31变化率与导数公开课用

r(2)r(1)0.16(dm/L) 21
思考
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题二Βιβλιοθήκη Baidu高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数 关系
h (t) 4.9t 2 6.5t 10
x
x
y
(3)取极限，得导数
f
( x0
)
lim
x0
x
.
一差、二比、三极限
注意：Δx可正也可负.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
ｘ
２
、
函
数
ｆｘ在
ｘ
＝
ｘ处 ０
的
瞬
时
变
化
率
怎
么
表
示
？
lim ｆｘ０＋ ｘ－ ｆｘ０
x 0
ｘ
导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim y ＝ lim f x０＋x －f x０
x0 x x0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f ( x0 ) 或
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:
v
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里,
h(0.5) h(0)
v
4.05(m/s );
0.5 0
h (2) h (1)
v
8.2(m/s );
2 1
探究
计算运动员在
这段时间0里的t平均速6度5,并思考下面的问题: 49
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t = – 0.001时,
v 13.0951
当△t =0.001时,
v 13.1049
当△t = –0.0001时,
v 1 3 . 0 9 9 5 1 当△t =0.0001时,
v 13.10049
△t = – 0.00001,
v 1 3 . 0 9 9 9 5 1 △t = 0.00001,
D．6
C
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（ ） A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) D－f(x0)
课堂练习
3. 已知f(x)=2x2+1 (1)求: 其从x1到x2的平均变化率； (2)求: 其从x0到x0+Δx的平均变化率， 并求x0=1, Δx= 时的平均变化率。
31变化率与导数公开课用
3.1.1变化率问题
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
问题一:气球膨胀率 0.62dm
第 一 次
0.16dm
第 二 次
3V r (V ) 3
V (r) 4 r3
4
3
气球的平均膨胀率为
r(1)r(0)0.62(dm/L) 10
气球的平均膨胀率为
y ,| x x0
即 ： f x 0 ＝ lim
y ＝ lim
f x０＋ x － f x０
x0 x x0
x
导数就是瞬时变化率
求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:
(1)求函数的增量 y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率
y
f (x0x)
f ( x0 ) ;
y
y f(x2) f (x1)
x
x2 x1
f(x2)
Y=f(x) B
直线AB的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1
x2
x
例1、已知函数
f (x) x ，分别计算
在下列区间上 的平均变化率：
2
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]
f (x)
4
3
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用 x1+Δx代替x2
同理 Δy=f(x2)-f(x1)
Δy
f(x2) - f(x1)
Δx
=
x2 – x1
f(x1+Δx) – f(x1)
=
Δx
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均速度有什么 变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内
v 4.9 t 13.1
当△t = – 0.01时,
v 13.051
v 4.9 t 13.1
2.1
例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
解 △ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为
y 205x x
课堂练习
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（ ）
A．－4
B．－8
C． －6
t
瞬时速度
lim h(2t)h(2)13.1
t 0
t
思考
⑴如何求瞬时速度？
（在局部）先求平均速度，然后取极限。
⑵lim是什么意思？ 在其下面的条件下求右面的极限值。
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
lim ｈｔ ０＋ ｔ－ ｈｔ ０
t 0
ｔ
思考
１、函数的平均变化率怎么表示？
ｆｘ０＋ ｘ－ ｆｘ０
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.
平均变化率的定义
式子
f (x ) 2
f (x ) 1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
x2 x1
v 13.100049
△t = – 0.000001,
v 1 3 . 0 9 9 9 9 5 1 △t =0.000001,
……
v 13.1000049
……
当 t2,t趋势0近 时 ,平 于均v速 趋度 近于确 定 值 1.31
称 确 定 值 13.1是 h2 t h2 当 t趋 近 于 0 时 的 极 限.
1 2
（1）2(x1+x2)
（2）4x0+2Δx
5
3.1.2 导数的概念 瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系
h=-4.9t2+6.5t+10
h
如何求ｔ＝2时的瞬时速度？
o
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 . △ 2＋ｔ△＜ｔ0时