为m t y A )2
4cos(03.0π
π-
=.求：1）波动方程；
（2）x=－0.05m 处质点P 的振动方程
解：
1) A 点的振动方程为
m t y A )2
4cos(03.0π
π-
=
则波动方程为
m
x t x t u x x t y A ]2
)5(4cos[03.0]2)2.005.0(4cos[03.0]2)(4cos[03.0π
ππ
ππ
π+
-=---=---=
2）代入x=-0.05m,则得P 点的振动方程为
m
t t y P )2
34cos(03.0}
2)]05.0(5[4cos{03.0π
ππ
π+=+-?-=
9.如图所示为某平面简谐波在t=0时刻的波形曲线.求：（1）波长、周期、 频率；（2）a 、b 两点的运动方向；3）该波的波动方程. 解：1)s u
T m 2,4.0==
=λ
λ
s
rad Hz
T
/25.01
ππυωυ====
2) ↑↓b a , 3)波动方程为
]
)(cos[?ω+-=u
x
t A y m x t x
t y ])5(cos[04.0])2
.0(cos[04.0?π?π+-=+-
=∴ 确定?：由图可知 0,0,000<==v y t 2
,0cos π
??±
==∴
2
0sin 0
0π
??=
>∴ 则方程为 004[(5))]2 .cos y t x m π =π-+ 10.已知平面简谐波传播的波线上相距3.5cm 的A 、B 两点，B 点的相位落 后A 点π/4，波速为15cm/s.求此波的频率和波长. 解： x ?= ?λ π ?2Θ Hz u m x 54.028 .015.028.0105.34 222====??=???= ∴-λυππ?πλ 11.两相干波源P 、Q 发出的平面简谐波沿PQ 连线的方向传播，已知PQ=3.0m, 两波频率均为100Hz ，且振幅相等，P 点的相位超前Q 点π/2.PQ 连线的延 长线上Q 点的一侧有一点S ，S 到Q 的距离为r,若波速为400m/s ，求：1） 两波源在S 点的振动方程；2）PQ 延长线上Q 点一侧各点的干涉情况. 解：1）设振幅为A , 已知 2 π ??= -Q P 令 0=Q ?，则 2 π ?= P s rad /2002ππυω== 则两波源的振动方程为 m t A t A y P P )2 200cos()cos(0π π?ω+ =+= m t A t A y Q Q )200cos()cos(0π?ω=+= 两波源在S 点的振动方程分别为 ])(cos[)3])(cos[r A u x t A y r A u x t A y Q QS Q P PS P =+- =+=+- =?ωπ ?ω 2）两波在Q 点外侧任意点S 的相位差为 QS PS φφ?-=? 则由1）的结果可得 ππππ?-=--++- =?)]400 (200[]2)4003(200[r t r t 0=∴合A 在Q 点外侧任意点的合振幅为零，则表明Q 点外侧所有点因干涉而 静止不动。 （资料素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待 你的好评与关注） 专业与班级 学号 姓名 福州大学大学物理B （上）规范作业（11） 振动和波动单元测试 一、填空题 1.一质点作简谐振动,其振动曲线如图所示。根据 此图可知,它的周期T=__________；用余弦函数描 述时,其初位相φ=__________。 2.两同方向同频率简谐振动,其合振动振幅为20cm,此合振动与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为103cm,则第二个简谐振动的振幅为__________cm,第一、二两个简谐振动的位相差为__________。 3.质量为m ，劲度系数为k 的弹簧振子在0=t 时位于最大位移处A x =，该弹簧振子的振动方程为=x _________________________________；在1t ＝____________时振子第一次达到2 A x =处；2t ＝____________时振子的振动动能和弹性势能正好相等；3t ＝______________时振子第一次以振动的最大速度m v ＝___________沿x 轴正方向运动。 4.一平面简谐波沿x 轴正向传播，振幅为A ，频率 为ν，传播速度为u ，0＝t 时，在原点O 处的质元 由平衡位置向y 轴正方向运动，则此波的波动方程 为_______________________________；距离O 点 λ4 3处的P 点（如图所示）的振动方程为_______________________；若在P 点放置一垂直于x 轴的波密介质反射面，设反射时无能量损失，则反射波的波动方程为_________________________；入射波和反射波 因干涉而静止的各点位置为=x ________________。 5.如图所示,地面上波源S 所发出的波的波 长为λ，它与高频率波探测器D 之间的距离 是d ，从S 直接发出的波与从S 发出的经高 度为H 的水平层反射后的波，在D 处加强， 反射线及入射线与水平层所成的角相同。当 水平层升高h 距离时，在D 处再一次接收到 波的加强讯号。若H>>d ，则h=________________。 6.一平面余弦波在直径为0.14米的圆柱形玻璃管内传播，波的强度s m J 23/109-?，频率300Hz ，波速300m/s,波的平均能量密度为______________，最大能量密度为_____________；在位相相差为2π的两同相面间的能量为________J 。 二、计算题 1. 一质量为10g 的物体作简谐运动，其振幅为24cm ，周期为4s ，当 t ＝0时，位移为+24cm 。求： (1)t ＝0.5s 时，物体所在位置和物体所受的力； (2)由起始位置运动到x ＝12cm 处所需最少时间。 第4章 振动与波动题目无答案 一、选择题 1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -= (C) b ax F +-= (D) a bx F /-= 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率 (C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位 5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半， 仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 3T (D) 0.7T 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接 质量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三 者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相 同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降 机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中 的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 T 4-1-6图 T 4-1-5图 波动作业答案 1.