2015江西省经济发展综合统计分析

zij aij / j
其中， z ij 为第 j 个特征向量的第 i 个元素； aij 为因子载荷阵第 i 行第 j 列的元素；
j 为第 j 个因子对应的特征根。然后再利用计算出的特征向量来计算主成份。
4.模型的求解
4.1 主成份分析求解 4.1.1 主成份分析的适宜性检验
SPSS Байду номын сангаас有提供主成份分析的专用功能，只有因子分析的功能。但是因子分析和 主成份分析有着密切的联系。 因子分析的重要步骤—因子的提取最常用的方法就 是“主成份法”。利用因子分析的结果，可以很容易地实现主成份分析。具体来 讲，就是利用因子载荷阵和相关系数矩阵的特征根来计算特征向量，即
Dij
X i Gi , X j G j
max
d ij
设类 G p 与 Gq 合并成一个新类记为 Gr ，则任一类与的距离为
Dkr
X i Gk , X j Gr
max
d ij
max max d ij , max d ij X i Gk , X j Gq X i Gk , X j G p maxDkp , Dkq
中位数距离 最短、 最长距离定义表示都是极端情况， 我们定义类间距离可以既不采用两类之 间最近的距离也不采用两类之间最远的距离，而是采用介于两者之间的距离 设类 G p 与 Gq 类合并为 Gr ，则任意的类和的距离公式为
2 Dkr
1 2 1 2 2 Dkp Dkq D pq , 2 2
0 1 1 （2） DF D F I m 即各个公共因子不相关且方差为 1； 0 12 0 2 2 （3） D D 即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。 2 0 p
covYi , Yk cov Ti ' X , Tk' X Ti ' cov X , X Tk'' , Ti 'Tk i, k 1,2, m
DYi D Ti ' X Ti ' D X Ti '' Ti 'Ti , i 1,2, m,



2015 年江西省经济发展综合统计分析
1.问题的提出
社会发展是指整个人类社会的向前运动过程。包括两个方面：①纵向，指人 类社会由低级向高级的运动和发展过程；②横向， 指在特定的社会发展阶段中一 个社会各方面整体的运动和发展过程。一个地区社会发展水平的高低， 不仅说明 了该地区的经济发展水平， 更概括了人民生活中各方面领域的水平， 是衡量一个 地区综合能力的重要指标。 对地区的社会发展水平进行排序和综合评价， 有利于 展示各地社会经济发展中的优势和不足，能够明确引导各地财政资金投入方向， 推动各地社会经济有序、 均衡和健康发展； 有利于形成有效的社会发展竞争机制， 提高社会发展速度； 能够为社会监督提供监督标的， 促进政府更加努力地改善社 会发展中的不足。 江西省地处中国中部地区，北临安徽省，东、南各临经济发达的福建省、广 东省，西靠湖南省。改革开放以来，江西省经济增长并不明显，经济发展处于滞 后水平，GDP 位列中部第六位，中部蓝皮书指出，江西经济发展在全国乃至中部 仍处于滞后水平， 2005 年江西省 GDP 为 4070 亿元， 在中部位列第六位， 人均 GDP 为 9440 元(1180 美元)，在中部位列第五位。 蓝皮书认为，在正确的发展战略 指导下，在“十五”时期，江西实现了持续、快速、稳定的发展，实现了在全国 和中部地区的位次前移。 所以从纵向看， 江西的发展是令人瞩目的， 但从横向看， 仍有较大差距，江西经济发展在全国乃至中部仍处于滞后水平。2005 年江西省 GDP 为 4070 亿元，在中部位列第六位；人均 GDP 为 9440 元(1180 美元)，在中部 位列第五位； 财政收入 425 亿元， 列中部 6 省之末， 只有湖南的 57%， 山西的 56%， 湖北的 40%。那么，江西省地级市的社会发展状况排名如何呢？这都是本文要探 讨的问题，本文从实证角度利用主成份分析法、因子分析法、聚类分析法对江西 省各地级市的社会发展水平进行评价，并由此概括全省的社会发展水平。

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离差平方和法 设将 n 个样品分成 k 类 G1，G2， ，Gk ，用 X it 表示 Gt 中的第 i 个样品， nt 表示 Gt 中样品的个数， X t 是 Gt 的重心，则 Gt 的样品离差平方和为
St X it X t X it X t
i 1 nt


2.建立评价指标体系
社会发展水平的高低体现了各地全面协调发展的程度,与居民的收入水平、 生活水平和生活环境密切相关，对社会发展水平进行综合评价涉及到收入层次、 居住条件、生活环境以及设施等各个方面。在遵循数据客观性、代表性和可得性 的原则下, 本文选取《中国区域经济统计年鉴 2015》、《中国城市(镇)生活与 价格年鉴 2015》以及《江西统计年鉴 2015》、《中国城市统计年鉴 2015》中收 录的 2015 年江西省的一些数据作为评价指标。选取的 13 项指标如下：
3.22 因子分析法的原理 因子分析通过对变量的相关系数矩阵内部结构的分析， 从中找出少数几个能控制 原始变量的随机变量 Fi i 1 m ，选取公共因子的原则是使其尽可能多地包含 原始变量中的信息，建立模型 X AF ，通过 F 再现原始变量 X 的众多分量
X i i 1 p 之间的相关关系，达到简化变量降低维数的目的。
'
'

