中考二次函数与面积有关的问题
1. (2015桂林)如图,已知抛物线y = -x 2+bx +c 与坐标轴分别交于点A (0,8)、B (8,0)和点E ,动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动,动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动,动点C 、D 同时出发,当动点D 到达原点O 时,点C 、D 停止运动.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式:当t 为何值时,△CED 的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点P (点E 除外),使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
第1题图
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1
2. (2015海南)如图①,二次函数y =ax 2+bx +3的图象与x 轴相交于点A (-3,0)、B (1,0),与y 轴相交于点C ,点G 是二次函数图象的顶点,直线GC 交x 轴于点H (3,0),AD 平行GC 交y 轴于点D .
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求证:四边形ACHD 是正方形;
(3)如图②,点M (t ,p )是该二次函数图象上的动点,并且点M 在第二象限内,过点M 的直线y =kx 交二次函数的图象于另一点N .
①若四边形ADCM 的面积为S ,请求出S 关于t 的函数表达式,并写出t 的取值范围;
②若△CMN 的面积等于,请求出此时①中S 的值.
图① 图②
第2题图
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3. (2015深圳)如图①,关于x的二次函数y= -x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,求出点P;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
图①图②
第3题图
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1:二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为(0,1) B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时,x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: x-1013 y-3131 下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )
或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为() 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y,则这条抛物线的顶点一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2:抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示,下列结论:①abc;②;③;④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上,则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
二次函数基础分类练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据 如下表: 时间t (秒) 1 2 3 4 … 距离s (米) 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数:① 23y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x ;④ 2 1 y x x ; ⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ,其中a ,b ,c 3、当m 时,函数2 235y m x x (m 为常数)是关于x 的二次函数 4、当____m 时,函数2 2 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时,函数2 56 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12 -=x y 的图像上,则 A 点的坐标是____. 7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( ) A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm , 那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2 . 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形.
一、二次函数解析式及定义型问题 ( 顶点式中考要点 ) . 把二次函数的图象向左平移 2 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y (x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2 ax 4的顶点在 X 轴上,则 a 值为 11. 已知二次函数 y 2(x 3)2 ,当 X 取 x 1和 x 2时函数 值相等,当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2 k ,当 X 取 X1 和 X2( x 1 x 2)时函数值相 等 , 则当 X 取 X1+X2时,函数值为 13. 若函数 y a (x 3)2 过(2 . 9)点,则当 X =4时函数值 Y = 14. 若函数 y (x h )2 k 的顶点在第二象限则, h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是1 . 且过(3 . 0)点求解析式? 17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为6 二、一般式交点式中考要点 18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于( ) (A ) 8 (B ) 14 (C ) 8 或 14( D )-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-(12-k )x+12, 当 x>1 时, y 随着 x 的增大而增大, 当 x<1 时, y 随着 x 的增大而减小, 则 k 的值应取 ( (A ) 12 ( B )11 ( C )10(D ) 9 20. 若 b 0 ,则二次函数 y x 2 bx 1的图象的顶点在 ( A ) ( A )第一象限( B )第二象限 ( C )第三象限( D )第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 的值恒大于 0 的条件是 ( ) A.a>0, △ >0 B.a>0, △ <0 1)2 则原 . 如果函数 y (k 3)x k2 . ( 08 绍兴)已知点3k 2 y 1 ) , 2, 1 ),形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同,这个函数解析式为 kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A .若 y 1 B .若 C .若 x 1 0 y 2,则 x 1 x 2,则 x 2 y 2 D .若 x 1 10) 抛物线 x 1 x 2 x 2 ,则 y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位, 所得图像的解析式为 y 2x 3, A . b=2 C . b= -2 . 抛物线 c=2 , c=-1 (m 1)x 2 ax B. b=2 D. b= -3 c=0 , (m 2 3m 4)x 5以 Y 轴为对称轴则。 M = 8. 函数 y (a 5)x a 2 a 4a 5 的图象顶点在 Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则 m 的取值范围 5 2x 9. 抛物线 y (3x 1)2 当 x 时, 1 , 当 a ____ 时 , 它是一次函数 ; 当 a 时 , 它是二次函数 . 16. 将 y 2x 2 12x 12 变为 y a(x 2 m ) n 的形式,则 m . 且顶点坐标为(2,3)求解析式?(讲解对称性书写)
中考二次函数压轴题经典题型 1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB上的一点P,使矩形PNDM 有最大面积,求矩形PNDM的面积最大值? 2、如图,二次函数的图象经过点D(0, 3 9 7 ),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 3.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(1 2 , 5 2 )和B(4,m),点P是线段AB 上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
4、如图,二次函数y=a+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值。 5、如图1,对称轴x=为直线的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在轴上是否存在这样有点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;
故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13. (1)求抛物线的解析式; (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113 +113 + 3)点Q的坐 标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式; (2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1 2 CD=CE.利 用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标; (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛 物线的解析式联立,得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ,求解即可得出点Q的坐标. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0), ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:
1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?.
(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点,若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 图15.1 C D O B A x y
轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经 第25题图