习题 4
以下如果没有指明变量 t 的取值范围，一般视为 t R ，平稳过程指宽平稳过程。
1. 设 X (t ) sin Ut ，这里 U 为 (0,2 ) 上的均匀分布 . （a ） 若 t 1,2,
，证明 { X (t ), t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳，
（b ）
设 t
[ 0, ) ，证明 { X (t), t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程 .
证明：（ a ）验证宽平稳的性质
2
EX (t) E sin(Ut )
sin(Ut ) ? 1 dU 1 ( cosUt ) 02 0, t 1,2,
2 2 t
COV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sin Us) 1
E(cos(t s)U cos(t s)U ) 1 { 1 [cos(t
1 [cos(t
2 1 s)U ]02 s)U ]02 } ?
2 t s
t s
2 t
0, t s
COV ( X (t ), X (t )) Esin 2 Ut 1
1
2 (b) EX (t) (1 cos(2 t)), 与t 有
关 ,
2 t
DX(t)
1 1 sin(
2 t )，与 t 有关，不平稳 .
2 8 t
2. 设 { X n ,n
1,2, } 是 平 稳 序 列 ， 定 义 { X n (i ) , n
1,2, }, i 1,2,为
X n (1)
X n X n 1, X n (2 )
X n (1) X n (1)1 ,
，证明：这些序列仍是平稳的 .
证明：已知， EX
n
m DX
n
2
,COV (X n t , X t )
t )
,
(
(1)
EX n EX n 1
(1)
D ( X n
X n 1 )
2
2 (1)
2
EX n 0, DX n
1
COV ( X n (1)t , X n (1) ) COV ( X n t X n t 1 , X n X n 1 ) COV ( X n t , X n ) COV ( X n t 1 , X n )
COV ( X n t , X n 1 )
COV ( X n t 1 , X n 1 ) 2 (t )
(t 1)
(t
1)
显然， X n (1) 为平稳过程 .
同理可证， X n ( 2) , X n ( 3) ,
亦为平稳过程 .
n
3.Z n k2( a k n u k )里k和 a k正常数，k=1， ....n;u1, ...u n是（0,2）
k1
上独立均匀分布随机量。
明{ x n , n0,1,2,...} 是平程。
n
明： E X n =k2E cos(a k n u k ) ，
k1
2
u k )du k= 1/ 2sin( a k n u k ) |02
E cos(a k n u k ) =1/ 2 cos(a k n=0
D[cos( a k n u k ) ]=1/2- E cos(2a k n2u k )1/ 2
cov (cos(a k n u k ),cos( a k (n t)u k ) )= E cos(a k n u k ) E cos(a k (n1) u k)=1/2cos
a k t
cov(cos( a k n u k ),cos( a l n u l ))0,( k l )
n n
E X n =0,D(X n)=k2 .2D (cos(a k n u k ) )k2.常数
k1k 1
n n
cov( x n t , x n )k . l .2.cov[cos( a k (n t ) u k ),cov( a l n u l )]
K 1 l1
n
=k2 .2.1/ 2.cos( a k t)
k 1
只与 t 有关，与 n 无关。
从而知道 { X n .n=0,1,2 ⋯.}平的。
4. A k k1,2...n是 n个实随机变量；W k，k=1,2⋯n 是 n 个数。
A k与 W k之
n jwt
是一个复的平稳过程。
（2足的条件才能使： Z (t )A k e ）
j=1 k1
n
Ez k EA k e jw k t常数
,要求EA
k0
Solution:k 1
n n
Ez t z t E A k A l e j k t j l t常数
E A k A l 0, k l
k 1 l 1要求
.
5.设
x n , n 1,2,... 是 一 列 独 立 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ，
P x n
1
p ，
P x n
1 1 p,n 1,2,...
s 0
0, s n
n
x n
, n 1,2,...
s n , n 1,2,...
令
k
1
n
求
的协方差
函数和自相关函数，
p 取何值时，此序列为平稳序列？
Solution :
Ex n
p 1,Dx n
Ex n
Ex n
2 p 1
2 2 1
2 p
2
2
12 1 p
2 p 1
14 p 1 p
2
1 n
E x n x m
Ex k
p 1 n
p 1 , n m, Es n
n
k 1
协方差函数
R s
n
m, n
cov s n m , s n
1
1
n m n
1 1
R s n
cov x k , x l
D x 1
... D x n
m, n
n m
n
n m
n
k 1 l 1
n 4 p 1
p
m
n
自相关函数：
r s n
m,n
R s n m, n
Es n m Es n
n
p
4 p 1
n n m
1
2
n m
2 p
1
Ex 0, D x n
1
, Es 0, D s
1
当 p=
n
2 n
n
2
时，
R s n m,n
n
但协方差函数
n
m
始终与
n,n+m 有关，还是不平稳！
6.设 X t
是一个平稳过程，对每一个 t R ， X / t 存在，证明对每个给定的 t ，
X t 与 X / t 不相关，其中 X /
t
dX t .
dt
Proof.
