3.2 简单的三角恒等变换
整体设计
教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.
三维目标
1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能
力.
2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.
3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.
重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角
公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 推进新课 新知探究 提出问题
①α与2
a 有什么关系?
②如何建立cos α与sin 22
a 之间的关系？
③sin 2
2a
=2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =a
a
cos 1cos 1+-这三个式子有什么
共同特点？
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?
⑤证明(1)sin αcos β=21
[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)sin θ+sin φ=2sin 2
cos 2?
θ?θ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22
a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2
a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2
a
代替α,即得cos α=1-2sin 22
a , 所以sin 22a =2
cos 1a
-.
①
在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2
a
代替α,即得
cos α=2cos 22
a -1,
所以cos 22a =2
cos 1a
+.
②
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22a =a
a
cos 1cos 1+-.
③
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; (2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin 2
a
=±
2cos 1a -,cos 2
a
=±2cos 1a +,tan 2
a
=±a a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号
由
2
a所在象限决定.
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区
别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=
2?
θ+，β=
2?
θ-,代入(1)式即得(2)式.
证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=2
1[sin(α+β)+sin(α-β)].
(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2
?θ+,β=
2
?θ-.
把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin
2
?θ+cos
2
?θ-.
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.
讨论结果：①α是2
a 的二倍角.
②sin 22a =1-cos 2
cos 1a
-.
③④⑤略(见活动）. 应用示例 思路1 例1 化简:
.cos sin 1cos sin 1x
x x
x ++-+.
活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
解:原式=
)
2
sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222
x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练
化简:sin50°(1+3tan10°).
解:原式=sin50°
10cos )
10sin 23
10cos 21(250sin 10cos 10sin 31+?=+ =2sin50°·
10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +
=2cos40°·
10
cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1. 例2 已知sinx-cosx=2
1,求sin 3x-cos 3x 的值.
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴
a 3-
b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx ·cosx 与sinx ±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=16
11
.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=2
1,得(sinx-cosx)2=4
1, 即1-2sinxcosx=4
1
,∴sinxcosx=8
3.
∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)
=21(1+83)=
16
11. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练
(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=5
1,且2π≤θ≤4
3π,则cos2θ的值是______________. 答案:25
7-
例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+A
B
A B B A B A 求证.
活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.
证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+B
A
B A ,
∴cos 4A ·sin 2B+sin 4A ·cos 2B=sin 2B ·cos+B. ∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A ·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B, 即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B. ∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.
∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.
∴=+A
B
A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1.
证明二:令B
A
a B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.
两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.
∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.
∴B
B
B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练
在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=B
A tan 11
tan 11++
+,求证:S<1. 证明:∵S=
B
A B A B
A B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++
又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA ·tanB>1.∴S<1. 思路2 例1 证明
x x cos sin 1+=tan(4π+2
x
). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的
角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2
x
，三角函数的种类为正切.
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
tan(4π+2
x )=
2
sin
2cos 2sin
2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(
x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ
,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2
x
,得
x x x x x x x x cos sin 1)
2
sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2
+=
-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
2
sin
2cos 2sin
2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x x x x x x x x x x
x -+=
-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2
x
,得
2
tan
4tan 12tan 4tan 2tan 12tan
1x x x x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练
已知α,β∈(0,2
π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.
解法一:3sin 2α+2sin 2β=1?3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,
①
3sin2α-2sin2β=0?3sin αcos α=sin2β, ②
①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=9
1.∵α∈(0,2π),∴sin α=3
1.
∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×3
1
=1. ∵α,β∈(0,2
π),∴α+2β∈(0,
23π).∴α+2β=2
π. 解法二:3sin 2α+2sin 2β=1?cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α, 3sin2α-2sin2β=0?sin2β=2
3
sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β =cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.
∵α,β∈(0,2
π),∴α+2β∈(0,
23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,2
3
sin2α=sin2β,
两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2
π
-2β).
∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π
-2β)>0.