{ 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，t= 0时刻的波形图如图所示，则P处介质质点的振动方程是（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:A 2.如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波，P点是两列波相遇区域中 的一点，已知，，两列波在P点发生相消干涉．若S 1的振动方程为，则S2的振动方程为（） } A. B. C. D. 答案:D 3.两相干波源S1和S2相距，（为波长），S1的相位比S2的相位超前，在S1，S2的连线上，S1外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的相位差是（） } A.0 B. C. D. 答案:C 4.在弦线上有一简谐波，其表达式为 (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x= 0处为一波腹，此弦线上还应有一简 谐波，其表达式为（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:D 5.沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为 和． 在叠加后形成的驻波中，各处简谐振动的振幅是（） } A.A B.2A C. D. 答案:D 6.{ 一平面余弦波在t= 0时刻的波形曲线如图所示，则O点的振动初相为（） } A.0 B. C. D.（或） 答案:D 7.{ 如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为），则B点的振动方程为（） } A. B. C. D. 答案:D 8.{ 如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点．已知P点的振动方程为，则（） } A.O点的振动方程为 B.波的表达式为 C.波的表达式为 D.C点的振动方程为 答案:C 9.一声波在空气中的波长是0.25 m，传播速度是340 m/s，当它进入另一介质时，波长变成了0.37 m，它在该介质中传播速度为______________． 答案:503 m/s 10.一平面简谐波的表达式为(SI)，其角频率=_____________，波速 u=_______________，波长= _________________． 答案:125 rad/s|338 m/s | 17.0 m 11.图为t=T/ 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为________________________． 答案:(SI) 12.一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波长为．若如图P1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是 ___________________________． 答案:|(k=±1，±2，…） 13.如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为，若P处质点的振动方程是，则该波的表达式是_______________________________；P处质点____________________________时刻的振动状态与O处质点t1时刻的振动状态相同． 振动与波动 填空题 3009.一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________； (3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______． 答：π 1分 - π /2 2分 π/3． 2分 3010.有两相同的弹簧，其劲度系数均为k ． (1) 把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周 期为___________________； (2) 把它们并联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周 期为___________________________________． 答： k m /22 π 2分 k m 2/2π 2分 3015.在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、 (b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向 正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为 (a) ______________________________； (b) ______________________________； (c) ______________________________． 答： )2 12cos( π-=T t A x π 2分 )2 12c o s (π+=T t A x π 2分 )2c o s (π+=T t A x π 1分 3383.用40Ｎ的力拉一轻弹簧，可使其伸长20 cm ．此弹簧下应挂__________kg 的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T = 0.2π s ． (c) 振动与波动部分 相关习题（振动部分）： 一、计算题 1． 一质量为10 g 的物体在x 方向作简谐振动，振幅为24 cm ，周期为4 s ．当t =0时该物体位于x = 12 cm 处且向x 轴负方向运动．求： (1) 振动方程； (2) 物体从初位置到x ＝－12 cm 处所需的最短时间，此时物体的速度． 2．作简谐振动的小球，速度的最大值为-1 max 4cm s =?v ，振幅为cm 2=A ．