第一章、 矢量分析与场论初步

所以，∈ijk∈iqr = δ δjq kr − δ δjr kq
b）、若 i=p，j=q，则有
∈ijk ∈pqr = δ jjδ kr − δ jrδ kj = 3δ kr − δ kr = 2δ kr
c）、若 i=p，j=q，k=r,则有
∈ijk ∈pqr = 2δ kk = 6
( ) 例1、 求 A • B × C
二、克罗尼克尔（Kronecher）符号
克罗尼克尔符号 δij 定义为
δ ij
=
⎧0, ⎨
⎩1,
i≠ j i= j
(1 −1 − 2)
由定义可知
例1、 在笛卡儿直角坐标系中
δij＝δji
ei●ej=δij 例2、 单位矩阵可表示成：
( ) ⎜⎛ 1 0 0⎟⎞ ⎜⎛δ11 δ12 δ13 ⎟⎞
I = ⎜ 0 1 0⎟ = ⎜δ 21 δ 22 δ 23 ⎟ = δ ij ⎜⎝ 0 0 1⎟⎠ ⎜⎝δ 31 δ 32 δ 33 ⎟⎠
第一章、 矢量分析与场论初步
本章的初衷是复习并介绍一些学习电磁场理论所必备的重要理论、公式和场论知识，使
读者在后续章节的学习乃至高等电磁场理论的学习中对这部分内容不感到困惑，以及有充分
的材料便于学习，不致为搜寻散落在各类参考书和文献中的资料而花费大量时间。这里已假
定读者熟悉高等数学中的微积分理论，包括矢量分析、Fourier 级数和积分以及复变函数理 论。
δ kp δ kq δ kr
∈ijk∈iqr = δ δjq kr − δ δjr kq
证明：
δii δiq δir
3 δiq δir
∈ijk∈pqr =∈ijk∈iqr = δ ji δ jq δ jr = δ ji δ jq δ jr = 3δ δjq kr + δiqδ δjr ki + δirδ δji kq − δirδ δjq ki
∈ijk ,注意下标的顺序，i 给基矢，j、k 依次给后边的符号。 同样矢量 u 的旋度 curl u 采用置换符号可以写成
e1 e2 curl u = ∇ × u = ∂ ∂
∂x1 ∂x2
u1 u2
(curl
u )i
=∈ijk
⎛ ⎜⎜⎝
∂uk ∂x j
⎞ ⎟⎟⎠
e3
∂ ∂x3
=∈ijk
⎛ ⎜⎜⎝
∂uk ∂x j
i, j, k = 1,2,3
对照式（1－1－7），∈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱjk 恰好反映了行列式的性质。
例 2、用置换符号表示 A×B
借用例 1 的结果
e1 e2 e3 A× B = A1 A2 A3 =∈ijk ei Aj Bk = − ∈ikj ei Bk Aj = −B × A
B1 B2 B3
( ) A× B i =∈ijk Aj Bk
所以 xi' = x j βij , i = 1,2,3
(1 − 2 − 3)
x1' = β11 x1 + β12 x2 + β13 x3 即 x2' = β 21 x1 + β 22 x2 + β33 x3
x3' = β31 x1 + β32 x2 + β33 x3
式（1－2－3）表示的坐标变换关系称为正变换，
n 即可。
§1－1、预备知识 一、矢量符号与坐标系
由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标系称为直线坐标系。在直线坐标系中，
如果各标架上单位尺度取得不同，称为仿射坐标系；如果取得相同，则称为笛卡儿坐标系。
在笛卡儿坐标系中，如果标架直线相互垂直，称为笛卡儿直角坐标系，反之称为笛卡儿斜角
坐标系。本章主要讨论矩形直角坐标系、圆柱直角坐标系和球面直角坐标系。
（坐标系介绍、Lame 系数） 以 xi , i =1, 2, 3(替代 x，y，z)表示笛卡儿直角坐标系的坐标，e1, e2, e3（替代 i, j, k）分 别表示三个坐标的单位矢量（基矢）。此处 i 称为自由指标，凡用自由指标，i 依次取 1, 2, 3。 Hilmiton 哈密顿矢量微分算子（Nable 算子）
(1 − 2 − 6)
称为逆变换系数矩阵。显然对于笛卡儿直角坐标系，逆变换系数矩阵恰好是正变换系数矩阵
的转置矩阵。
如果坐标变换时，坐标原点由 O 移至 O’（平移加旋转），位移矢量为 C，与前面的做法
类似，可得到如下关系
