奇妙的图形密铺
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《苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究》
案例
案例一:
奇妙的图形密铺
教学内容:苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。
教学目标:
1、通过观察生活中常见的密铺图案,使学生初步理解密铺的含义。
2、通过拼摆各种图形,认识一些可以密铺的平面图形,初步探索密铺的特点,了解密铺的条件。
在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。
3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案,使学生体会到图形之间的转换,充分感受数学知识与生活的密切联系,经历欣赏数学美、创造数学美的过程。
教学重点:掌握密铺的特点,知道哪些平面图形可以进行密铺。
教学难点:理解密铺的特点,了解密铺条件,能进行简单的密铺设计。
教学过程:
一、感受密铺——观察与理解
1.谈话导入:同学们,老师这有一幅图片,你能看出是从哪里拍来的吗?
课件出示:
生答:某一个墙面。
师:那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗?
生:长方形。
依次出示:
师:这些呢?
生:可能是地面或墙面,分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。
师:我们常用这样的图形铺设墙面或地面,有什么好处呢?
生:美观,平整,无空隙等。
师:如果只用圆形地砖铺设地面,好不好?为什么?出示幻灯片
生:不好。
会有空隙。
(师板书:空隙)
师:那再铺一层不就行了?动态演示
生:这样也不行,会有重叠。
(师板书:重叠)
师:也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙,要么就会重叠。
再回过头来看,刚刚的三幅图片,它们铺的时候有什么共同特点?
生:既无空隙,又不重叠。
(师补全板书:既无空隙,又不重叠,铺在平面上)
师小结:无论什么形状的图形,如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上,这就是平面图形的密铺。
2、从刚出示的几幅图中,你知道哪些图形能够密铺吗?(正六边形、长方形、正方形)
3.继续出示图片:
课件出示:下面的三幅图,可以看作是密铺吗?为什么?
生:第一幅图是密铺,因为每个三角形之间既没有空隙,也不重叠;第二、第三幅图都不是密铺,因为第二幅图图形之间有空隙,第三幅图图形之间是重叠的。
3.联系生活、揭示课题。
师:既然密铺的图形奇妙而美丽,生活中也有很多咱们一起来欣赏。
观看课件:生活中的密铺现象。
(水立方,拼图,地面,墙面)
师:的确,我们的生活离不开密铺,密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。
今天,我们就一同走进图形密铺世界。
(板书:图形密铺)
二、探究密铺——猜想与验证
(一)我们先来研究一种平面图形的密铺
1.课件出示:下面哪些图形也能密铺?
2.学生猜测。
3.动手操作、实践验证。
(1)师:那么这些猜测都对吗?怎样知道大家的猜测是否正确呢?就让我们
一起来动手来操作验证吧。
学生动手操作交流。
4.汇报结果、展示交流。
师:哪个小组说说你们的发现?
生汇报:能密铺的图形有平行四边形、正三角形、等腰梯形。
不能密铺的有圆形与正五边形。
师课件展示部分作品验证。
5、归纳:通过刚才大家操作验证,我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面,其他五种图形都能单独密铺一个平面。
小结:正五边形和圆不能够密铺。
6、延伸:
师:咱们知道正三角形能密铺,那一般的三角形呢?为什么?(同桌交流)生:我觉得能。
可以将两个完全一样的三角形通过旋转平移转化为平行四边形。
之前验证了平行四边形能密铺。
所以一般的三角形能密铺。
师:那大家还能想到两个完全一样的什么图形能组成平行四边形?(梯形)(课件演示转化过程)
小结:形状、大小完全相同的三角形或梯形可以密铺。
7、猜一猜
怎样的图形能够密铺呢??
