几 ，其中 p≥0，q=1-p。 何 分 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 布
均 设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即 匀 分 a≤x≤b 布
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其他， 则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为 a≤x≤b 0， x<a， 1， x>b。 当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（ ）内的概率为 。 指, 数 分 0, , 布 其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。 X 的分布函数为 , x<0。
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基本公式就是一些定律和性质公式，已经很熟悉的公式跳过，相对陌生的重点记忆一下，会 用就行了。目测比较陌生的也就是德·摩根率的两个公式和任意 n 个事件的并集概率公式。
条件概率那一节主要是理解记忆全概率公式和贝叶斯公式，课后相关习题会做就达到要求 了。独立事件这一部分记得它的条件就够了，做题需要用的时候能用上就可以了。这儿强调 一下，注意区别一下相互独立事件和互斥事件、对立事件的关系，尤其注意一下各个随机 事件概率之间的数量关系。
充要条件：X 和 Y 不相关。
（3）方 （1） D(C)=0；E(C)=C
差的性
质
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
未知方差，估计均值
（i）选择样本函数
(ii)查表找分位数
（iii）导出置信区间
方差的区间估计
第八章 假设检验
（i）选择样本函数 （ii）查表找分位数 （iii）导出 的置信区间
基本思想
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小 概率原理。
为 了检验一个假设 H0 是否成立。我们先假定 H0 是成立的。如果根据这个假定导致了一个
若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。
极大似然估 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总
计
体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称 为样本的似然函数。
若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称 为最大似然估计量。
P{否定 H0|H0 为真}= ； 此处的 α 恰好为检验水平。
第二类错误
当 H1 为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则， 应当接受 H0。这时，我们把客观上 H0。不成立判为 H0 成立（即接受 了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误， 记 为犯此类错误的概率，即
基本步骤 假设检验的基本步骤如下：
(i) 提出零假设 H0；
(ii) 选择统计量 K；
(iii) 对于检验水平 α 查表找分位数 λ；
(iv) 由样本值 计算统计量之值 K； 将 进行比较，作出判断：当 时否定 H0，否则认为 H0 相容。
两类错误 第一类错误
当 H0 为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则， 应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0 成立判为 H0 为不成立（即否 定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误， 记 为犯此类错误的概率，即
定律
则对于任意的正数 ε 有
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（2）中心极限定理
列维－林 设随机变量 X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期
德伯格定 望和方差： ，则随机变量
理 的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗－ 设随机变量 为具有参数 n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数 x,有 拉普拉斯 定理
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理
（1）大数定律
切比雪夫 设随机变量 X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所 大数定律 界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数 ε，有
特Biblioteka Baidu情形：若 X1，X2，…具有相同的数学期望 E（XI）=μ，则上式成为
第二、三、四章都是讲随机变量的相关计算，首先注意分清离散型随机变量和连续性随机变 量的相关表示方法和称谓。比如 f(x)和 P(X=xi)，相同含义，离散型叫做概率分布律，而连 续性称谓概率密度函数，类似的还有许多。
掌握两类函数中各自的基本函数。离散型：0-1 分布（x~B(1,p)），二项分布（x~B(n,p)）， 几何分布，泊松分布（x~π(λ)这个比较陌生，重点看看）；连续性：均匀分布（x~U（a， b）），正态分布（x~N(μ，σ2)），指数分布（这个也相对陌生，重点看看）。熟记这些 基本分布的表达式、均值和方差。
P{接受 H0|H1 为真}= 。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必 须增加样本容量。
在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著 性水平 α。α 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、 而不愿“以真当假”时，则应把 α 取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反 之，则应把 α 取得大些。
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊 设随机变量 的分布律为 松 分 ，，， 布 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几 何 分 布
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。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 。 如果 ~ ，则 ~ 。 。
第三章 二维随机变量及其分布
（2）期 （1） E(C)=C
望的性
质
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
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概率论复习提纲 第一章 随机事件和概率
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( )=1- P(B)
第二章 随机变量及其分布
（5） 0-1 P(X=1)=p, P(X=0)=q 八大 分 分布 布
二 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取 项 值为 。 分 布 ， 其中 ，
（6）协 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 方差的 性质 (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独 （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。 立和不 相关 （ii） 若（X，Y）～N（ ），
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不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0 是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没 有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称 H0 是相容的。与 H0 相对的假设称为备 择假设，用 H1 表示。
这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平 α，通常我们取 α=0.05，有时也取 0.01 或 0.10。
记住积分公式： 正 设随机变量 的密度函数为 态 分 ，， 布 其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质： 1°的图形是关于 对称的； 2°当 时， 为最大值； 若 ，则 的分布函数为 。。 参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ，， 分布函数为
则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。
若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。
只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一 致估计量。
（3）区间 置信区间和 设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，
估计
置信度 使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即
若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。
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（2）估计 无偏性 量的评选 标准
有效性
设 为未知参数 的估计量。若 E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。 E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X） 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
一致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有
充要条件：X 和 Y 不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
协方差 相关系数
对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的协方差 或相关矩，记为 ，即 与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为 与 。 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称 为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 | |≤1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：
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完全相关
而当 时，称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的：
①；
②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
混合矩
对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合 原点矩，记为 ；k+l 阶混合中心矩记为：
那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。
单正态总体 设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如
的期望和方 下：
差的区间估
计
（i）选择样本函数；
（ii）由置信度 ，查表找分位数；
（iii）导出置信区间 。
已知方差，估计均值
（i）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （iii）导出置信区间
第一章讲随机事件及其概率的一些相关公式和运用。很多高中就有涉及，如果你真理不清其 中的关系，我建议可以先画韦恩图取得一个感性的认识，再去推导记忆公式。我把公式分为 两类：基本公式，条件概率公式。当然基本概念是必须搞清楚的，这一章大多数基本概念大 家都比较熟悉，除了条件概率相对陌生。我相信大家都不会存在概念上的问题。
第七章 参数估计
（1）点估 矩估计 计
设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的 k 阶原点矩 中也 包含了未知参数 ，即 。又设 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方 程，即有
由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。
伯努利大 设 μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发 数定律 生的概率，则对于任意的正数 ε，有
伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率 有较大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大数 设 X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=μ，
第六章 样本及抽样分布
（1） 总体 数理 统计 的基 个体 本概 样本 念
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体 （或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
我 们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样 本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立 的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛 指任一次抽取的结果时， 表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽 取之后， 表示 n 个具体的数值（样本 值）。我们称之为样本的两重性。