若令速度具有正最大值的某时刻为计时点，求该小球运动的运动方程和最大加速度． 3．已知某质点振动的初始位置为2 0A x =，初始速度00>v (或说质点正向x 正向运动)，周期为T ，求质点振动的振动方程． 4．习题17.4-7,17-9,17-16 二、选择题 1．在简谐振动的运动方程中，振动相位)(?ω+t 的物理意义是[ ] (A) 表征了简谐振子t 时刻所在的位置 (B) 表征了简谐振子t 时刻的振动状态 (C) 给出了简谐振子t 时刻加速度的方向 (D) 给出了简谐振子t 时刻所受回复力的方向 2．如图1所示，把单摆从平衡位置拉开, 使摆线与竖直方向成 θ 角, 然后放手任其作微小的摆动．若以放手时刻为开始观察的时刻, 用余弦函数表示这一振动, 则其振动的初相位为[ ] (A) θ (B) 2π 或π2 3 (C) 0 (D) π 3．两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过 振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为[ ] (A) π (B) π32 (C) π34 (D) π5 4 4．一质点作简谐振动, 振动方程为)cos(?ω+=t A x ． 则在2 T t =(T 为振动周期) 时, 质点的速度为[ ] (A) ?ωsin A - (B) ?ωsin A (C) ?ωcos A - (D) ?ωcos A 5．一物体作简谐振动, 其振动方程为)4πcos(+=t A x ω． 则在2 T t = (T 为周期)时, 质点的加速度为[ ] (A) 222ωA - (B) 222ωA (C) 223ωA - (D) 223ωA 6．一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为[ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12 T (D) T 127 7．某物体按余弦函数规律作简谐振动, 它的初相位为2 π 3, 则该物体振动的初始状态为[ ] (A) x 0 = 0 , v 0 > 0 (B) x 0 = 0 , v 0＜0 (C) x 0 = 0 , v 0 = 0 (D) x 0 = -A , v 0 = 0 图1 专题·振动图像和波动图像·教案 一、教学目标 1．通过对比振动图像和波动图像的联系与区别，使学生进一步深刻地认识到两种图像的不同的物理意义，培养学生的分析能力． 2．熟练掌握振动图像与波动图像的特点，能够正确识图并判断图形的变化． 二、重点、难点 1．重点是正确认识波动图像和振动图像，能从图像辨认位移、振幅、周期、波长，以及振动加速度、速度的方向、大小的比较；及速度、加速度、位移的变化的趋势；波的传播方向，并能结合其他条件计算波速，研究波动图线的变化等问题． 2．难点是正确区分振动图像和波动图像，明确它们不同的物理意义，区分质点的振动与波的传播． 三、教具 演示用沙摆振动图像仪；计算机；自制演示振动、波动图形关系软件；投影仪、投影胶片，长绳子． 四、主要教学过程 (一)引入新课 在高一年级，我们已分别学习过振动的图像和波动图像，这两种图像的物理意义有什么不同，它们的联系又是什么，如何应用这两种图像解决振动和波动问题，就是这节课所要研究的内容． (二)教学过程设计 1．振动图像和波动图像的区别和联系． (1)振动图像的演示． 用沙摆演示振动图像的形成，说明由于木板做匀速直线运动，其位移s∝时间t，所以可用木板中线上的不同位置代表不同的时刻，振动图像记录的是一个质点在不同时刻的振动位移． (2)波动图像的演示． 用长绳演示波动图像的形成，说明长绳不动时，其上各点表示的是振动质点的平衡位置，波动图像记录的是在同一时刻，不同平衡位置质点的振动位移． (3)振动图像与波动图像的区别． 引导学生回忆并总结两种图像的区别，展示投影片1，其内容如下： 振动图像波动图像 研究对象①② 横轴的物理意义③④ 周期性⑤⑥ 相邻波峰(谷)间距离⑦⑧ 图形与时间的关系⑨⑩ 图形斜率的物理意义 教师指导并组织学生填写，表格内从①～的内容分别为： ①单个质点；②无数质点；③表示时间；④表示振动质点的平衡位置；⑤表示质点位移随时间变化的周期性；⑥表示质点位移随空间变化的周期性；⑦表示一个周期；⑧表示一个波长；⑨随着时间的推移，图形不发生变化；⑩随 着时间的推移，图形沿波的传播方向平移；斜率的大小表示振动速度的大 小；斜率无物理意义． (4)振动图像与波动图像的相似点． 振动与波部分大作业 选择题: 1. 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E 1，如果简谐振动振幅增加为 原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E 2变为 (A) E 1/4． (B) E 1/2． (C) 2E 1． (D) 4 E 1 ． 2. 图A 表示t = 0时的余弦波的波形图，波沿x 轴正向传播；图B 为一余弦振动曲线. 则图A 中所表示的x = 0处振动的初相位与图B 所表示的振动的初相位 (A) 均为零. (B) 均为π21 (C) 均为π-2 1 (D) 依次分别为π21与π-21. (E) 依次分别为π-21与π2 1. 3. 在波长为λ 的驻波中两个相邻波节之间的距离为 (A) λ ． (B) 3λ /4． (C) λ /2． (D) λ /4． 4. 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间 单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： （A ）)3232cos(2π+π=t x ． (B) )3 232cos(2π-π=t x ． (C) )3234c o s (2π+π=t x ． (D) )3 234c o s (2π-π=t x ． (E) )4 134cos(2π-π=t x ． 5. 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位 移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小 物体不变盘速地粘在盘上，设新的平衡位置相对原平衡位置向下 移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么 以新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在 (A) 0～π/2之间． (B) π/2～π之间． (C) π～3π/2之间． (D) 3π/2～2π之间． y t y 0图B 1、 一简谐振动得表达式为)3cos(?