葛军...如何学好高中数学葛军

玩—看ຫໍສະໝຸດ Baidu赏： b 1
1 a 1
“设 x, y 是整数，满足
x5 y x3 y 3 x 4 y x 4 5 x3 x 2 y y 3 xy x 5 0 ，
求所有这样的 x, y .” **对于上述问题中 “问法” ， 还可以有如下问法： 如 “是否存在整数 x, y ， 满足……” ， “ 求 所 有 数 组 ( x, y) 的 组 数 ” ， " 求 xy x 的 值 ” ， “求 证……” ，…… **题面可以多样，但本质惟一。
第二个例子： a b
再看一眼所用的解法: **解法 1 是从直接整除入手， **解法 2 是从分离变元入手， **解法 3 是从分解因式入手，
a b
**解法 4 是从用方程根与系数关系入手， ** 解法 5 是从估算入手。
第二个例子： a b
a b
自然地，你想问，每个方法可以解决怎样的一类问题呢？ 在此，我们仅看两个解法。
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还可以认识
x2 y 2 2x ，
令 a x y, b x y ，得
即 ( x 1)2 y2 1 ，其双曲线如图。
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还可以得到一个“具有思维表现”的问题： “试给出一个二次曲线，在此曲线上只有两个整点（即坐标均为整数 的点） ” 。
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“让我再看你一眼” ！ （邓丽君所唱的） 跨界去，如何？！ 代数式，即几何图形。 它是什么图形？
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回归到我们的来路，其中的解法： 由 a b a b ，得
(a 1)(b 1) 1 →认识到 xy 1
（这里令 a 1 x, b 1 y ） ， 这是双曲线（如右图） ；
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看两元 a, b ，念三元 a, b, c ，结论如何呢？ **这是从元数的角度思考！即： ** 设 a, b, c 是正整数， 满足 a b c abc ， 求 a, b, c 的值. 如何求解呢？
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努力对照五种解法，发觉第五种解法易于处理此问题。 这不，不妨设 a b c ，显然有
a b c abc 3c ，得
1 ab 3 ，于是有 ab 1 ，或 ab 2 ，或 ab 3 ，从而……
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由此，你信心大增，坚信认为 关于多个变元的情形， a1 a1 an a1a2 an . 我也一定能做，只不过解答过程稍微复杂而已。……
第二个例子：2+2=2×2
尝试解决问题（1） ，可以用到小学 5、6 年级或 初中 1~3 年级知识。 （1）求所有的正整数 a, b ，使 a b a b 成立.
第二个例子：2+2=2×2
方法一：用整除的知识， a b(a 1) → b 整除 a ； ** 聪明的同学，肯定运用“同样地” 、 “类似地” 、 “同理”来得到：
b 可以是？如， y x y x 。
3 2
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1 a 1
整理一下：
1 10 3 2 → 复杂： y x y x xy 5 3 ， b 1 a 1 x 1
打扮一下，未必漂亮啊！ 更复杂：
x5 y x3 y 3 x 4 y x 4 5x3 x 2 y y 3 xy x 5 0 .
第一个例子：认识 2+7=9
• 这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。 • 哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个 质数之和。
• 1966年陈景润证明了"1+2"成立，即： • 任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和， 或是一个质数与两个质数积的和"。
第一个例子：认识 2+7=9
• 一个简单的算式：2+7=？，
二、两个例子
• 通过两个例子，认识数学思考之路
• 胡适：“大胆假设，小心求证” • “少谈些主义，多研究些问题”
第一个例子：认识 2+7=9
算式 2+7=？→ 2+7=9。 ** 再看一眼： 2+7=9. ** 念想 1：2？7？
第一个例子：认识 2+7=9
算式 2+7=？→ 2+7=9。 ** 再看一眼： 2+7=9. ** 念想 1：2？7？2 是偶数，7 是奇数。9 也是奇数。 ** 尝试：一般化！2+7=9 是否可以认为是： 偶数+奇数=奇数？（还可以举例验证！ ）
s2 4s m2 ，即 ( s 2)2 m2 4 ，
(s 2 m)(s 2 m) 4 .