又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2
π
.
结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2
π
.
∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2
π
.
例2 求证:α
β
βαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-
=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明:证法一:左边=
β
αβαβαβαβ2
2cos sin )
sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a
a a a 2
22222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立.
证法二:右边=1-β
β
βββ2
222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ2
2cos sin )
sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =
β
ββ22cos sin )
sin()sin(++a a =左边.∴原式成立.
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练 1.求证:
θ
θ
θθθθ2
tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于
θ
θ
θθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=
++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθ
θθ
θ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.
而上式左边
θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)
2cos 2(sin 2cos 2)
2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2
θ右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sin β=m ·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=
m
m
-+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将
α+β作为一整体来处理.
证明:由sin β=msin(2α+β)?sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]
?sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α
+β)sin α]?(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α
?tan(α+β)=
m
m
-+11tan α. 知能训练
1.若sin α=
135,α在第二象限,则tan 2
a
的值为( ) A.5 B.-5 C.5
1
D.5
1-
2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4
θ
等于( )
A.21a +
B.21a -
C.21a
+- D.2
1a
--
3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2
θ
_________________. 解答:
1.A
2.D
3.-3 课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等
价转化,三角恒等变形的基本手段.
作业
课本习题3.2 B组2.
设计感想
1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.
2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.
第2课时
导入新课
思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：
α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4
π+α=2
π-(4
π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课 新知探究 提出问题
①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？
活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最
小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2
2
2
2
sin b
a b x b
a a +++cosx ）,
∵(sin ,
cos 1)(
)(
2
2
2
222
2
22
2
=+=+=+++b
a b b
a a
b
a b b
a a ?从而可令
φ,
则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.
因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=a
b .在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.
我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.
讨论结果：①y=sinx ，y=cosx 的周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例 思路1
例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3
π
的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.
活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出
S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.
找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cos α33-
sin α)sin α=sin αcos α-3
3
-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.
教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:
图1
(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt △OBC 中,BC=cos α,BC=sin α, 在Rt △OAD 中,OA
DA
=tan60°=3, 所以OA=
33DA=33BC=3
3
sin α. 所以AB=OB-OA=cos α3
3
-
sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α3
3
-sin 2α =2
1sin2α+
63cos2α-63=31(2
3sin2α+21
cos2α)-63
=
3
1sin(2α+6π)-6
3. 由于0<α<3
π,所以当2α+6π=2π,即α=6
π时,S 最大=
3
1-
63=6
3. 因此,当α=6
π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为
6
3. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3
3
12-
-),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练
(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6
π)+sin(ω
x-6
π)-2cos 2
2x ω,x ∈R (其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2
π
,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=23sin ωx+21cos ωx+23sin ωx-2
1
cos ωx-(cos ωx+1) =2(
23sin ωx-21cos ωx)-1=2sin(ωx-6
π
)-1. 由-1≤sin(ωx-6π
)≤1,得-3≤2sin(ωx-6
π)-1≤1,
可知函数f(x)的值域为［-3,1］.
(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得
ω
π
2=π,即得ω=2.
于是有f(x)=2sin(2x-6
π)-1,再由2k π-2
π≤2x-6
π≤2k π+2
π(k ∈Z ),解得
k π-6π≤x ≤k π+3
π(k ∈Z ).
所以y=f(x)的单调增区间为［k π-6π,k π+3
π］(k ∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.
例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.
活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题.
解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin 2x
=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6
π).
故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0, 3
π],[
6
5π
,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练
已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x, (1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x ∈[0,2
π
],求f(x)的最大、最小值. 解：
f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=co s2x-sin2x=2cos(2x+4
π),
所以，f(x)的最小正周期T=
2
2π
=π. (2)因为x ∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4
π，45π
].
当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值
2
2, 当2x+4
π=π时，cos(2x+4
π)取得最小值-1. 所以，在[0,2
π]上的最大值为1，最小值为-2. 思路2
例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2
π
]上是单调函数,求φ和ω的值.