+=t A x ，已知0=t 时得初位移为0、04m, 初速度为0、09m ?s -1，则振幅A = ，初相位? = 解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)3 09.0(04.0)(2 220 20=- +=- += ω v x A 初相： οο1.1439.36)04 .0309.0(tg )(tg 1001或-=?-=-=--x v ω? 因为x 0 > 0, 所以ο9.36-=? 2、 两个弹簧振子得得周期都就是0、4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0、5s 后，第二个振子才从正方向得端点开始运动，则这两振动得相位差为 。 解：从旋转矢量图可见， t = 0、05 s 时，1A ρ与2A ρ 反相， 即相位差为π。 3、 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动， 其动能就是总能量得 （设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧得长度比原长长l ?,这一振动系统得周期为 解：谐振 动总能量22 1kA E E E p k =+=，当A x 21 =时 4 )2(212122E A k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。 物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ?，则l k mg ?=，l mg k ?=， 振动周期g l k m T ?==ππ22 4、 上面放有物体得平台，以每秒5周得频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-?=g ）。 解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度 g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为 (m)100.11093.9548.94232222--?≈?=?==ππv g A 5、 一水平弹簧简谐振子得振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零与弹性力 为零得状态，对应于曲线上得 点。振子处在 位移得绝对值为A 、速度为零、加速度为-ω2A 与弹性力-kA 得状态，对应于曲线得 点。 解：位移0=x ，速度0d d <-== A t x v ω，对应于曲线上得 b 、f 点；若|x |=A , A a 2ω-=，又x a 2ω-=, 所以x = A ，对应于曲线上得a 、e 点。 6、 两个同方向同频率得简谐振动，其振动表达式分别为： .0=t A - 振动习题 一、选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ ] (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为43 π，则t=0时，质点的位置 在： [ ] (A) 过1 x A 2 =处，向负方向运动； (B) 过1x A 2 =处，向正方向运动； (C) 过1x A 2 =-处，向负方向运动；(D) 过1x A 2 =-处，向正方向运 动。 3. 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且 向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ ] (C) (3) 题 4. 一谐振子作振幅为A 的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相 位和坐标分别 为： [ ] 2153 (A),or ;A;(B),;A;332663223(C),or ;A; (D),;A 4433ππ± ±π±± ±π±ππ±±π±±±π± 5. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 10.04cos(2)3 x t ππ=+（SI ），从t = 0时刻起，到质点位置在x = -0.02 m 处，且向x 轴正方向运 动的最短时间间隔为 [ ] (A) s 8 1； (B) s 6 1； (C) s 4 1； (D) s 2 1 6. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，这两个简谐振动叠加后 合成的余弦振动的初相为 [ ] x t O x 1 x 2 (A) π2 3； (B) π； (C) π2 1 ； (D) 0 一、 填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为： , ， 2. 一质点作简谐振动，周期为T ，质点由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为 ；由最大位移到二分之一最大位移处所 大学物理学——振动和波 振 动 班级 学号 姓名 成绩 内容提要 1、简谐振动的三个判据 （1）；（2）；（3） 2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T 1= γ，πγπω22== T 3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法 4、简谐振动的速度和加速度：)2 cos()sin(v 00π ?ω?ωω+ +=+-== t v t A dt dx m ； a= ）（）（π?ω?ωω±+=+=0m 02 2 2 t a t cos -dt x d A 5、振动的相位随时间变化的关系： 6、简谐振动实例 弹簧振子：， 单摆小角度振动：， 复摆： 0mgh dt d 2 2 =+ θθJ ,T=2mgh J π 7、简谐振动的能量：2 22 m 21k 2 1A A E ω== 系统的动能为：）（?ωω+==t sin m 21mv 212 2 2 2 A E K ； 系统的势能为：）?ω+==t (cos k 2 1kx 2 122 2 A E P 8、两个简谐振动的合成 （1）两个同方向同频率的简谐振动的合成 合振动方程为：）（?ω+=t cos x A 其中，其中；。 ＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ= ＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成 合振动方程： ）（122 122 122 22 1 2-sin )(cos xy 2y x ????=-- + A A A A ，为椭圆方程。 