第二个例子： a b
可不妨设 a b ， 则
a b
方法五：估算法。用你的眼光， a, b 谁大谁小是无所谓的，
a b ab 2b ，
即 ab 2b ，得 a 2 ，……
一、认识数学
• 数学的教育价值——
• 世界各国不论课程如何改革，数学是必须 修习的重要课程、核心课程。
• 如现在受到全球关注的PISA测试，所设定 的内容中，除了阅读、科学以外，必须有 数学。
一、认识数学
• 数学的教育价值—— • 美国有独立于教育部的，美国总统数学教 育委员会。
• “……数学作为科学之母，在众多科学、 工程、技术乃至社会科学领域扮演了基础 角色。面向未来，我们将更加重视数学在 学校的发展。” ——原清华大学校长 顾秉林
1 玩—看，赏： b 1 a 1
1 （1） 分式 的分子 1，可以是什么数？简单一点， a 1
如 10，若数据太大，则数的分解中因数多，没有值得玩的价值， 因此只需感知“分子 1 也可以是大数、可以是若干个因数的积” 。
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1 a 1
1 3 （2）分式 的分母 a 1，可以是？，如 x 1， …… a 1 1 （3）b 1 中等号右边第一个 1 可以是？如 xy 5 ，等号左边 a 1
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一个“令人头痛”的问题： “设 x, y 是整数，满足
1 a 1
x5 y x3 y 3 x 4 y x 4 5 x3 x 2 y y 3 xy x 5 0 ，
求所有这样的 x, y .” 来锤炼你的意志力，检查你的良好的思维意识， “读：二元一式，非 齐次，你会的！→想分解；试试看！……”
第一个例子：认识 2+7=9
• 回顾一下： • 对数式中数2,7，从奇偶性角度来探索…… • 尤其得到了奇偶分析方法，并尝试运用此 方法解决一些趣题。
第一个例子：认识 2+7=9
• 再回头看：2+7=9. **
2+7→9, 反过来呢？ ** 若从数的因数分解看，2,7 均是质数，9 是合数。 合数 9 可以表示成两个质数的和。 ** 自然问：是否每一正整数都可以表示为两个质数的和呢？
玩—看，赏： a b ab
看 a ，变脸：若 a, 可以是 sin ，那么就可以得到“小巧玲珑”题： 设 , [0, ] ，满足 sin sin sin sin ，求 cos( ) 的值。
玩—看，赏： a b ab
看 a, b 的应用，可以得到如下小题： 设 a, b 是正整数，满足 a b ab ，若 a, b 是一个三角形的两边长， 求这个三角形第三边长的取值范围. ……
一、认识数学
• 你知我是谁啊，你知道的！ • 欧洲欧债危机中英国十几万人再就业培训 时的主要内容就是我啊！ • 我在你身边，每天你都得用我，如…… • 王蒙先生说，我如诗。 • 我悄然地在你身边，努力影响你，让你变 得更为明智、理性，富有智慧。
一、认识数学
• 数学是研究现实中数量关系和空间形式的 科学。 • 把数学理解为“模式的科学 ” —— Lynn Arthur Steen
第一个例子：认识 2+7=9
再看一眼：偶数+奇数=奇数，你心中会问： 偶数+偶数= ； 奇数+奇数= ；
进一步，念及四则运算，尝试考虑乘法“ ” ，就有 偶数 偶数= 奇数 奇数= ； 。 偶数 奇数= ；
第一个例子：认识 2+7=9
** 对于多个奇数、偶数相加或相乘呢，…… ** 上述所得到的结论有用吗？ ** 如：Q1 某组同学参加学校的数学竞赛。试题共 4 道。评分标准是： 答对一道给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。说明该组同学得分总 和一定是偶数。 ** 有点难度的：试题 4 道改为 50 道呢？ （挑战你的眼光，展示化繁为简的思维水平！ ！ ！ ）
第二个例子：2+2=2×2
对于初中的学生，会看到 ……？
第二个例子：2+2=2×2
对于初中的学生，会看到：
a a a a , 问 a =？
即 2a a ， a(a 2) 0 ，得 a 0 ，或 a 2 .
2
第二个例子：2+2=2×2
进一步地，一般化： a b a b ， 你可能会产生问题： （1）求所有的正整数 a, b ，使 a b a b 成立. （2）求所有的整数 a, b ，使 a b a b 成立. （3）求所有的有理数数 a, b ，使 a b a b 成立. （4）求使 a b a b 成立的实数 a, b .
立足基本 参透变化 ——如何学好高中数学
葛 军
（南京师范大学附属中学）
• 一、认识数学 • 二、两个例子 • 三、几点建议
一个选择
• 对幼儿园、小学生家长说，让孩子“玩着 学吧！” • 对初中生家长说，让孩子学会自问3W，并 努力去尝试回答。
• 对高中生家长说，春来了，绿生了，花香 了，孩子啊，你快醒来吧（因为现在有些 孩子还迷糊着），四处走走，你自己去生 长吧！
• 如果不急着丢弃它， • 而是转换角度，逐个方向去尝试探索 • 角度1：奇偶数→运算→奇偶分析 • 角度2：数的构成（和）－质数和→著名猜 想 • 收获远远胜过一道题、一个答案。
第一个例子：认识 2+7=9
• • • • 再回首，感知你的拥有： 复杂的即是简单的 养成从多个角度认识一个问题的意识； 学会“反过来思考问题”（简记为1即2）的 意识； • 学会“一般化问题”（简记为1即n）的意识 • 学会利用“四则运算生成新问题”（简记为 1即4）的意识； • ……
第二个例子：2+2=2×2
方法三：利用因式分解知识。
ab (a b) 1 1， (a 1)(b 1) 1， 从而 ……
第二个例子：2+2=2×2
方法四：利用一元二次方程根与系数知识。 令 a b a b = s ，则 a, b 是方程 x2 sx s 0 的两个正整数根， 那么判别式 s2 4s 是一个完全平方数，令为 m ，则有
一、认识数学
• 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语 言 • 数学还是一门有着丰富内容的知识体系， 其内容对自然科学家、社会科学家、哲学 家、逻辑学家和艺术家十分有用。 ——M.克莱因
一、认识数学
• 数学是建立一个强大社会的基石，数 学实验是各个学科的基础。
——诺贝尔经济学奖得主 James Mirrlees 和 Eric Maskin
一、认识数学
• 在最广泛的意义上说，数学是一种精神， 一种理性的精神。 • 正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度，亦 正是这种精神，试图决定性地影响人类的 物质、道德和社会生活；试图回答有关人 类自身存在提出的问题；努力去理解和控 制自然；尽力去探求和确立已经获得知识 的最深刻的和最完美的内涵。
a 整除 b 。……
** similariy//the same way
第二个例子：2+2=2×2
1 方法二：将 a, b 分离，得 b 1 ， a 1
因为 a, b 是正整数，所以 a 1 1，……。 **“多元化少元”→“多化少” ，这样的思维意识，在高中、大学数 学中是经常用的……