xi' = x j βij − Ci'
xi
=
x
' j
β
ij
− Ci
(1 − 2 − 7) (1 − 2 − 8)
证：因为
( ) ( ) [ A× B × C ]i =∈ijk Aj B × C k =∈ijk Aj ∈kmn BmCn =∈ijk∈kmn Aj BmCn ( ) = ∈kij∈kmn Aj BmCn = δimδ jn − δinδ jm Aj BmCn = An BiCn − Aj BjCi = ( A • C ) Bi − ( A • B) Ci = ⎡⎣( A• C ) B⎤⎦i − ⎡⎣( A• B) C⎤⎦i
本章内容仅限于欧氏空间内，笛卡儿直角坐标系间变换的矢量（vector）、张量（Tensor） 并矢（Dyadic）理论，为叙述方便，以三维空间为基础展开讨论。所得定义、定理、计算方 法只需在 n 维欧氏空间中将哑指标（dummy index）、自由指标(free index)取值为 1、2、3、…、
δ3i δ3 j δ3k δ3 p δ3q δ3r δ1k δ3k δ3k δ3 p δ3q δ3r
根据行列式的乘法，新行列式的第一行的第一项应该是
δ1iδ1p + δ 2iδ 2 p + δ 3iδ 3 p = δ miδ mp = δ ip
同法可以求新行列式的各项，所以
a）、若 i＝p，则有
δ ip δ iq δ ir ∈ijk ∈pqr = δ jp δ jq δ jr
⎞ ⎟⎟⎠
ei
u3
3、 δij 和∈ijk 的关系 1）、根据 δij 和∈ijk 的定义，读者很容易验证下式的正确性
δ1i δ1 j δ1k ∈ijk = δ 2i δ 2 j δ 2k
δ 3i δ 3 j δ 3k
(1 −1 − 8)
2）、
δip δiq δir ∈ijk∈pqr = δ jp δ jq δ jr
∇
=
ei
∂ ∂xi
=
e1
∂ ∂x1
+ e2
∂ ∂x2
+ e3
∂ ∂ x3
一、求和约定（Summation Convention）
如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对该指标从 1 到 3 求和。例如在
AiBi 中，指标 i 重复出现两次，其含意是：
3
∑ Ai Bi = Ai Bi =A1B1 + A2B2 + A3B3 i =1
所以 A× (B × C) = (A • C)B − (A • B)C
§1-2、坐标变换 在不同的坐标系中空间一点的坐标值是不同的，我们关心它们之间的变换关系。在此，
我们仅讨论笛卡儿直角坐标系间的变换关系。 设 xi，i=1,2,3 为三维空间中的点 P 在右旋笛卡儿坐标系 Ox1x2x3 中的坐标，坐标轴的基
其中 Ci’是 C 在新坐标系中 xi’轴上的投影；Ci 似 C 在原坐标系中 Xi 轴上的投影。
由式（1－2－3），（1－2－5）我们可以导出一个很有用的关系式。
因为 xi' = x j βij ,
x j = β kj xk' ， 所以 xi' = βij βkj xk'
当 i＝k 时，xi’＝xk’，则
Aij Bij = A11B11 + A12 B12 + A13 B13 + A21B21 + A22 B22 + A23 B23 + A31B31 + A32 B32 + A33 B33
例 3、写出 AijBj 的展开式。 在上式中 j 是哑指标，i 不参加约定求和，i 称为自由指标，上式的展开式如下：
例2、 证明
( ) ( ) ( ) A • B × C = Ai B × C i = Ai ∈ijk BjCk =∈ijk Ai BjCk = ( ) ( ) ∈kij Ck Ai Bj =∈jki BjCk Ai = C • A× B = B • C × A
A× (B × C) = (A • C)B − (A • B)C
δ ki δ kq δ kr δ ki δ kq δ kr
− 3δ jrδ kq − δiqδ jiδ kr = 3δ jqδ kr + δ jrδ kq + δ rjδ kq − δ jqδ kr − 3δ jrδ kq − δ jqδ kr
=δ
δjq kr
−δ
δjr kq
=
δ jq δ kq
δ jr δ kr