练习一 一、 填空题 1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。 2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动 的三个特征量为：A ＝ ； =ω ;=? 。 3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。已 知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2 ml ，此摆作微小振动的周期 为 。 4．试在下图中画出谐振子的动能、振动势能和机械能随时间而变化的三条曲线（设t ＝0时物体经过平衡位置）。 5．图中所示为两个简谐振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为 。 第4章 振动与波动 一、选择题 1. 已知四个质点在x 轴上运动, 某时刻质点位移x 与其所受合外力F 的关系分别由下列四式表示(式中a 、b 为正常数)．其中不能使质点作简谐振动的力是 [ ] (A) abx F = (B) abx F -= (C) b ax F +-= (D) a bx F /-= 2. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 3. 欲使弹簧振子系统的振动是简谐振动, 下列条件中不满足简谐振动条件的是 [ ] (A) 摩擦阻力及其它阻力略去不计 (B) 弹簧本身的质量略去不计 (C) 振子的质量略去不计 (D) 弹簧的形变在弹性限度内 4. 当用正弦函数或余弦函数形式表示同一个简谐振动时, 振动方程中不同的量是 [ ] (A) 振幅 (B) 角频率 (C) 初相位 (D) 振幅、圆频率和初相位 5. 如T4-1-5图所示，一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) 3T (D) 0.7T 6. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质 量为m 的物体, 但放置情况不同．如T4-1-6图所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 7. 如T4-1-7图所示，升降机中有一个做谐振动的单摆, 当升降机静止时, 其振动周期为2秒; 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B ) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 T 4-1-6图 T 4-1-7图 T 4-1-5图 《振动和波、光学》 一、选择题(五个选项中,有三个是正确的)。 1.关于电磁波,下列说法正确的是。 A.电磁波在真空中的传播速度与电磁波的频率无关 B.周期性变化的电场和磁场可以相互激发,形成电磁波 C.电磁波在真空中自由传播时,其传播方向与电场强度、磁感应强度均垂直 D.利用电磁波传递信号可以实现无线通信,但电磁波不能通过电缆、光缆传输 E.电磁波可以由电磁振荡产生,若波源的电磁振荡停止,则空间的电磁波随即消失 解析?电磁波在真空中的传播速度为光速,与频率无关,A项正确。根据电磁波的产生条件可知B项正确。电磁波为横波,传播方向与电场强度、磁感应强度均垂直,C项正确。电磁波可以在真空中传播,也可以在介质中传播,因此也能通过电缆、光缆传输,D项错误。电磁波是一种能量传播方式,若波源的电磁振荡停止,则不再产生新的电磁波,但空间的电磁波仍将继续传播下去,E项错误。 答案?ABC 2.在双缝干涉实验中,用绿色激光照射在双缝上,在缝后的屏幕上显示出干涉图样。若要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距,可选用的方法是。 A.改用红色激光 B.改用蓝色激光 C.减小双缝间距 D.将屏幕向远离双缝的位置移动 E.将光源向远离双缝的位置移动 解析?在双缝干涉实验中相邻亮条纹的间距Δx=λ,因此要增大干涉图样中两相邻亮条纹的间距可减小 双缝间的距离,增大屏幕与双缝的距离,换用波长更长或频率更小的光作光源。故A、C、D三项正确。 答案?ACD 3.如图所示,一列向左传播的横波t时刻的波形用实线表示,经Δt=0.2 s时刻的波形用虚线表示,已知该波的波长λ=2 m,下列说法正确的是。 A.该波周期的最大值为2 s B.该波周期的最大值为 s C.该波波速的最小值为1 m/s D.该波波速的最小值为9 m/s E.该波遇到直径r=2 m的障碍物时会发生明显的衍射现象 解析?该波向左传播,则传播的距离Δx=[nλ+(λ-0.2)] m=(2n+1.8) m(n=0,1,2,…),又因为Δt=0.2 s, 所以波的传播速度v== m/s(n=0,1,2,…),故周期T== s(n=0,1,2,…),当n=0时,该波的周期 第四章 振动与波动 1.若简谐振动方程)25.020cos(1.0ππ+=t x m ，求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相.2）t=2s 时的位移、速度、加速度. 解： rad Hz T s T s rad m A π?υω π πω25.0101 1.02201.0)11=== == ?==- s t 2)2= 2 22 2222/1079.2/2204 cos 1.0)20()cos(/44.4/24 sin 1.020)sin(1007.720 2221.04 cos 1.0)25.0220cos(1.0s m s m t A a s m s m t A v m m x ?-=-=?÷-=+-=-=-=??-=+-=?==? ==+?=-ππ π?ωωππ π?ωωπ ππ 2. 2.一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为4kg 的物体，静止时弹簧伸长 20cm ，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm ，然后由静止释放并开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振动方程. 证明：设向下为x 轴正向 物体位于o 点时：mg=k l 0 物体位于x 处时: F=mg-k(l 0+x)=-kx 则运动方程为02 22=+x dt x d ω 是简谐振动。 1 7 mg k rad s l - =∴ω====? ? t=0时，x0=0.10m,则A=0.10m,所以 1 cos0= = =? ? A x 方程为 ) ( 7 cos 10 .0m t x= 3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=0.50s。