活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(
4
3π
,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练. 解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
鼎尖教案期中测试题（一） 一、小小鉴定家。在注音全对的一组后面画“∨”。 1.呻．吟（shēn）挣扎．（zhá）刀鞘．（qiào） 2.蝙．蝠（biǎn）扫帚．（zhǒu）踌躇．（chú） 3.耽．误（dān）馈．赠（kuì）捎．信（shāo） 4.绵延．（yán）溅．起（jiàn）峰峦．（lán） 二、书法展示台。（10分） Kuǎn dài qíng lǎng kǎi xuán xiǎng chayún xiāo dào d?( ) ( ) ( ) ()（）zhíbai ch?n jìyǒng zhùr?n jiān （）（）（） 三、词语盘点。 1.在括号里填上恰当的量词。 一（）彩票一（）蓝天一（）杜鹃花一（）汽车 一（）硕士两（）机关枪 2.写几个表示“笑”的词语。 冷笑哈哈大笑________ ___________ ________ _______ _____ ______ 四、请你把下列词语送回家，在选一个词语造句。 骨瘦如柴梦寐以求狼吞虎咽疲惫不堪 1.弟弟肯定是饿坏了，拿起一块蛋糕，就（）地吃起来。 2.一场大病让身体本来就差的奶奶显得（）。
3.妈妈终于给他买回了那架她（）的钢琴。 4.劳动了一天的爷爷回到家里，已经累得（）。 造句：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 五、精彩判断。在句子中加点词语意思相同的后面画“∨”。不相 同的画“×”。 1.山上开满了映山红，无论花朵和叶子，都比盆栽的杜鹃显得有 精神 ．．。 这次的工作压力，增加了他精神 ．．上的负担。 2.但是对藏在寂静森林里的人们来说，那歌声已经没有什么新鲜 ．．的意思了。 树林里的空气很新鲜 ．．。 3.问题 ．．就在这4亿吨泥沙上。 老师提出的问题 ．．让同学们面面相觑。 六、用一个词语替换句子中加点的词语，比比哪个更好。 1.他倒在了维护 ．．（）世界和平的圣坛上。 2.从孩子的嘴里飞出宛转 ．．（）的夜莺的歌声。 3.捶了几分钟，杰克逊大叔感到十分惬意 ．．（）。 4.成年以后，回忆往事，我对母亲的教诲（ ．．．）有了深刻的体会。 七、按要求写句子。 1.小林不知该什么时间种菜，你会告诉他：_________________(填 一句谚语)
第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定
四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。
第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质： 有两个面互相平行，而其余每相侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 一个面是多边形，其余各面 面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台
九年级化学鼎尖教案 【篇一：溶质的质量分数的教学设计616】 专业代码：b070302 准考证号：000211107072 贵州师范大学（独立本科段） 毕业论文 题目：溶质的质量分数的教学设计 系（院）：化学与材料科学学院 专业：化学教育 姓名：** 指导教师： 完成时间：2013年3月25日 溶质的质量分数的教学设计 ** 摘要：对于人教版九年级化学下册的《溶质的质量分数》教学，主要从与生活相关知识导入， 运用启发式教学，让学生主动参与、积极思考、认真学习，注意技能的培养，让学生懂得学以致用。 关键词：启发式教学溶质的质量分数教学设计 引言 溶质的质量分数是化学实验室配制溶液时常用到的一种表示溶液浓度大小的化学术语，九年级学生已具备一定的抽象思维能力及独立认知能力。在学生掌握知识的前提下，要让他们懂得用知识联系生产、生活实际。因此，教学主要侧重：使学生在学习溶质的质量分数时，能掌握配置实验室一定质量分数的溶液的基本步骤，让学生在练习计算的过程中，了解溶液与生产、生活的广泛联系，了解学习化学的最终目标是为社会服务。 教学设计是运用系统思想和方法，以学习理论、教育理论和传播学理论为基础来计划和安排教学全过程的诸环节及各要素，以实现教学效果最优化为目的的一种计划过程与操作程序。 本课的教学设计中，在导入版块将引入生活实例让学生感觉本课与生活的息息相关性；在创设好情境且为了更好的调动学生学习的积极性，在活动版块将用两个实验来与学生共同完成，充分地与学生进行课堂互动；并且在课堂练习时，不仅要练习与本课知识相关的
基础题，还要利用学生收集的商品标志上的数据来进行计算，让学 生更加的懂得化学与生活的紧密联系性。本次教学中实验时，需运 用适当的教学方法对学生进行启发，让学生充分参与到课堂中，让 学生在直观上获得知识，牢固的掌握知识。 一、关于导入 在日常课堂教学中，如何才能增强学生的新鲜感，激发学生的学习 兴趣，使学生在较短的时间内进入学习状态，课堂引入是一个十分 重要的环节。课题引入的质量，直接影响到一节课的教学效率和教 学效果。因此，导入方法尤为重要。很多老师在上课的时候都不怎 么注重“导入”的重要性，他们认为导入可有可无而且还会占用了上 课时间，使自己完成不了这节课的教学任务。他们之所以有这样的 看法，是一直都认为教学只要把这节课的知识让学生掌握就可以了。但是在目前的教育环境下，我们不仅要让学生掌握一些科学知识， 还要让他们懂得这些知识是与生活实际联系，并且要让他们知道且 学会如何将这些与生活实际相关联的知识 运用到自己的日常生活中。例如本节课——溶质的质量分数，属于 在我们的化学实验及生活中运用极其广泛的知识，化学实验中溶液 及试剂的配制要用到；而在日常生活中，医用液体药品的含量、农 药化肥中有效成分的含量也要用到。 