圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；
双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线中：
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时 焦点在y 轴上时 。
方程2
2
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？
（2）双曲线：焦点在x 轴上： 焦点在y 轴上： 。方程2
2Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？
（3）抛物线：
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线：
提醒：在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，c 最大，2
2
2
c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围： ；
②焦点： ；③对称性： （如何通过方程证
明）四个顶点 ，其中长轴长为 ，短轴长为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以22
2
21x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性： 一个对称中心 ，两个顶点 ，其中实轴长为 ，虚轴长为 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，
双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；
⑥两条渐近线： 。
（3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点 ；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： 抛物线⇔1e =。
5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；
（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b +<
6．直线与圆锥曲线的位置关系：（注意什么？ ）
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；
0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；
（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
2）过双曲线22
22b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时， （共 条）
②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， （共 条） ③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条： ④P 为原点时这样的直线 ； 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点： （哪三条） 7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 2
0tan ||2
S b c y θ
==，
当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线2
tan
2θ
b S =
。
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（最好自己能推证）： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；
（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；
（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。
9、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB
12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB
12y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计
算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线
22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
p
y 。
提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！
11．了解下列结论
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02
222
=-b y a x ；
（2）以x a b
y ±=为渐近线（即与双曲线12
222
=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为 。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2
2
1mx ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1=ρ或()n m u ,=ρ
；
（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;
（3）给出0ρ
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=r r
使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r
且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）
给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ∆中，给出2
2
2
==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||
AB AC AB AC λ+u u u r u u u r
u u u
r u u u r )(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；
（15）在ABC ∆中，给出=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ∆中，给出()
12
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;
例：已知A,B 为抛物线x 2
=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，点C 坐标为（0，2p ）
（1）求证：A,B,C 三点共线； （2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ⋅=u u u u r u u u r
试求点M 的轨迹方程。
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为____ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
练习1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C 2的方程； (2) 若直线l ：2+
=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A
和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
练习2在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直
线方程是00221x x y y
a b +=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则
椭圆的焦点角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相
应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，
A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2
2OM AB b k k a ⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
二、双曲线
1.
点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4.
以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q
交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
1椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2
时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于
P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
2.过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两
点，则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =（常数）.
过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C
两点，则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =-（常数）.
3.若P 为椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ
-=+.
若P 为双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）
4.设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+. 设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为
F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12
F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5.若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，
可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双
曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6.P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7.椭圆
22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
A a
B b
C -≤.
8.已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）
2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.
已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1） 22
221111||||OP OQ a b
+=-;（2）|OP|2+|OQ|2
的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是222
2a b b a -.
9.过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交
x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 过双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x
轴于P ，则
||||2
PF e
MN =.
10.已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交
于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<. 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,
则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
11.设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，
则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2PF F S b γ∆=.
设P 点是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 12
2
cot 2
PF F S b γ∆=.
12.设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)222
22|cos |
||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ∆=-.
设A 、B 是双曲线
22
22
1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)222
2
2|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-. (2) 2
tan tan 1e α
β=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ∆=+.
13.已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆
相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交
于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
攻克圆锥曲线解答题的策略
可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 第一、知识储备：
1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：
22
1(0,0)x y m n m n m n
+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
22
1(0)x y m n m n
+=⋅<距离式方程：|2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22
222b b p a a
椭圆：；双曲线：；抛物线：
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知21F F 、是椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式：122tan
2
F PF P b θ
∆=在椭圆上时，S 122cot
2
F PF P b θ
∆=在双曲线上时，S
（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||
PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅u u u
r u u u u r u u u r u u u u r ）
(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左
加右减，上加下减”。
（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22
p p
x x y +
+抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如
果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用
判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点
1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消
元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。
例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A
在y 轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0
90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.
