数学排列组合常见题型及解法
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排列组合常见题型及解法
排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口,实践证明,解决问题的有效方法是:题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 一.处理排列组合应用题的一般步骤为:
①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
二.处理排列组合应用题的规律
(1) 两种思路:直接法,间接法。(2)两种途径:元素分析法,位置分析法。
1 重复排列“住店法”
重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )
[解析] 冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军。把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可住进任意一家“店”,每个客有8种可能,因此共有3
8种不同的结果。
[评述]类似问题较多。如:将8封信放入3个邮筒中,有多少种不同的结果?这时8封信是“客”,3个邮筒是“店”,故共有8
3种结果。要注意这两个问题的区别。
2. 特殊元素(位置)用优先法:把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),可优先将它(们)安排好,后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。 例1. 6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?
解法1:(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有种站法;第二步再让
其余的5人站在其他5个位置上,有
种站法,故站法有:
=480(种)
解法2:(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端,有种;第二步再让剩余的4个人(含
甲)站在中间4个位置,有
种,故站法共有:
(种)
例2(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种(用数字作答)。
[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择,将他们优先安排,有33A 种可能;然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置,
有
27A 种排法。因此结果为2733A A =252种。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列?
[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由于7个位置不同,故只要优先选两个位置安排好“2”,剩下的位置填“1”(也可先填“1”
再填“2”)。因此,一共可以组成2
227C C =21个不同的数列。
3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素:与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?
解:把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有种,然后女生内部再进行排列,有
种,所以排法共有:
(种)。
例2(1996年上海高考题)有8本不同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本,若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种(结果用数字表示)。
[解析]将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排,有55A 种排法,再将3本数学书之间交换有33A 种,2本外文书之间交换有2
2
A 种,故共有
2
23355A A A =1440种排法。
[评述]这里需要说明的是,有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时,也用“捆绑法”解决。
如:7个人排成一排,其中甲乙两人之间有且只有一人,问有多少种不同的排法?可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”,但甲乙两人位置可对调,且中间一人可从其余5人中任取,有1200
5
52
2
1
5=A A C 种排法。
4. 相离问题用插空法:元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例5(2003年北京春季高考题)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 ( )
A 6
B 12
C 15
D 30
[解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入,相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列,故有
3026=A 种排法,选(D )。
[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列,这一点要注意。请练习以下这道题:马路上有编号为1、2、3、·10的十盏路灯,为节约用电又能照明,现准备把其中的三盏灯,但不能关掉相邻的两盏或三盏,两端的灯也不许关掉,求不同的关灯方式有多少种?可得结果为3
6C =20种。你能很快求解吗?
例3. 7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法?
解:先将其余4人排成一排,有
种,再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入,有种,所以排法共有:
(种)
5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。
例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有3面红旗、2面白旗,把5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是( )(用数字作答)。
解:5面旗全排列有
5
5A
种挂,由于
3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法,故有
55
32
32
10A A A = 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷
例2. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?
解:不考虑限制条件,组成的六位数有种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有:(个)
6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。 例5. 9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?
解:9个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,三排可以看作一排来处理,不同的坐标共有
种。
7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案,这时,可以采用转化思想从问题的反面入手考虑,然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例1. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有( )
A. 150种
B. 147种
C. 144种
D. 141种 解:从10个点中任取4个点有
种取法,其中4点共面的情况有三类。第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有
种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有:
(种)。