本课在生活实际中运用较为广泛，可首先运用联系生产、生活实际 进行导入。在学生参与回答问题的过程中及时捕捉课堂信息，即兴 引入课题。 将用游泳先引导学生进入课堂，让他们感觉本节课学着会很轻松的，然后引出人漂浮在死海海面上的现象，引起学生的兴趣，让学生讨论，使他们产生疑问，促使学生充满对本节课的学习兴趣。 二、如何很好的运用“启发式”教学模式进行教学 在教学中，教师应做到：要善于启发引导学生主动学习，而非牵着 学生走，可以促使师生关系、教学关系和谐融洽。 在本课的教学中我将引入一种具有启发性且让每位学生都参与到课 堂讨论的实验，将在创设情境后进行一个“向水中加nacl使鸡蛋浮起”，达到一种启发的效果并充分调动学生的积极性。让学生都来猜 想鸡蛋浮起的原因，并且相互讨论，这样能使学生加深对知识的理解，能帮助问题的解决；能培养学生批判性思维能力，能培养其独 立思考问题的能力和习惯；学生在群体思考过程中，由于思维的碰 撞而产生智慧的火花，能增长才干，培养其创新精神和创造能力。
2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2：立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图（1）（2） 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图（1）（2） 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习（1）（2） 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（1）（2）（3）（4）（单元检测） 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质（1）（2）（3）（4） 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质（1）（2）（3）（4）（单元检测） 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质（4） 空间点、线、面复习（月考） 第8周
选修2-1：空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习（单元检测） 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周
曲线与方程(2课时)复习（单元检测） 第19周 总复习 第20周 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试
3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；
因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
1.1算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步：取n=5； 第二步：计算 2)1 (+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 慕尧书城出品，正品保障。
鼎尖教案答案五年级 【篇一：鼎尖教案人教版五年级数学下册第三单元测试 题】 一、填空。 1．5.1立方分米＝（）立方厘米 120立方厘米＝（）立方分米 4.25毫升＝（）立方厘米8.6平方米＝（）平方分米 25立方分米＝（）立方米 70立方厘米＝（）升 0.5升＝（）毫升 500平方分米＝（）平方米 1平方米＝（）平方厘米 7.02立方米＝（）立方分米 0.68立方分米＝（）升＝（）毫升 6立方分米260立方厘米＝ （）立方分米 2．一个正方体棱长之和是36厘米，它的表面积是（）平方厘米。 3．一个长方体，长5厘米，宽5厘米，高是宽的2倍，这个长方体的棱长的和是（）厘米，表面积是（）平方厘米，体积是（）立方 厘米。 4．一个长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的体积是（）立方厘米。 5．一个长方体的底面积是18平方分米，体积是72立方分米，高 是（）分米。 6．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米，如果 高增加1厘米，体积增加（）立方厘米。 7．一个可乐瓶的容积大约是600（）。 8．一间客厅的占地面积大约是50（）。 9．一个长7分米，宽5分米，高３分米的长方体放在桌面上，它占桌面的最小面积是（），它的体积是（）。 10．用铁丝制作一个长、宽、高分别为８厘米、６厘米、５厘米的 长方体框架，至少需要铁丝（）厘米。 11．一个正方体的棱长是6分米，如果把它切成两个相同的长方体，每个长方体的表面积是（）平方分米。 二、选择。 1．棱长为a的正方体的表面积是（）。 a.6a b.a2 c.6a3 d.6a2 ）的切法增加的表2．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长 方体切成两个长方体，下图中（
教学计划高中数学 教学计划（课程计划）是课程设置的整体规划，以下是整理的关于教学计划高中数学，欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学，这学期对于我来说，面临着挑战，因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班，对于文科班的学生的情况比较理解，但对于理科班来说，我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况，我制定了如下的高中数学教学计划： 一、指导思想 在学校、数学组的领导下，严格执行学校的各项教育教学制度和要求，认真完成各项任务，严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间，使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心，以基础为依托，调整学生的学习习惯，调动学生学习的积极性，让学生多动手、多动脑，培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练，一般地，每一节课让学生练习20分钟左右，充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究，充分发挥备课组集体的力量，精心备好每一节课，努力提高上课效率。调整教学方法，采用新的教学模式。
