31变化率与导数公开课用
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【高考调研】高考数学 3-1 变化率与导数精品复习课件
高考调研 ·新课标高考总复 习
授人以渔
题型一 变化率与倒数定义
2
例1 已知函数y＝ x ＋1 ①求函数在[ x0，x0＋Δx] 上的平均变化率． ②求函数在x＝1处的导数． 【解析】 ①Δy＝ ( x0＋Δx)＋1－ x0＋1 ＝
2 ( Δx) ＋2x0·Δx 2 2
( x0＋Δx)＋1＋ x0＋1
高考调研 ·新课标高考总复 习
5．( 2010·全国卷Ⅱ) 若曲线y＝x2＋ax＋b在点( 0，b) 处的切线方程是 x－y＋1＝0，则( )
A ．a＝1，b＝1 B ．a＝－1，b＝1 C ．a＝1，b＝－1 D ．a＝－1，b＝－1
答案 A
2
解析 求导得y′＝2x＋a，因为曲线y＝x ＋ax＋b在点( 0，b) 处的切线l 的 方程是x－y＋1＝0，所以切线l 的斜率k＝1＝y′| x＝0，且点( 0，b) 在切线l 0＋a＝1 a＝1 上，于是有 ，解得 . 0 － b ＋ 1 ＝ 0 b ＝ 1
2
2
Δy 2x0＋Δx ∴ ＝ 2 Δx ( x0＋Δx) ＋1＋ x2 0＋1
Hale Waihona Puke 高考调研 ·新课标高考总复 习
高考调研 ·新课标高考总复 习
高考调研 ·新课标高考总复 习
【答案】12
高考调研 ·新课标高考总复 习
高考调研 ·新课标高考总复 习
例2
求下列函数的导数
3
( 1) y＝( 3x －4x) ( 2x＋1) ； ( 2) y＝x si nx； ( 3) y＝3 e －2 ＋e； ( 4) y＝ 2 . x ＋1 l nx
3．导数的几何意义
(1)切线的斜率：设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函 数所表示的曲线在相应点M(x0，f(x0))处的切线斜率．
311变化率与导数
27
[点拨] 本例引导学生理解瞬时速度是物体在t 到 t＋Δt
这段时间内的平均速度Δs当 Δt
Δt
趋近于
0
时的极限，即为s
对 t 的导数．对于作匀变速运动的物体来说，其位移对时间
的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间
的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数
的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理
20
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴ Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
21
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ ΔΔxy＝10..912＝19.2；
7
1.函数 y＝f(x)的自变量x 由 x0 改变到x0＋Δx 时，函数 值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 解析：分别写出x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变Δ量y＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选D.
§3.1变化率与导数 3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
1
2
3
1.平均变化率
? f?x2?－f?x1?
函数y＝f(x)从x1到 x2的平均变化率为①____x_2_－_x_1____，
[点拨] 本例引导学生理解瞬时速度是物体在t 到 t＋Δt
这段时间内的平均速度Δs当 Δt
Δt
趋近于
0
时的极限，即为s
对 t 的导数．对于作匀变速运动的物体来说，其位移对时间
的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间
的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数
的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理
20
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴ Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
21
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ ΔΔxy＝10..912＝19.2；
7
1.函数 y＝f(x)的自变量x 由 x0 改变到x0＋Δx 时，函数 值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 解析：分别写出x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变Δ量y＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选D.
§3.1变化率与导数 3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
1
2
3
1.平均变化率
? f?x2?－f?x1?
函数y＝f(x)从x1到 x2的平均变化率为①____x_2_－_x_1____，
高中数学3.1.1-2变化率问题导数的概念课件新人教A版选修1-1
6.导数的பைடு நூலகம்念理解不明
[典例]
已知
f(x) 在
x ＝ x0 处 的 导 数 为
4
，
则
lim
Δx→0
fx0＋2ΔΔxx－fx0＝________.
