第3章习题 通信原理

第三章习题
3-1
• 3-1设X是a=0，σ=1的高斯随机变量，试确 定随机变量Y=cX+d，的概率密度函数f(y)
E[Y ] = ∫ (cx + d ) ×
−∞ 2 ∞ 2 2 ∞
1 e 2π
x2 − 2
dx = d + ∫ cx ×
−∞ − x2 2
∞
1 e 2π
2
x2 − 2
dx = d
x2 2
(x−d )2
3-4
• 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程， 它们的均值分别为aX和aY，相关函数分别为 Rx(τ),Ry(τ). • (1)求z(t)=x(t)y(t)的自相关 • (2)求z(t)=x(t)+y(t)的自相关
（1） ）
（2） ）
Rz (t1 , t 2 ) = E[ z (t1 ) z (t 2 )] = E[{( x(t1 ) + y (t1 )}{( x(t 2 ) + y (t 2 )}] = E[ x(t1 ) x(t 2 ) + x(t1 ) y (t 2 ) + x(t 2 ) y (t1 ) + y (t1 ) y (t 2 )] = RX (τ ) + RY (τ ) + 2a x a y
x(t)
相加 延时T
Y(t)
Y (t ) = X (t ) + X (t − T ) RY (τ ) = E[Y (t )Y (t + τ )] = E[{X (t ) + X (t − T )}{X (t + τ ) + X (t + τ − T )}] = E[ X (t ) X (t + τ )] + E[ X (t ) X (t + τ − T )] + E[ X (t − T ) X (t + τ )] + E[ X (t − T ) X (t + τ − T )] = 2 Rx (τ ) + Rx (τ − T ) + Rx (τ + T ) PY ( f ) = 2 PX ( f ) + PX ( f )e jfT + PX ( f )e − jfT = 2 PX ( f )(1 + 2 cos fT )
-fc
（3）
0
fc
(2)平均功率：R (0) = n0 B
f
Baidu Nhomakorabea
直流功率：R(∞) = 0
3-12
• 下图为单个输入、两个输出的线性滤波器， 若输入过程平稳，试求ξ1 ξ2的互功率谱密度。
h1(t) η(t) h2(t)
ξ1(t) ξ2(t)
解
P (ω ) = lim 12
= lim
= lim
T →∞
E[ Fξ1 (ω ) Fξ2 (ω )]
*
T →∞
T
E[ H1* (ω ) Fη* (ω ) H 2 (ω ) Fη (ω )] T
E[ Fη (ω ) ] T
2
T →∞
H1* (ω ) H 2 (ω )
= P (ω ) H1* (ω ) H 2 (ω ) η
3-14
• • • • x(t)是功率谱密度为Px(f)的平稳随机过程 通过图示的系统。 （1）输出Y(t)是否平稳 （2）求Y(t)的功率谱密度
3-8
• 输入均值为零，功率谱密度为n0/2的高斯白 噪声，带通滤波器如图所示 • （1）滤波器输出噪声的自相关函数 • （2）滤波器输出噪声平均功率 • （3）输出噪声的一维概率密度
1
-fc
0
fc
f
n0/2
解
(1) R(τ ) =
+∞ −∞
Pn ( f )e jπfτ df = n0 B ∫
sin πBτ cos 2πf cτ πBτ
1 E[(Y − my ) ] = ∫ c x × e −∞ 2π =− c 2π
2
dx = ∫
x2 2 +∞ 0
+∞
0
1 −c x e 2π
− x2 2
−
x2 d− 2
∫
+∞
−∞
xde
−
x2 2
=−
2C 2
c ( xe 2π
2
−
−∫ e
−∞
+∞
dx) = c 2
− 1 ∴ f ( y) = e 2π c