3、脚踏实地做好落实工作。当日内容，当日消化，加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练，每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点，章考试一章的查漏补缺，章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考，切实把握试题的选取，切实把握高考的脉搏，注重基础知识的考查，注重能力的考查，注意思维的层次性(即解法的多样性)，适时推出一些新题，加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究，努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握： 6.周密计划合理安排，现数学学科特点，注重知识能力的提高，提升综合解题能力，加强解题教学，使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度，选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题，对学生进行有计划、针对性强的训练，多给学生锻炼各种能力的机会，从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力，基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中，努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发，精心设计每一节课，备课组分工合作，利用集体智慧制作课件，充分应用现代化教育手段为教学服务，提高四十五分钟课堂效率。
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
篇一：鼎尖教案人教版样张 -----第二教案--------------教辅教案------ 课时详解 一．把你所知道的身体部位的单词写下来，并写出其相应的中文意思。 --------- --------------------- --------------- --------- --------------- --------- ------------ --------- ---------------- -------- ------------- --------- ------------ -------- ----------- ------- -------------------- --------- ----------- ------- ----------- --------- -------------------- 二．翻译下列短语 3. have a stomachache ____________________ 4. 喉咙疼 _______________________ 答案： 一．见 1a 二．1.你怎么了？2.have a cold 3.胃疼 4.have a sore throat5. 和一些加蜜的热茶 6.see a dentist 7.躺下休息 8. take one?s temperature 词汇详解 【用法】 n. 事情；事态；问题；关于...的事情；物质；重要性 【举例】 你下一步所做的事关系重大吗? 即使他们遇到一些困难，那又有什么关系呢? 【链接】 怎么回事/出了什么事?/怎么了？ 约翰怎么了？ 你有什么不舒服？ 【应用】完成句子 她出什么事啦？ 答案：the matter 2. back 【用法】n. 后面；背脊；靠背；后背 【举例】 three people can sit in the back of this car. 这车的后座可坐3个人。 不论发生什么事,我都会支持你。 放松双腿, 慢慢向后躺下。 the kangaroo uses its back legs to jump. 袋鼠是用牠的后脚在跳。 【应用】完成句子 以前在他们房子的后方是一个大花园。 there used to be a big and beautiful garden at the of their house. 答案：back 3. sore 【用法】adj.疼痛的；痛心的；恼火的；严重的 【举例】 my legs are sore from all that running yesterday. 我的腿因为昨天跑步而感到酸痛。
高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课（角范围的表示）
1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质（补充对称性）1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数，明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明
（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。
4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<
