2020年浙江省数学近十年高考真题向量专题解题分析

所以 2a 2 b2 4 [4, 2 5]
4.（2016 年浙江理 T15）已知平面向量 a, b 满足
a
1,
b
2
，若对任意的单位向量
e
，
均有 a e b e
6
，则
a
b
|的最大值为_________
分析：本题考查向量不等式或投影知识
方法一：建系法
设 e (1, 0), a (cos ,sin ),b (2 cos , 2sin ) ,
则 cos 2 cos 6 ，令 sin 2sin t
则 4 cos cos sin sin 1 t2 恒成立
a b 2 cos cos 2sin sin 2 cos cos
sin sin
1 2
所以
a
b
的最大值为
1 2
方法二：不等式放缩
①当 ac 与 bc 同号时，
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
方法二：构造标准圆
设 a OA,b OB,e OE, 2e OE
b
2
4e b 3
0
(b 2e) 2
1
b 2e
1
E B
1
所以点 B 在以 E 为圆心，1 为半径的圆，欲求 BA 的最小值，只要 BA OA 即可，
2
4
当且仅当
x
y4 2
0, y 2
0,
b
2
7
1
时取最小值，即
x0
1,
y0
2,
b
2
2
方法二：建系
设
e1
(1,
0,
0),
e2
(
1 2
,
3 2
, 0)
，由于 b e1
2,b e2
5 2
，所以可设 b
(2,
3,b) ，
b (xa yb) b (x0a y0b) 1
ac
bc
(a b) c
c
ab
2ab
a b 与 c 平行时取等号）
6 （当且仅当
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②当 ac 与 bc 异号时，
ac
bc
(a b) c
c
ab
2 ab
a b 与 c 平行时取等号）
所以
a
b
6
，
a b 6
两边平方得：
T8）记
max{x,
y}
x
y
x x
y, y
min{x,
y}
y x
xy x y ，设 a, b 为平面向
量，则（ ）
A. min{ a b , a b} min{ a , b}
B. min{ a b , a b} min{ a , b}
2 2 2 2 B. max{ a b , a b } a b
所以 BA min d r 3 1
2.（2017 浙江 T10）如图，已知平面四边形 ABCD ， AB BC ， AB BC AD 2 ，
CD 3 ， AC 与 BD 交于点 O ，记 I1 OA·OB ， I2 = OB·OC ， I3 = OC·OD ，则( )
A． I1 I2 I3
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令 y 5 4cos 5 4cos ，则 y2 10 2 25 16cos2 16, 20 ，
据此可得： a b a b 20 2 5, a b a b
max
min
即 a b a b 的最小值是 4，最大值是 2 5 ．
2020年浙江近十年高考真题向量专题解题分析
我们做高考真题或模拟题时总会遇到“向量”问题，随着高考改
革的推进，难度越来越大，我今儿从 2019 年往 2009 年反过来看浙江 高考考查向量问题与难度，细心品尝，也可以为学子们提供一份好的
材料。多话不说，直接开始，史老师希望它能带给你一份好的复习资
料，只是整理很匆忙，解答做的不够全面，需要慢慢完善。同学们，
5 5
2a 2a
b b
6 6
1 2
a
b
1 2
，所以
a
b
的最大值为
1 2
方法四：投影法
设 OA
a , OB
b
，对任意的单位向量 e ，都有
ae
be
6
，固定向量
OC
e
.
①当 A, B 在直线 OC 同侧，如图（1）所示，
a e b e OA OB AB a b 6
最大值是_______．
【答案】4， 2 5
方法一：定义法
设向量 a, b 的夹角为 ，由余弦定理得：a b
12 22 2 1 2 cos
a b 12 22 21 2 cos 5 4 cos ，则：
a b a b 5 4cos 5 4cos ，
5 4 cos ，
5 （基本不等式）
方法三：设 a OA,b OB1, b OB2 ，则 a b AB2 , a b AB1
由 a 1，则 A 在单位圆上，设 AB2 AB1 2a ，则 A 在以 B1, B2 为焦点的椭圆上，长
轴长为 2a ，
所以椭圆的短半轴 b [0,1] ，焦半距为 2
2 2
2 2
ab ab 2 a b
2 2
2 2 ab ab
2
2
max{ a b , a b }
a b
2
为何 A,B 错误呢？构造平行四边形就可以排除 A,B
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9.（2014 浙江文 T9）设 为两个非零向量 a, b 的夹角，已知对任意实数 t ，| b ta | 的最小
D． I 2 I1 I3
则 B(0, 0),C(2, 0), A(0, 2)
(x 2)2 y2 9
解方程组
x2
(y
2)2
4
，有兴趣的可以接着往下做
x
0,
y
0
3.（2017 年浙江 T15）已知向量 a，b 满足 a 1, b 2, 则 a b a b 的最小值是________，
rr rr 则 a e b e cos cos 3 sin cos cos 3 sin
2 cos 3 sin ，取等号时 cos 与 sin 同号．
所以 2 cos 3 sin 2 cos 3 sin 7 2 cos 3 sin
7
7
7 sin( ) ，（其中 sin 2 , cos 3 ，取 为锐角）．
记得转发给自己的同学，和他们一道分享！让数学舞动起来，这也是
我的初衷。
第一部分：真题解析
1.（2018
年浙江
T9）已知 a, b, e
是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a
与 e 的夹角为
π 3
，
向量
b
满足
b
2
4e
b
3
0
，则
a
b
|的最小值是（
）
A． 3 −1 B． 3 +1 C．2
B． I1 I3 I2
方法一：借助于图形分析
C． I3 I1 I2
AOB 为钝角，所以 I1, I3 0, I2 0
因为 OA OC,OB OD ，所以 I3 I1
综上： I3 I1 I2
方法二：建系（复杂点）
以 B 为坐标原点， BC, BA 分别为 x, y 轴，建立直角坐标系
(x y 2)2 ( 3
3y 2
3)2 b2
(x0
y0 2)2 ( 3
3y0 2
3)2 b2 1 恒成立，
(x
y 3
2) 2
(
3y 2
3)2
b
2
(x0
min
y0 2)2 ( 3
3y0 2
3)2 b2 1
( x0
y0 3
2)2
(
3y0 2
3)2 0 x0 1, y0 2 且 b2 1， b 2
5 2
T15 ） 已 知
，且对于任意
e1, x,
e2 是 空 间 单 位
y R ，b (xa
向 量 ， e1 e2
yb) b (
x0
1 2 a
，若空间向量
y0b) 1（ x0 ,
b y0
满
足
R）
，则 x0 ， y0 ， b
．
解析：
方法一：找最值的条件
平方得： b2 x2 y2 4x 5y xy (x y 4)2 3 (y 2)2 b2 7
7.（2015
浙江文
T13）已知
e1 ，
e2
是平面单位向量，且 e1
e2
1 2
．若平面向量 b
满足，则
b e1 b e2 1 ，则 b
．
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【答案】 2 3 3
解析 方法一建系：
由题可知，不妨
e1 (1, 0)
，
e2
(
1 2
,
3) 2
，设
b (x, y)
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所以 BA min d r 3 1
方法三：构造直径圆
设 a OA,b OB,e OE, 2e OE
b
2
4e
b
3
0
(b
e)(b
3e)
0
(b
e)
Leabharlann Baidu
(b
3e)
所以点 B 在以 E 为圆心，1 为半径的圆，欲求 BA 的最小值，只要 BA OA 即可，
2 2 2 2 D. max{ a b , a b } a b
【答案】D
【解析】方法一
(a
±b)2
=
2
a
2
+b
± 2ab，∴不论ab正负零，a2
2
+b
+
2ab和a 2
2
+b
-
2ab中总有一个
≥
a
2
+
b 2 .即 max{( a
+b)2
,
(a
-
b)2}
≥
2
a
2
+b
.其它都不对.选D.
方法二：平行四边形性质
②当 A, B 在直线 OC 同侧，如图（2）所示，
a e b e OA OB1 AB1 a b 6
由①、②得
1
a
b
1
2
2
所以
a
b
的最大值为
1 2
方法五：投影法 由题意知 a e b e 6 6
e ee
即向量 a 在 c 的投影的绝对值+向量 b 在 c 的投影的绝对值不超过
，则
b
e1
x
1
，
b
e2
1 2
x
3
y
1 ，所以 b
(1,
3 ) ，所以
b
2
3
1 1 2 3 . 33
方法二：投影法
b e1
b e2
1
be1
e1
be2
e2
1 ，而两单位向量的夹角为
600
如图所示， OA 1, AOB 300 OB 2 3 3
8.（2014
年浙江
16 4 ，
方法二： a b a b max{2 a , 2 b } 4 ，所以 a b a b 4
2 2
另一方面： 2 a 2 b a b a b 10 （平行四边形性质）
2 2
而 ab ab ab ab
2
2
所以 a b a b 2 5
5 5
2a 2a
b b
6 6
1 2
a
b
1 2
，所以
a
b
的最大值为
1 2
6 （当且仅当
方法三：三角不等式
a c b c max (a b) c , (a b) c max a b , a b
max
所以
a
b
6
，
a b 6
两边平方得：
7
7
显然 7 sin( ) 7
易知当 时， sin( ) 取最大值 1，此时 为锐角， sin, cos 同为正，因此 2
上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为 7 ．
方法二： 三角不等式法比较直观，这里不展开。
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6. （
b e1
2015 浙 江 理
2,b e2
ab
|ab| |ab| |ab| |ab|
两边平方得：
a
b
1
2
5.（2016 浙江文 15）已知平面向量 a, b ，
a
1,
b
2, a b
1
．若
e
为平面单位向量，则
a e b e 的最大值是______．
方法一:建系
rr
r
r
r
试题分析：由已知得 a,b 60，不妨取 a (1, 0) ， b (1, 3) ，设 e (cos,sin ) ，
D．2− 3
分析：考查了向量夹角为定值时带来的结果，和数量积带来的圆
解析：
方法一：建系法
设 e (1, 0) ， b (x, y) ，
则
b
2
4e b 3
0
x2
y2
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示，a
OA ，b
OB ，（其中
A
为射线
OA 上动点，B
为圆
C
上动点，AOx
3
.）
2
方法三：用双判别式法
b
(xa
yb)
1
x2
(4
y)x
y2
5y
b
2
1
0
对一切
x
R 恒成立,
(4
y)2
4( y2
5y
b
2
1)
0
即
3
y
2
12
y
4
b
2
20
0
对一切
y
R
恒成立,
2
所以 144 12(4 b 20) 0 b 2 2
现在找等号成立的条件即可，易求 x0 1, y0 2
6 ，当 a b 与 c 平行时
取等号.
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所以 a b
6
，两边平方得：
a
b
1
2
方法六：
设 e 是与 c 相同的单位向量，对任意的单位向量 e ，都有
ae
be
6
取e
a b
|ab|
6
ae
be
a (a b)
b (a b)
a (a b) b (a b)