如果 G p 与 Gq 类合并为新类 Gr ，，类内离差平方和为
S p X ip X t X ip X p
i 1 np



S q X iq X q X iq X q
i 1 nr
nq


'
'

S r X ir X r X ir X r
i 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X 10 X 11 X 12 X 13
道路清扫面积（万平方米） 绿化覆盖面积（万平方米） 道路长度（公里） 运营车数（辆） 污水处理率（%） 建成区绿地率（%） 污水处理率（%）
X 1 用水普及率（%） X 1 本年完成投资（万元） X 1 公共服务用地（万平方米）
值得指出的是，为了消除指标间量纲的影响，防止大数吃小数，因子分析是基于 将数据标准化的基础上做的。本文利用 SPSS22.0 软件作为工具，软件中对于数 据的因子分析，已将变量（即指标）和各公共因子进行了标准化处理，不需先将 数据标准化。
3.3 聚类分析法的简介 3.31 聚类分析法数学模型 距离相近的样品 （或变量） 先聚成类， 距离相远的后聚成类， 过程一直进行下去， 每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总共有 n 个样 本（或变量），第一步将每个样品（或变量）独自聚为一类，共有 n 类；第二步
根据所确定的样品（或变量）“距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量） 聚合为一类，其他的样品（或）变量仍各自聚为一类，共聚成 n-1 类；第三步将 “距离”最近的两个类别进一步聚成一类，共聚成 n-2 类；……以上步骤一直进 行下去，最后将所有的样品（或变量）聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚 类过程，可以把整个分类系统地画成一张谱系图。 本文利用系统聚类法，选取的距离为最长距离、中位数距离、离差平方和。因此 需要定义距离。 最长距离法 定义类 Gi 与 G j 之间的距离为两类最远样品的距离，即为
可表示为 X i ai1 F1 ai 2 F2 aij F j aim Fm i
i 1, 2, , p
a11 a 因子载荷阵为 A 21 a p1
a12 a22 ap2
a1 m a2 m ( A , A , , A ) 1 2 m a pm
建成区面积（万平方米） 地区生产总值（万元） 公共财政收入（万元）
3.模型的建立
3.1 主成份分析法的简介 3.11 主成份分析法数学模型 设 X X 1 , , X P 为一个 p 维随机向量，并假定存在二阶矩， 其均值向量与协方
'
差记为
E X ,
D X
3.2 因子分析法的简介 3.21 因子分析数学模型 通常在作因子分析时，针对变量作因子分析，称为 R 型因子分析；针对样品作因 子分析，称为 Q 型因子分析。 R 型因子分析数学模型为：
X 1 a11 X 2 a21 X a p p1 a12 a22 a p2 a1m F1 1 a2 m F2 2 a pm Fm p
其中 X 为实测的 P 维随机向量， X 的每个分量代表一个指标或变量。
F F1 F2 Fm 为不可测的 mm p 维随机变量，它的各个分量将出现在
T
每个变量之中，所以称他们为公共因子。矩阵 A 称为因子载荷矩阵， aij 称为载 荷因子，表示第 i 个变量在第 j 个公共因子上的载荷，向量 成为特殊因子，其 中包括随机误差。他们满足： （1） cov F , 0 即公共因子与特殊因子是不相关的；



他们反映了各自类内样品的分散程度，如果 G p 与 Gq 这两类相距较近，则合并后 所增加的离散平方和 S r S p S q 应较小；否则，应较大。于是定义 G p 与 Gq 之间 的平方距离为
2 D pq Sr S p Sq
3.32 聚类分析法的原理 聚类分析是一种探索性的分析， 在分类的过程中， 人们不必事先给出一个分类的 标准，聚类分析能够从样本数据出发，自动进行分类。聚类分析所使用方法的不 同，常常会得到不同的结论。不同研究者对于同一组数据进行聚类分析，所得到 的聚类数未必一致。

这样我们所要解决的问题就转化为，在新的变量 Y1 , , Ym 相互独立的条件下，求
Ti 使得 DYi Ti 'Ti , i 1,2, m, 达到最大。
3.12 主成份分析法的原理 主成分分析（Principal Component Analysis）是利用降维的思想，将多个变量 转化为少数几个综合变量（即主成分），其中每个主成分都是原始变量的线性组 合，各主成分之间互不相关，从而这些主成分能够反映始变量的绝大部分信息， 且所含的信息互不重叠。 采用这种方法可以克服单一的指标不能真实反映情况的 缺点，引进多方面的指标，但又将复杂因素归结为几个主成分，使得复杂问题得 以简化，同时得到更为科学、准确的信息。 设的协差阵为，其特征根为，相应的单位化的特征向量为。那么，由此所确定的 主成份为，其方差分别为的特征分
考虑如下的先行变换
Y1 t11 X 1 t12 X 2 t1 p X p T1' X ' Y2 t 21 X 1 t 22 X 2 t 2 p X p T2 X Yp t p1 X 1 t p 2 X 2 t pp X p Tp' X
用矩阵表示为
Y T'X
其中， Y Y1 , Y2 ,, Yp ; T T1 , T2 ,, Tp 。
'
我们希望寻找一组新的变量 Y1 , , Ym m p ，这组新的变量要求充分地反映原变 量 X 1 , , X p 的信息，而且相互独立。 这里我们应该注意到，对于 Y1 , , Ym 有