3、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4
3
3
2≤
≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示，回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．
解法二：
4、判别式法
例3已知双曲线122:22=-x y C ，直线l 过点()
0,2A
，斜率为k ，当10< 5、求根公式法 例5设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围. 例6椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1=⋅1=． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。 例7、已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程： （Ⅱ）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当ΔDFH 内切圆的面积最大时，求ΔDFH 内心的坐标； 例8、已知定点)01(， -C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12 -，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围； （Ⅲ）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 例10、已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （II ）若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为 直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 例12、已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上. （Ⅰ）若当点P 的坐标为)5 16,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程； （Ⅱ）若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式． 圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,, 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 抛物线中： 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时 焦点在y 轴上时 。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （2）双曲线：焦点在x 轴上： 焦点在y 轴上： 。方程2 2Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？ （3）抛物线： 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线： 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围： ； ②焦点： ；③对称性： （如何通过方程证 明）四个顶点 ，其中长轴长为 ，短轴长为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性： 一个对称中心 ，两个顶点 ，其中实轴长为 ，虚轴长为 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ， 双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线： 。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点 ；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： 抛物线⇔1e =。 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< 专题1 焦长与焦比体系 】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ． C ． D ．与、斜率有关 【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F . （1）证明：； （2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程． 【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积. 秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题 体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ； 焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）． 体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得 则过焦点的弦长.（焦长公式） 焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得． y O F 2 A B x F 1 【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为； （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率． 【例6】（2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为． 【例7】（2011?浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求； （2）若，求椭圆E的离心率． 高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线： (1)是椭圆; (2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2 α b S = ；双曲线焦点三角形面积2 cot 2 α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、2 2 ,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α，求证：△F 1PF 2的面积为b 2 2 tan α。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 圆锥曲线经典题型 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双 曲线C 的离心率为（ ） ?选择题（共 10小题） 1 .直线 y=x - 1 与双曲线 x 2 =1 （b > 0）有两个不同的交点，则此双曲线 离 心率的范围是（ A . （1,工） ) B . r ：：, +x) C. (1, +x D . (1, ：)U( ：!, 2 4 2 M ?丫卩< 0,则yo 的取值范围是（ 2.已知M （x o , y o ）是双曲线C:[ 个焦点，若 A . =1上的一点，F 1, F 2是C 的左、右两 V3 . 2 2 、-（a >0, b >0）的左、右焦点，若双曲线右 a 2 / B. 3.设F 1, F 2分别是双曲线 支上存在一点P ,使得：-一…卜-|,其中0为坐标原点，且 - -I-',则该双曲线的离心率为（ ） A . ，B. in C. D . 2 2 2 4.过双曲线 ———=1 （a >0, b >0）的右焦点F 作直线y=— x 的垂线，垂足 为A ,交双曲线左支于B 点，若日=2匚，则该双曲线的离心率为（ ） A .」B. 2 C. ! D.. 5.若双曲线 —=1 （a >0, b >0）的渐近线与圆（x - 2） 2+y 2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . （2, +x ） B. （1, 2） C. （1 ,：） D. ( :■:, +x) 6.已知双曲线C : b>Q ）的右焦点为F ,以F 为圆心和双曲线 a b A.丄B?口c. :: D. 2 2 2 2 7. 设点P是双曲线——=1 （a>0, b>0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF丄PR,且|PF i|=2|PR|，则双曲线的一条渐近线方程是（） A., 丄 B. , .. C. y=2x D. y=4x 2 2 8. 已知双曲线务壬二1的渐近线与圆x2+ （y-2）2=1相交，贝够双曲线的离心 a2b2 率的取值范围是（） A. （:, +x） B. （1,「;） C. （2. +x） D. （1，2） 9. 如果双曲线经过点P （2,庾），且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（） 10. 已知F是双曲线C: X2-—=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直, 点A的坐标是（1, 3）,则A APF的面积为（） 二.填空题（共2小题） 2 11 ?过双曲线/七二1的左焦点F1作一条I交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8, F2是双曲线的右焦点，则△ PRQ的周长是_______ . 2 2 12.设F1, F2分别是双曲线三；■=1 （巴〉Q, 的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P,使：卜…—-丨，O为坐标原点，且|F-；--, 则该双曲线的离心率为____________________________ . .解答题（共4小题） 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义： 1. 命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知F l 、F 2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段 3. 