学生说明猜想
老师给大家准备了正多边形的密铺阅读材料,看了也许能给大家启发哦。
学生自学阅读材料1——正多边形的密铺
(1)学生汇报收获
(正方形,它的每个角都是直角,那么4个正方形拼在一起,在公共顶点处的4个角,正好拼成一个360度的周角。
正六边形的每个角都是120度, 3个正六边形拼在一起时,在公共顶点上的3个角度数的和正好是360度,正三角
形的每个内角都是60度, 6个正三角形拼在一起时,在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。
)
(2)师:正五边形不能密铺,现在你能解释了吗?
生:360不是108的整数倍,在每个拼接点处的内角处不能保证没有空隙或重叠现象,所以正五边形不可以密铺。
出示:360÷108=3 (36)
(3)师:正八边形能密铺吗?解决这个问题,要知道什么条件呢?
生:只要知道正八边形的一个内角是多少度就行了。
师出示:(正八边形每个内角135°)现在你能判断了吗?
生:能。
360÷135=2……90 ,正八边形不能密铺。
(课件演示)
(4)现在你能再说说看怎样才能密铺吗?
小结:一周有360度,如果能正好把这360度铺严,(在公共顶点上几个角度数的和正好是360度)就可以进行密铺。
(5)师:平行四边形,长方形和梯形可以进行密铺,它们都是特殊的四边形,你想提出什么问题呢?
生:任意的四边形可以进行密铺吗?
通过动手拼一拼验证一下猜想。
四人小组,动手验证交流。
汇报,演示。
师:通过动手去拼,发现任意的四边形可以进行密铺。
那你能根据咱们刚刚总结的规律解释一下吗?
生:公共顶点处四个角正好是四边形四个内角,四边形内角和360°,所以任意的四边形可以密铺。
(二)两种平面图形的密铺
1、用同一种平面图形密铺图形会较为单调,看看下面的图形,与之前有何不同?(出示四幅组合密铺图形)
生:之前是一种图形单独密铺,这几幅图是由两种或以上的图形组合密铺。
师:你有什么感受?
生:很漂亮,美观,色彩鲜艳等。
小结:可以用同一种平面图形密铺,但生活中,常常为了使图案更加美观,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。
2、用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?
课件演示:
小结:用同一种平面图形如果不能密铺,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。
3、七巧板
欣赏了这么多美妙的密铺图案,想不想自己动手试一试?
(1)出示七巧板,七巧板表面这个图形属于密铺吗?它是由哪几种图形密铺而成的?你能从七巧板中选出几种不同的图形密铺一个平面吗?
(2)操作要求:
①铺一铺:同桌合作,选几种不同的图形铺一铺,把你的作品保留在桌面
上;
②品一品:小组成员相互欣赏和介绍各自的作品。
(3)学生作品欣赏与交流。
(4)小结延伸
通过刚才拼摆,你有什么发现?
小结:原来,不仅用一种平面图形密铺一个平面,用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。
设计师正是将数学与艺术的结合,用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案。
三、欣赏与了解
古往今来,许多艺术家、数学家对密铺都有浓厚的兴趣,咱们一起来了解密铺的历史吧。
(1)学生阅读材料2——密铺的历史
(2)生发表感受与收获
师:咱们刚刚都是用几何图形进行密铺,荷兰的艺术家埃舍尔用许多奇特的图形组成了密铺,像是人物、动物、甚至是一些凭空想象的事物,想不想一起来看看?
生:想。
出示埃舍尔人物图片及四幅作品展示。
师:你看出是由什么图形密铺而成的吗?
学生欣赏并说一说自己的发现(骑士和马、鸟、螃蟹、小丑)
四、回顾与总结
1、课后任务:自己设计一幅漂亮的密铺作品
2、谈话:同学们,今天我们一起研究了图形的密铺,你有什么收获?