教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案（全册完整版） 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
一．填一填。（15分） 1. 最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的偶数是（）。 2.42的因数有（）。100以内19的倍数有（）。 3.如果四位数□674同时是2和3的倍数，那么□里可以填（）。 4. 既有因数3，又是5的倍数的最大两位数是（）。 5.一个自然数既是9的倍数，又是9的因数，这个数是（）。 6.三个连续偶数之和是60，这三个数分别是（）、（）、（）。 7.一个三位数，百位上的数既不是质数，也不是合数，十位上的数既是偶数，又是质数，这个三位 数同时是2和5的倍数，那么，这个三位数是（）。 8.两个质数的和是49，这两个质数分别是（）和（）。 二．对号入座。（将正确答案的序号填在括号里）（10分） 1.两个质数的和是（）。 A．偶数 B.奇数 C.不能确定 2.按照（）把大于1的自然数分为质数和合数。 A．是不是2的倍数 B.因数的个数 C.两种分类方法都不是 3.一个质数，它的最大因数是（）。 A．奇数 B.合数 C.它本身 4.正方形的边长是质数，它的周长是（）。 A．质数 B.合数 C. 既不是质数，也不是合数 5.两个奇数的和（）。 A．是奇数 B.是偶数 C.可能是奇数，也可能是偶数 6.如果□73是3的倍数，那么□里可能是（）。 A．5，8 B.2，5 C.2，5，8 7. 全班有40个人，体育课分组做游戏，每组（）人能刚好分完。 A．6 B.8 C.12 D.15 8.50以内既是4的倍数，又含有因数6的最大数是（）。 A．12 B.24 C.36 D.48 9. a表示任意一个非0自然数，则2a+1表示（）。 A．奇数 B.偶数 C.质数 D.合数 10.用2、5、5三个数字组成的三位数（）。 A．一定同时是2、3、5的倍数B．一定是2的倍数 C．一定是3的倍数 D．一定是5的倍数 三．判一判。（10分） 1．一个数的因数一定比这个数的倍数小。（）
人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划（一）： 新学期已经开始，在学校工作总体思路的指导下，现将本学期数学组工作进行规划、设想，力争使本学期的工作扎实有效，为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导，深入学习和贯彻新课程理念，以教育教学工作为重点，优化教学过程，提高课堂教学质量。结合数学组工作实际，用心开展教育教学研究活动，促进教师的专业发展，学生各项素质的提高，提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作，优化教学过程，切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研，用心开展教学研究活动，鼓励教师根据教学实际开展教学研究，透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术，用心开展网络教研，拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动，以调动学生学习用心性，丰富学生课余生活，促进其全面发展。
三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提，本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备，以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础，本学期数学组仍采用年级组群众备课形式，要求教案尽量做到环节齐全，反思具体，有价值。群众备课时，所有教师务必做好准备，每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式，对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注，电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内)，使群众备课不流于形式，每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案，更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录，在规定的群众备课时间，教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量，提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录，以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录，结合课堂重新修改和设计，同年级教师能够共同反思、共同提高，为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次，每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例，及时发布在向学校网上，学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式，“推门课”后教师要及时带给本节课的教案，每月26号为组内统一检查教案时间，每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课，更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。
高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =-