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存在ξ∈[x’,x”](或[x”,x’])⊆[a,b]，使f(ξ)= A.
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2、证明：若f在[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]，
f(x)≠0，则f在[a,b]上恒正或恒负.
证：若f在[a,b]上不恒正也不恒负，则
必存在x1,x2∈[a,b]，使f(x1)>0，f(x2)<0， 又f在[a,b]上连续，由根的存在性定理知，
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1、设f在[a,b]上连续，x1,x2,…xn∈[a,b].
证明：存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=
证：记A=
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∵f在[a,b]上连续，∴f在[a,b]上有最大值M和最小值m.
任给的x∈[a,b] ，有m≤f(x)≤M， ∴m≤ A ≤M， 设x’,x”∈[a,b], 使f(x’)=M, f(x”)=m，由介值性定理知
∴必有x∈(x1,x2)⊂[a,b]，使f(x)=0与题设矛盾. ∴f在[a,b]上恒正或恒负.
3、证明：任一实系数奇次方程至少有一实根.
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证：设a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1=0 (a0≠0) 为实系数奇次方程. 记f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1，则f在R上连续. 当a0>0时， f(x)=+∞， f(x)=-∞，
又f(x)= xn在[0,a]上连续，并有f(0)<r<f(a)， 由介值性定理知，至少有一点x0∈(0,a)，使f(x0)=x0n=r. 设正数x1使得x1n=r，则有 x0n– x1n =(x0– x1)(x0n-1 + x0n-2x1+…+ x1n-1)=0， ∴x0=x1. 原命题得证.
2、设f在[a,b]上连续，满足f([a,b])⊂[a,b]. 证明：存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=x0. 证：∵f([a,b])⊂[a,b]，∴对任意x∈[a,b]，有a≤f(x)≤b， ∴a≤f(x0=a或x0=b，则f(x0)=x0. 当a<f(a)且f(b)<b时，令F(x)=f(x)-x，则 F(a)=f(a)-a>0，F(b)=f(b)-b<0，由根的存在定理知， 存在x0∈(a,b)，使得F(x0)=f(x0)-x0=0，即f(x0)=x0.
∴有a<b，使f(a)<0，f(b)>0，
由根的存在性定理知，方程在[a,b]上至少有一个实根. 同理，当a0<0时， f(x)=+∞， f(x)=-∞，
有a<b，使f(a)>0，f(b)<0，由根的存在定理得证！
老黄学高数
第126讲 连续函数 闭区间上的基本性质
介值性定理和根的存在定理
(介值性定理)设函数f在闭区间[a,b]上连续，且 . f(a)≠f(b). 若μ为介于f(a)与f(b)之间的任意实数
(f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b))，则至少存在一点x0∈(a,b)， 使得f(x0)=μ. 即[f(a),f(b)](或[f(b),f(a)])⊂f([a,b]). 如图：
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(根的存在定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续，且
f(a)与f(b)异号，则至少存在一点x0∈(a,b)，使f(x0)=0，
即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
如图：
1、证明：若r>0，n为正整数，则存在唯一正数x0， 使得x0n=r(x0称为r的n次正根(即算术根)，记作x0= ). 证：∵ xn=+∞，∴存在a>0，使an>r.