师总结:是的,密铺就在我们的身边,无时无刻不在装点着我们的生活!希望大家学了今天的知识,能用眼睛去发现美,用心灵去感受美,用智慧去创造美。
同时,它还是一门学问,在美丽的密铺后,还有太多的数学奥秘等待我们去探索。
数学史料
密铺的历史
1619年——数学家奇柏(J.Kepler)第一个利用正多边形铺嵌平面。
1891年——苏联物理学家费德洛夫(E.S.Fedorov)发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。
1924年——数学家波利亚(Polya)和尼格利(Nigele)重新发现这个事实。
密铺图形奇妙而美丽,古往今来,不少艺术家都在这方面进行过研究。
最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)与密铺。
Escher于1898年生于荷兰。
他到西班牙旅行参观时,对一种名为阿罕拉(Alhambra)的建筑物有很深的印象,这是一种十三世纪皇宫建筑物,其墙身、地板和天花板由摩尔人建造,而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。
Escher用数日的时间复制了这些图案,并得到了启发,创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案,这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴,甚至是他凭空想象的物体。
他创作的艺术作品,结合数学与艺术,给人留下深刻的印象,更让人对数学产生了另一种看法。
案例二:
有趣的七巧板
教学内容:
苏教版二年级(上册) 第28-29页。
教学目标:
1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料,获取有用的知识,为利用七巧板拼摆图形,进一步丰富学生对图形的感性认识奠定基础。
2、通过拼摆等操作活动,培养学生的观察、操作、想象和一定的创造能力,发展空间观念。
3、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法,并养成数学阅读的习惯,在阅读中增强民族自豪感。
教学重难点:
1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料,进一步丰富学生对图形的感性认识。
2、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法,并养成数学阅读的习惯,在阅读中
增强民族自豪感。
教学准备:
课件、七巧板学具
教学过程:
一、创设情境,导入新课
同学们今天老师带来了一个谜语,想请同学们来猜谜,注意听:
一二三四五六七,
七个兄弟在一起,
齐心合力拼图形,
千变万化真神奇。
(七巧板)
是的,今天就让我们一起来认识这个新朋友,看看它有哪些本领。
(板书:七巧板)
二、介绍七巧板
(1)集体阅读
在课前大家收集了许多关于七巧板的资料,谁来当小老师给大家说一说(指名说)
你是怎样收集到这些资料的?(上网、书店、图书馆)
还有谁想说?(同桌说)
(2)交流体会
小朋友真了不起,收集了这么多关于七巧板的资料,听了这些故事你有什么感受?(指名说)
(3)小结
七巧板是古时候我们中国人发明的一种非常有趣的玩具,利用它可以重新组合成几百种不同的图形呢!你们瞧(屏幕出示很多图),变化多不多呀?外国朋友对我们中国的七巧板也很感兴趣,还给它取了个神奇的名字叫"东方魔板"。
你们想不想来玩一玩这块"东方魔板?
三、初步感知,建立表象
1.认识七巧板。
谈话:老师也带来一副七巧板(点击课件)仔细观察:
(1)分一分:一副七巧板中有几种不同的图形呢?分别是?
(2)数一数:每一种图形有几个?
(3)比一比:哪些图形是完全一样的?(学生回答后电脑演示)
(4)小结:有几组完全一样的三角形?(2组)
四、动手操作,深入探索
1.用两块拼。
(1)谈话:我们先来简单一点的,拿出七巧板中的两块拼出一个我们认识的正方形。
你听懂了些什么?
(2)学生拼图。
(3)指名在实物投影仪上演示。
任意2块吗?(不是,要是)
(4)提问:你会再用这两块2块完全一样的三角形拼出其他图形吗?
(5)学生拼图。
(6)在实物投影仪上演示。
(7)小结:用这两个完全一样的三角形,可以拼成正方形、三角形、平行四边形、菱形。
2.用三块拼。
(1)谈话:再请小朋友拿出七巧板中的三块拼出我们认识的图形。
你想拿出哪三块?
(2)学生拼图。
(3)在黑板上展示,并让学生说说拼成了什么图形。
小结:用这3块,可以拼成正方形、长方形、三角形、平行四边形、五边形、梯形。
3.用四、五、六块拼。
(1)谈话:这一次我们要来难一点的了,大家可以小组合作,共同完成。
要求是用七巧板中的四块、五块、六块来排出我们认识的图形。
(2)小组合作拼图。
介绍本组拼成了什么图形,是用哪些图形拼的。
4.用七块拼。
(1)谈话:七巧板不仅能拼出我们学过的图形,而且能排出我们生活中看到的各种有趣的图形。
(点击课件)你们看看,这些图形像什么?
(2)谈话:请小朋友拿出自己的七巧板,用里面的七块图形排出你喜欢的图形。
(3)参观、评点作品(有自评、他评)。
(4)创新拼:你还想用七巧板拼出哪些图形?
全班展示、评点作品
五、全课总结,拓展延伸
1.谈话:看了黑板上同学们的作品,有什么感想?
数学史料
七巧板的来历
“七巧板”又称“智慧板”,是我国古代的一种拼板工具。
七巧板中有长方形、平行四边形和三角形。
它的数目不多,却能拼出很多种图形,如能拼出从0到9的十个数字,或汉语拼音字母,也能拼出几何图形、动物、建筑物等。
那简简单单的七块板,竟能拼出千变万化的图形。
谁能想到呢,这种玩具是由一种古代家具演变来的。
宋朝有个叫黄伯思的人,对几何图形很有研究,他热情好客,发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。
后来有人把它改进为7张桌组成的宴几,可以根据吃饭人数的不同,把桌子拼成不同的形状,比如3人拼成三角形,4人拼成四方形,6人拼成六方形……这样用餐时人人方便,气氛更好。
后来,有人把宴几缩小改变到只有七块板,用它拼图,演变成一种玩具。
因为它十分巧妙好玩,所以人们叫它“七巧板”。
到了明末清初,皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐,拼成各种吉祥图案和文字,故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢!
18世纪,七巧板传到国外,立刻引起极大的兴趣,有些外国人通宵达旦地玩它,并叫它“唐图”,意思是“来自中国的拼图”。
案例三:
用字母表示数
教学目标:
1、使学生初步理解用字母表示数的方法,会用含有字母的式子表示简单的数量,数量关系和计算公式。
2、使学生完整地经历用含有字母的式子表示简单的数量,数量关系和计算公式的过程,进一步体会数学的抽象性和概括性,发展符号感。
3、培养学生用字母表示数的意识和兴趣,使学生进一步产生对数学学习的好奇心。
教学重难点:
1、让学生经历由具体到抽象的字母,由具体的乘法算式到含有字母的乘法式子的过程。
2、理解含有字母的式子表示的含义。
教学过程:
一、唤起经验,主动建构
1.利用四张扑克牌,算“24点”游戏。
课件呈现:6、7、A、10。
师:同学们,玩过24点吗?现在屏幕上给出4张牌,大家来算一算。
生1:6 + 7 + 1 + 10 = 24。
生2:(10 - 7 + 1)× 6 = 24。
师:你们算的很好,可这里没有1呀?
生:A就是1。
师:这里A表示特定的数1。
3.出示数列:2、4、6、m、10……
师:我们来看这个有规律的数列,你们知道m表示多少呢?
生:m表示8。
师:在算“24点”游戏中,在有规律的数列中,字母表示的都是特定的数。
字母还能表示哪些数呢?今天我们一起来学习“字母表示数”。
(出示课题)
二、层层递进,逐步建构
1.经历用字母表示数的抽象概括过程。
(1)课件演示用小棒摆三角形,学生用式子表示摆不同个数三角形所用小棒的根数。
师:摆1个三角形需要几根小棒?
生:3根
师:我们可以这样列式:1 × 3。
板书(1 × 3)
如果摆2个这样的三角形需要几根小棒,怎样列式?
生:2 × 3。
板书(1 × 3)
师:如果这样摆3个呢?会写吗?4个呢?……请把式子写在学习纸上的“书写天地”中。
学生书写、汇报,教师板书。
(2)让学生在写式子的过程中,认识到用一个算式来表示摆三角形小棒根数的局限性,产生需要字母来表示的主观需求。
师:一个式子可以表示摆的一种情况。
谁能用更多的式子表示摆不同个数三角形时所用小棒的根数。
生:学生继续写下去。
学生开始写式子,写着写着,相继停笔。
师:为什么不写啦?
生1:这样写下去,永远写不完。
生2:可以写许多式子,写不完。
(3)寻求解决策略:用一个式子概括所有式子。
师:大家能不能想个办法,用一个式子概括所有的式子呢?
生1:a × 3,a表示三角形的个数。
师:你创造了用字母来概括的方法。
还有其他想法吗?
生2:……× 3,用“……”表示许多三角形的个数。
生3:我× 3,用“我”表示三角形的个数。
生4:a × b,a表示三角形的个数,b表示3。
生5:b表示的一定是3,就应该直接写3,写成a × 3。
师:同学们想出了许多种表示三角形个数的办法,有用字母的,有用标点符号的,还有用汉字的,为了便于理解和应用,在数学中我们选择用字母来表示。
(4)同一题中可以用不同字母来表示。
师:除了用a表示三角形的个数,还可以用其他字母吗?
生1:可以写成b × 3。
生2:也可以写成n × 3。
生3:写成x × 3。
师:可以用不同的字母表示三角形的个数。
这时的字母可以表示几呢?
生1:可以表示5。
生2:可以表示1、2、3、4、5、6、7等等。
生3:可以表示自然数。
师:看来,这里的字母所表示的数不再是特定的数了,而是变化的数,我们不确定的数,也就是未知的数。
(板书:未知的数)
师:刚才有同学说这个字母所表示的是自然数,那它不可以表示什么数?
生1:不可以表示小数,因为三角形的个数如果是小数,那就不完整,不是三角形了。
生2:同样那也不能表示分数。
师:所以我们字母表示数是有一定范围的。
2.初步理解含有字母的式子既表示数量,也表示数量关系。
(1)出示年龄的表格,体会规律。
师:请问同学自我介绍下。
生:我叫某某,我今年多少岁。
师:你想指导老师的年龄吗?我不告诉你。
只告诉我比她大15岁。
课件演示:老师比同学大15岁。
师:你知道我多少岁嘛?能用式子表示吗?
生:10+15。
师:大家猜一下,她1岁时,老师可能是几岁呢?
生:1+15。
师:她7岁时,老师可能是几岁呢?
生:7+15。
师:随着她慢慢长大,当她到20岁时,陈老师几岁了?
生:20+15。
师:像这样我们还能继续写下去。
你能用一个式子来表示这么多式子吗?
许多同学举手想说。
生1:用a表示同学的年龄。
生2:那么,a + 15表示的就是老师的年龄。
(2)将字母作为数学对象,理解意义。
师:回答很好,你知道这里a和前面的a意义是否相同吗?
生:不一样,前面表示的是三角形的个数。
这里表示年龄。
师:前面a可以取任意自然数,这里呢?我们可以取200,300,500吗?
生:不可以,人活不到这么长。
师:老师上网查询了,曾经的长寿冠军是122岁。
所以啊,字母表示数在不同的题目中是有范围的。
师:a + 15这个式子告诉我们什么呢?
生:老师年龄和老师比她大15岁。
(4)体会数学研究的是千变万化中不变的关系。
师:在这里我们不难发现,学生的年龄是变化的,老师的年龄也是变化的,然而“a + 15”所表示的数量关系却是不变的。
正如开普勒所说,数学就是研究千变万化中不变的关系。
(板书:表示数量关系)
3.进一步去理解含有字母的式子既表示数量,也表示数量关系。
师:我们继续往下看。
学校有美术组24人,书法组比美术组多6人,纳闷书法组多少人?你能用式子表示吗?
生:24+6
师:这里24+6我们能知道哪些信息?
生:表示书法组人数,和书法组比美术组多6人。
师:我们继续看,舞蹈组比美术组多9人,舞蹈组有多少人?
生:24+9
师:现在合唱组比美术组人数多,但我们不知道具体多的人数,这里我们可以用什么来表示?
生:字母
师:很好,我现在用x表示。
问合唱组有多少人?
生:24+x
师:如果x=10呢?口算
生:34
师:如果x=14呢?
生:38
4.用规定的字母表示计算公式。
(1)关于正方形周长与面积的计算公式。
学生书写,板书交流。
师:这里的a表示的是什么?
生:正方形的边长。
师:那么,这里的a除了可以表示非零自然数外,还可以表示哪些数?
生1:可以表示小数。
生2:还可以表示分数。
师:刚才表示三角形的字母只能表示自然数,看来,在不同情况下,字母所表示的数的范围是不一样的。
(2)关于含有字母的乘法式子的简写。
学生自学,汇报板书。
小结:在含有字母的乘法式子中,数与字母相乘,或是字母与字母相乘,乘号可
以简写成“·”,也可以省略不写。
数与字母相乘时,数要写在字母之前。
4. 练习。
(1)省略乘号,写出下面的式子。
①4×b 可以写成4b 。
②x ×5可以写成5x 。
③a ×c 可以写成a · c ,也可以写ac 。
④1×m 可以写成m 。
(2)口答
1×b = x ×1= a ×1= 1×k =
(3)练习
1、填一填
x ×x =( )
=( )×( )
2、直接写得数
= = = 2×4=
三、 拓展应用,完善建构
1.你是小导游。
出示某旅游平面图,图中标出南湖一小、莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园等
4个场所的位置及各场所之间的距离(有用字母表示的,有用数表示的)。
用含有字母的式子表示两地之间的距离:从南湖一小分别到莫愁湖公园、奥体中
心、红山动物园需要多少路程?
(1) 莫愁湖公园。
结合莫愁湖门票a 元,让学生在括号里填上含有字母的式子。
(2) 奥体中心。
一起朗读一篇数学日记,完成填空。
使学生进一步感受用字母表示数的概括性和
抽象性。
(3) 红山动物园。
红山动物园来了新的来宾:鸵鸟。
别看他们在散步,他们跑起来可快了。
学生根
据以上题中信息填空。
并整理路程和时间,速度的关系。
2.编儿歌:数青蛙。
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿……
四、 总结反思,拓展延伸
1. 让学生说一说这节课的主要收获以及感觉遗憾的地方。
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2.课件播放短片,简单介绍用字母表示数的发展过程。
数学史料
乘号的来历
同学们你知道乘号的来历吗?
17世纪前,有人用过字母M表示乘法。
M是拉丁文(mutiply)中的乘单词的第一个字母。
显然,用字母参与乘法运算时相当繁琐的。
1631年,英国数学家奥特雷德发现乘法也是相加
的意思,但是又和加法有所不同,怎样表示更合适呢?
他想:能不能把“+”旋转45度角,斜过来用“×”
表示乘法呢?当奥特雷德的这种设想成为现实时,乘号
“×”便问世了。
奥特雷德但是数学家莱布尼兹认为乘号“×”和拉丁字母“x”很相似,容易引起混淆,所以他反对使用这个符号。
他很赞成数
学家哈里奥特首创的符号“•”表示乘法。
这个点乘号
被整个欧洲大陆和拉美国家所普遍采用。
但这个记号和
小数点号相似,容易引起新的混淆。
后来有人干脆用逗
号“,”来代替原点,但这种方法迄今没有被人所接受。
莱布尼兹实际上,“×”和“•”这两个乘号同时被使用着,一直沿袭到
今天。
代数之父———韦达
三百多年前的一位法国数学家———韦达首先使用了字母表示数,认为字母不只代表一个数,而且能代表很多数,甚至可以代表无穷多的数。
按照这个办法,人们解决了许多问题。
这种用字母代替数的思想就是代数思想,所以人们称韦达是代数之父。