已知F i 、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q ,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q 的轨迹 是（B ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 2 2 …一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一 ..... 4. 椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值 25 9 是 4。 2 2 5. 选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。 9 5 解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2 （二） 标准方程求参数范围 2 2 1. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。（略） 5 —k k -3 2 "m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1 （三）待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26; 2 2 匕』=1 169 144 （2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）; 2 2 2 2 L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37 （3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 4.方程x = J I -3y 2 所表示的曲线是 椭圆的右半部分 日（」6,1）,以- 。3,-/2）,求椭圆方程. 高中数学：圆锥曲线七个经典题型整理，概念、公式、例题 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结 论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 6、轨迹问题 轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。 定义法： （1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义； （2）设标准方程，求方程中的基本量 （3）求轨迹方程 相关点法： （1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上； （2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）； （3）将x0，y0代入已知曲线方程； （4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。 参数法求轨迹的一般步骤： 圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】 圆锥曲线的七种常见题型 题型一：定义的应用 圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。在定义的应 用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。适用条件需要注意。 例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x- 1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。 例2：方程表示的曲线是什么？ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断 在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程， 然后判断。对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐 标轴上，一次项的符号决定开口方向。 例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？ 例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？ 题型三：圆锥曲线焦点三角形问题 在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。 例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。 例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。 题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法 在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。 例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边 作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率是多少？ 例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。 题型五：圆锥曲线的参数方程 在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。 例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。 例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。 题型六：圆锥曲线的对称性 圆锥曲线经典题型 一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞） 2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（） A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D． 5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞） 6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x 8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2） 9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（） A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 二．填空题（共2小题） 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是． 12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为． 三．解答题（共4小题） 圆锥曲线 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两 点，则2ABF ∆的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线 交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准 方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ， 因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2 圆锥曲线经典题型 一．选择题〔共10小题〕 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1〔b＞0〕有两个不同的交点，那么此双曲线离心率的围是〔〕 A．〔1，〕B．〔，+∞〕C．〔1，+∞〕D．〔1，〕∪〔，+∞〕2．M〔x0，y0〕是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，假设＜0，那么y0的取值围是〔〕 A．B．C．D． 3．设F1，F2分别是双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，假设双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，那么该双曲线的离心率为〔〕 A．B． C．D． 4．过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，假设=2，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．2 C．D． 5．假设双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线与圆〔x﹣2〕2+y2=2相交，那么此双曲线的离心率的取值围是〔〕 A．〔2，+∞〕B．〔1，2〕 C．〔1，〕D．〔，+∞〕 6．双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐 近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，那么双曲线C的离心率为〔〕 A．B．C．D．2 7．设点P是双曲线=1〔a＞0，b＞0〕上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，那么双曲线的一条渐近线方程是〔〕A．B．C．y=2x D．y=4x 8．双曲线的渐近线与圆x2+〔y﹣2〕2=1相交，那么该双曲线的离心率的取值围是〔〕 A．〔，+∞〕B．〔1，〕C．〔2．+∞〕D．〔1，2〕 9．如果双曲线经过点P〔2，〕，且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是〔〕 A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 10．F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是〔1，3〕，那么△APF的面积为〔〕 A．B．C．D． 二．填空题〔共2小题〕 11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，假设|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，那么△PF2Q的周长是． 圆锥曲线解题技巧归纳（9篇） 化为一元二次方程，利用判别式求最值篇一 如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。 例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线 l有公共点M的椭圆中长轴最短的。 分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元 二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的`最小值。 解：椭圆C的焦点。 说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到 一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。 圆锥曲线的八大解题方法：篇二 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 圆锥曲线的解题方法：篇三 一、求圆锥曲线方程 （1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。 例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5 的距离少2。求动点P的轨迹方程。 解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。 （2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。 上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到 定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以 x=—3为准线的抛物线。 （3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。 例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。 解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。 例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}， 则椭圆的方程为_____。 解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故 离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。 一、化为二次函数，求二次函数的最值 圆锥曲线最值问题— 5 大方面 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 ．求距离的最值 例 1.设AB 为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4 ，则AB 的中点M 到直线y+1=0 的最短距离 线y=1的垂线，垂足分别 是 A1 、 B1 、 4 则所求的距离d=MM3 1+=1 4=2 131311 AB+= × 4+ = 24244 44 M1， 313 (AA 1+BB 1)+=(AF+BF)+≥ 424 11 4 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。．求角的最值 x2 例2．M，N 分别是椭圆 4 2 y 1 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠2 MPN 的最大值是 解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是x 2 2，点P(2 2,y0)(y0倾斜角分别为和. ∵ M ( 2,0),N( 2,0) ∴k PM tan y 0 y 0 , 2 2 2 3 2 , k PN tan 解析：抛物线y=x 2的焦点为F( 0 当且仅当弦AB过焦点 F 时，d 11 )，准线为y= ，过A、B、M 准 0) ，直线PM 和PN y 0 y 0 于是tan MPN tan( ) tan tan 2 3 2 1 tan tan 1y0 y0 232 2 2y0 2 2 2 2 3 6 y02 6y 2 6 3 y0 y0 MPN [0, ) 2 MPN 即∠ MPN 的最大值为. 66 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系. 三、求几何特征量代数和的最值 例 3. 点M 和 F 分别是椭圆 2 x 25 2 y 1上的动点和右焦点，定点B(2,2). ⑴求|MF|+|MB| 的最小值. 9 5 ⑵求|MF|+|MB| 的最小值. 4 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0) ，左焦点F′(-4,0) ，离心率⑴|MF| + |MB| = 10 ― |MF ′| + |MB| =10 ―( |MF′|― |MB| )≥故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB| 取最小值10―2 10 . ⑵过动点M 作右准线 25 x= 25的垂线，垂足为H，4 则|MF | | MH | |MH| 4 | MF |. 5 5 是|MF|+|MB|=|MH|+|MB| 4 17 ≥ |HB|= . 4 5 17 可见，当且仅当点B、M、H 共线时， |MF|+|MB| 取最小值44 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系， 是解决此类问题的常见思路。 圆锥曲线中的定点问题 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆类型题训练 求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42 =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。 练习3：过122 2=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。 练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2 2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜 圆锥曲线题型归类总结 高考圆锥曲线的常见 题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 点在椭圆上⇔122 22=+b y a x 点在椭圆外⇔122 22>+b y a x 2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： ∆>0⇔相交 ∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离 3、弦长公式： =AB )(11212212x x k x x k -+=-+a k ∆ +=2 1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ a k ∆+=211 4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、伟达定理： 2、点差法： （1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题 例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB 被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程. 例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2/2，求椭圆的方程。 题型六：动点轨迹方程： 1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 2、求轨迹方程的常用方法： 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2 1 21 y y k x x -=- ②点0 (,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 d = ③夹角公式：直线111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则21 21 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线y kx b =+上两点1 1 2 2 (,),(,)A x y B x y 间的距离 ①AB = 12AB x = -= ③12AB y = - （4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） 111222 ::l y k x b l y k x b =+=+ ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 （Ⅱ） 11112222:0:0 l A x B y C l A x B y C ++=++= ①1212120l l A A B B ⊥⇔+= ② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111 222 A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式 1122 ::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离1221d k =+ 1122 :0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+ 二、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹. （0圆锥曲线经典题型总结(含答案)
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