[随堂即时演练]
1．已知函数 y＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，1
＋Δy)，则ΔΔxy等于
()
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
3.1
变化率与导数
3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念
平均变化率 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直 角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数 y＝f(x)表示．
导数的概念
[提出问题] 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位移，t 表示时间． 问题 1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度． 提示：ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2t－8＋3×12＝－6－3Δt. 问题 2：当 Δt 趋近于 0 时，“问题 1”中的平均速度趋近于什么？ 如何理解这一速度？ 提示：当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于－6.这时的平均速度即 为 t＝1 时的瞬时速度．
解析：ΔΔxy＝21＋ΔxΔx2－1－1＝4＋2Δx. 答案：C
求函数的平均变化率
[例 1] 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变 化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
[解] 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化 率为fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx0 0
＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x02＋2＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1 ＝12.3.
【成才之路】高中数学 311变化率问题与导课件 新人教A选修11
• 2．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率， 就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极 限，它是一个数值，不是变数．如果f(x)在开区间(a，b) 内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可 导．这样，对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确 定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函 数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或 yx′，y′)．求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数 的导函数，再计算这点的导函数值．导函数简称导数， 不是具体数值，而是一个函数，每一个或几个x对应一个 f′(x)值，这二者是一般与个别的关系．
• [辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函数 值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0 ＝－Δx. [正解] ∵f(x)在 x0 可导，
∴Δlixm→0
f(x0－Δx)－f(x0) Δx
＝－－lΔimx→0
f(x0－Δx)－f(x0) －Δx
＝－f′(x0)．
当 x0＝1，Δx＝12时，
平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149. • [点评] 解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意
义．只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容 易求出．
• 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间， f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为
的导数．
[解析]
当
x＝2
时
，
Δy
＝
(2
＋
Δx)2
＋
1 2＋Δx
＋
5
－
22＋12＋5＝4Δx＋(Δx)2＋2(－ 2＋ΔΔxx)，
3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
变化率与导数 数学 优秀课件
f ( x0 )与x的 具体取无关
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
3.1变化率与导数
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时,
v 13.149
当△t =0.001时, v 13.1049
2 2
2
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f lim (x 3) 3. 所以, f (2) lim x 0 x x 0
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1,
Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x
1 0
高三数学一轮复习专讲专练31变化率与导数、导数的计算
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
6 (x0，f(x0))
□ □ 7 切线的斜率 8 y－y0＝f′(x0)(x－x0)
□ □ □ □ 9
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
10 0
11 nxn－1
12 cosx
编辑ppt
14
□13 －sinx □14 axlna(a＞0) □15 ex □16 xl1na(a＞0，且a≠1)
第三章 导数及其应用
编辑ppt
1
§3.1 变化率与导数、导数的计算
01教材回扣 02考点分类 03课堂内外 双基限时练
编辑ppt
2
[高考调研 明确考向] 考纲解读
•了解导数概念的实际背景． •理解导数的几何意义． •能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数． •能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单的函数的导数． •能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
编辑ppt
19
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：C
编辑ppt
20
3．曲线y＝sinxs＋inxcosx－12在点M4π，0处的切线的斜率为
()
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
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21
解析：y′＝cosxsinx＋csoinsxx＋－csoisnxx2cosx－sinx＝ 1＋s1in2x，把x＝4π代入得导数值为12.
数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ □21 _____________，即y′x
＝□22 ____________________.
fx0＋Δx－fx0 Δx
6 (x0，f(x0))
□ □ 7 切线的斜率 8 y－y0＝f′(x0)(x－x0)
□ □ □ □ 9
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
10 0
11 nxn－1
12 cosx
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14
□13 －sinx □14 axlna(a＞0) □15 ex □16 xl1na(a＞0，且a≠1)
第三章 导数及其应用
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1
§3.1 变化率与导数、导数的计算
01教材回扣 02考点分类 03课堂内外 双基限时练
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2
[高考调研 明确考向] 考纲解读
•了解导数概念的实际背景． •理解导数的几何意义． •能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数． •能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单的函数的导数． •能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
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19
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：C
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20
3．曲线y＝sinxs＋inxcosx－12在点M4π，0处的切线的斜率为
()
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
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21
解析：y′＝cosxsinx＋csoinsxx＋－csoisnxx2cosx－sinx＝ 1＋s1in2x，把x＝4π代入得导数值为12.
数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ □21 _____________，即y′x
＝□22 ____________________.