矢 e1，e2，e3，从 O 点到 P 点的矢径记作 xiei。设 xj，j=1,2,3 为同一点 P 在另一右旋笛卡 儿坐标系 Ox1’x2’x3’中的坐标，从 O 点到 P 点的矢径记作 xi’ei’。下面求 xj’与 xi 间的变换关 系。
令 βij = ei′ • ej
(1− 2 −1)
即βij 是 Oxi’是 Oxj 轴夹角的余弦。九个方向余弦可列表表示如下： 表 1－2－1
1、 ∈ijk 的定义
⎧0
∈ijk
=
⎪ ⎨
1
⎪⎩ −1
i, j, k 有两个相同 i, j, k 偶次置换 i, j, k 奇次置换
i, j, k = 1, 2,3
(1−1− 7)
其中∈123＝∈231＝∈312＝1； ∈132＝∈321＝∈213＝－1；其余 21 个全部为零。
2、 采用置换符号∈ijk 可使书写和运算简化
即
x2 = β 21 x1' + β 22 x2' + β33 x3'
x3
=
β 31 x1'
+
β
32
x
' 2
+
β 33 x3'
(1 − 2 − 5)
式（1－2－5）表示的坐标变换关系称为逆变换，
⎜⎛ β11 β 21 β31 ⎟⎞ ⎜ β12 β 22 β32 ⎟ ⎜⎝ β13 β 23 β33 ⎟⎠
x1
x1’
β11
x2’
β21
x3’
β31
x2 β12 β22 β32
x3 β13 β23 β33
向径可用两个坐标系表示（矢量和，各分量不等）
x
' j
e
' j
=
xj
ej
用 ei’点乘（1－2－2）式，得
x′j
e
' j
ei'
=
xj
ej ei′
(1− 2 − 2) ⇒ x′j δij = x j βij
Aij B j = Ai1B1 + Ai2 B2 + Ai3 B3
i = 1,2,3
全部写出来是（矢量，共三个分量）
A1 j B j = A11B1 + A12 B2 + A13 B3 A2 j B j = A21B1 + A22 B2 + A23 B3 A3 j B j = A31B1 + A32 B2 + A33 B3
称为正变换系数矩阵。
⎜⎛ β11 β12 β13 ⎟⎞ ⎜ β 21 β 22 β 23 ⎟ ⎜⎝ β31 β32 β 33 ⎟⎠
(1 − 2 − 4)
同理用 ei 点乘（1－2－2）式，得
x'j
e
' j
ei
=
xj
ej
ei
⇒
x
' j
β
ji
=
x jδij
x1 = β11 x1' + β12 x2' + β13 x3'
例1、 用置换符号表示三阶行列式的值。
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a32 a21 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a33a12 a21
a31 a31 a33
=∈ijk a1i a2 j a3k = ∈ijk ai1a j2 ak3
δ kp δ kq δ kr
(1−1− 9)
证明：
δ1i δ1 j δ1k δ1p δ1q δ1r δ1i δ 2i δ3i δ1p δ1q δ1r ∈ijk∈pqr = δ 2i δ 2 j δ 2k δ 2 p δ 2q δ 2r = δ1 j δ 2 j δ3 j δ 2 p δ 2q δ 2r
采用约定求和法和克罗尼克尔符号将给我们以后的书写和计算带来很大的方便。下边给 出几个常用的性质和运算：
1）δii＝δ11+δ22+δ33＝3 2）δim Am＝Ai
（1－1－3） （1－1－4）
3）δim Bmj＝Bij
（1－1－5）
4）δim δmj＝δij
（1－1－6）
三、置换符号（Levi-Civita 符号）∈ijk
(1 − 1 − 1)
i 称为约定求和指标。约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为“哑指标”。显然哑指 标的字母可以更换，因为 AiBi 与 AjBj 的含意是相同的。
例 1、 ∂Ai = ∂A1 + ∂A2 + ∂A3 ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
例 2、写出 AijBij 的展开式。 在上式中 i 和 j 都是哑指标，展开式如下：