当t=0时，1）物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x=－1.0×10-2m处向正方向 运动.求：以上各情况的运动方程. 解：1）设振动方程为 ) cos(? ω+ =t A x式中s rad/ 4 5.0 2 2π π π ω= = = ) () 4 cos( 10 0.22m t x? π+ ? = ∴- 求?：0 = t时，0 ,0 < =v x 2 cos π ? ?± = = ∴ 2 sin ,0 sin π ? ? ? ω= ∴ > < - =A v 则) () 2 4 cos( 10 0.22m t x π π+ ? =- 2）0 , 10 0.1 ,0 2 > ? - = =-v m x t 3 2 ,0 sin ,0 3 2 2 1 cos π ? ? π ? ? - = ∴ < > ± = - = = ∴ v A x ) () 3 2 4 cos( 10 0.22m t x π π- ? = ∴- 4.已知某质点作简谐振动的 振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它得动能得变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动得振幅增加为原来得两倍，重物得质量增加为原来得四倍，则它得总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波得表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 与x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们得合振动得振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻 得波形如图所示，则x=0处得质点得振动方程为 （ ） (A) y=2×10－2 cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－2 cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－2 cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－2 cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处得质点得振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波得初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球得运动可瞧作筒谐振动，则该振动得周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑得水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做得功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0 第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 kx F -= 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 x t x 2 2 2d d ω-= 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 )cos(?+ω=t A x 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 2 v ω+ = 20 20 x A 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、 频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 东北大学物理作业答案 振动和波 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第9章 振动 作 业 一、教材：选择填空题 1～5；计算题：13，14，18 二、附加题 （一）、选择题 1、一沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示， 如果该振子的初相为π3 4 ，则t =0时，质点的位置在： D （A ）过A x 21=处，向负方向运动； (B) 过A x 21 =处，向正方向运动； (C) 过A x 21- =处，向负方向运动； (D) 过A x 2 1 -=处，向正方向运动。 2、一物体作简谐振动，振动方程为：x =A cos(ωt +π/4 ) 在t=T/4(T 为周期)时刻，物体的加速度为： B (A) 222ωA -. (B) 222ωA . (C) 232ωA -. (D) 232ωA . （二）、计算题 1、一物体沿x 轴做简谐运动，振幅A = 0.12m ，周期T = 2s ．当t = 0时， 物体的位移x 0= 0.06m ，且向x 轴正向运动．求： （1）此简谐运动的运动方程； （2）t = T /4时物体的位置、速度和加速度； 解：（1）0.12cos 3x t ππ??=- ? ? ? m （2）0.12sin 3v t πππ??=-- ?? ? m/s 20.12cos 3a t πππ??=-- ? ? ? m/s 2 t = T /4时 0.12cos 0.106 x π==≈m 0.12sin 0.060.196v π ππ=-=-≈- m/s 20.12cos 0.06 1.026 a πππ=-=-≈- m/s 2 2、一物体沿x 轴做简谐运动，振幅A = 10.0cm ，周期T = 2.0s ．当t = 0时， 物体的位移x 0= -5cm ，且向x 轴负方向运动．求： （1）简谐运动方程； 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，t= 0时刻的波形图如图所示，则P处介质质点的振动方程是（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:A 2.如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知，，两列波在P点发生相消干涉．若S1的振动方程为，则S2的振动方程为（） } A. B. C. D. 答案:D 3.两相干波源S1和S2相距，（为波长），S1的相位比S2的相位超前，在S1，S2的连线上，S1外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的相位差是（） } B. C. D. 答案:C 4.在弦线上有一简谐波，其表达式为 (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x= 0处为一波腹，此弦线上还应有一简 谐波，其表达式为（） } A.(SI) B.(SI) C.(SI) D.(SI) 答案:D 5.沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为 和． 在叠加后形成的驻波中，各处简谐振动的振幅是（） } C. D. 答案:D 6.{ 一平面余弦波在t= 0时刻的波形曲线如图所示，则O点的振动初相为（） } B. C. D.（或） 答案:D 7.{ 如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为），则B点的振动方程为（） } A. B. 答案:D 8.{ 如图，一平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，O为坐标原点．已知P点的振动方程为，则（） } 点的振动方程为 B.波的表达式为 C.波的表达式为 点的振动方程为 答案:C 9.一声波在空气中的波长是 m，传播速度是340 m/s，当它进入另一介质时，波长变成了 m，它在该介质中传播速度为______________． 答案:503 m/s 10.一平面简谐波的表达式为(SI)，其角频率=_____________，波速u=_______________，波长= _________________．答案:125 rad/s|338 m/s | m 11.图为t=T/ 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为________________________． 答案:(SI) 12.一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波长为．若如图P1点处质点的振动方程为，则P2点处质点的振动方程为 _________________________________；与P1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________． 答案:|(k=±1，±2，…） 13.如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为，若P处质点的振动方程是，则该波的表达式是 _______________________________；P处质点____________________________时刻的振动状态与O处质点t1时刻的振动状态相同． 答案:|，k= 0，±1，±2,…[只写也可以] 14.如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P点距波源S1和S2的距离分别为和，为两列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波在P点的振动频率___________，波源S1的相位比S2的相位领先_______． 答案:相同．|． 15.在固定端x= 0处反射的反射波表达式是.设反射波无能量损失，那么入射波的表达式是y1= ________________________；形成的驻波的表达式是y= ________________________________________． 答案:| 16.如果入射波的表达式是，在x= 0处发生反射后形成驻波，反射点为波腹．设反射后波的强度不变，则反射波的表达式y2= _______________________________；在x=处质点合振动的振幅等于______________________． 答案:|A 17.如图，一平面波在介质中以波速u=20 m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为(SI)． (1) 以A点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式． 答案: 解:(1)坐标为x点的振动相位为 2分 波的表达式为(SI) 2分 (2)以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 (SI) 2分 波的表达式为(SI) 2分 18.如图所示，两相干波源在x轴上的位置为S1和S2，其间距离为d=30 m，S1位于坐标原点O．设波只沿x轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x1=9 m和x2=12 m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波的波长和两波源间最小相位差． 答案:{ 解:设S1和S2的振动相位分别为和．在x1点两波引起的振动相位差 即① 2分 在x2点两波引起的振动相位差 即② 3分 大学物理知识总结习题答案(第八章)振动与 波动 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，为角频率，（ t+）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d ()d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 222d ()d cos x a A t t ωω?==-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 212 k E mv = · 弹簧的势能为 212 p E kx = · 振子总能量为 P 22222211 ()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+= ++ 3. 阻尼振动 · 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 222d d 20d d x x x t t βω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 22P 2d d 2d d cos x x F x t t t m βωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。大学物理B(上)规范作业11振动和波动单元测试
第4章-振动与波动-
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