EX t
m ， D X t 2
. E X t
t m .
X / t
lim X tt
X t ， EX / t 0 .
t 0
t
.
Cov X t , X / tEX t X / t lim E X t X t t X t
t 0t
1dX 2 t 1 d2
t 1 d 2
m20
2E EX
2 dt
dt 2 dt
7.设X t是 Gauss 过程，均值为0 ，协方差函数 R 24e 2 Z .
令 Z t X t 1 ,W t X t 1 ，
（i）求E Z t W t和E Z t W t 2；
（ii ）求Z t的密度函数 f Z z及 P Z t 1 ；
（iii ）求Z t与 W t 的联合密度 f Z ,W z,w.
Solution.（i ）EZ t W t EX t1X t14e 4.
（ii ）EX t0, D X t R 0 4 .
Z t X t 1 ~ N 0,2 2
11x2
P Z t1
22
e 2 4 dx .
（iii ）Z t ,W t ~ N 0;22;0;22;4e4， P R 2 e 4
4
22 f
Z ,W z, w1exp1z02e 4z 0 w 0w 0
2 1 e 8 4 2 1 e 8444 8. 设X t , t R 是一个严平稳过程，为只取有限个值的随机变量.证明
y t X t, t R 仍是一个严平稳过程.
Proof.
d
X t1,X t n X t1h ,, X t n h
F y1 , , y n t 1 , t 2 , , t n P y t1 ,, y t n y1 , , y n
=p((X( t1 -)，⋯，X(t n-)≤（y1,⋯，y n）)
.
= k
Pk .p((X( t
1 -
a
k
，⋯X( t
n - a
k )≤( y 1 ,⋯,
y n ))
= k
Pk .p((X( t
1 -h-
a
k
),⋯X(
t n
-h-
a
k ))≤（
y 1
，⋯，
y n ）
)
=p((y(
t
1
-h),
⋯,y(
t
n
-h))
≤(
y 1
,⋯， y
n
))=
F
t 1 h,...., tn h
(
y 1
，⋯， y n
）
即知 y(t ) 平 .
9 、 X (t ）， t R 是一个 平 程，构造随机 程
Y 如下：
Y （ t ） =1, ）若 X （ t ）＞ 1，若 X （t ）＞ 0;-1
，若 X （ t ） ≤0
明 Y （ t ）是一个 平 程，如果 一步假定 X (t ）， t
R 是均 0 的 Gauss
程（平 ）， 明
R Y
( )
2
arcsin X X
（R ( ) R ( )）
明： P （（Y(
t 1
),⋯,Y(
t n )） = （ a 1 ，⋯， a n ））
=P(X( t 1
)，⋯， X （
t n ）中有的大于 0，有的小于等于
0)
=P (X( t 1
+h)
，⋯， X （
t n +h ）相 于
X( t 1 )
，⋯， X （
t n ）中的符号
不 )
=P （（Y(t 1
+h), ⋯,Y( t n +h) ） = （ a 1 ，⋯， a n ））
即
y(t) 亦 平 的 .
2
EX(t)=0,E
X (t )
=
R x
(0) ,X(t)
N(0, R x
(0) )
1 1
EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)
＞ 0)- P(X(t)
≤
- =0
0)=
R
Y
2 2
( ) =EY(t+
)Y(t)=P(X(t+ )＞ 0, X(t) ＞ 0)+P(X(t+ )≤ X(t) ≤
)≤
0, 0)- P(X(t+
.
0, X(t) ＞ 0)+ P(X(t+ )＞0, X(t)
≤
0)
R （y 2）
1
exp － １
x 2 2 (2) xy
y 2
2 R （0） 1
2
R x (0)
d x d y
2
x
记
（ ） R x (2 )
2
R x (0 )
1
１
x 2
2 (2)xy
y 2
+ exp －
d x d y
2 R （0） 1
2
R x (0)
2
x
－
1
exp
－
１
x 2 2 (2)xy y
2
d y d x
（ ）
2
R ( 0)
2 R x 0 1
2
2
x
－
1
exp －
１
x 2 2 (2) xy y
2
d y d x
（ ）
2
R (0)
2 R x 0 1
2
2
x
＝２
2
1
exp
1
2
r 2 (1
( 2)sin 2
.rdrd
2
(2)
0 0
2 R x (0) 1
2R x (0)(1
（2））
－
2
1 exp
1 2
r 2 (1 (2) sin2 .rdrd
0 0
2 R x (0) 1
2
(2)
2R x (0)(1 （2））
极坐标变换：
x r cos , y r sin
1
2
1
2
( 2 )
d 1
2 1
2
( 2)
d ＝
1
( 2) sin 2
1
( 2) sin 2
令 t tan ,
arctan , d
1 dt
1 t 2
1 2
1
2
( 2) dt
1
2
1
2
( 2) dt
＝
1t
2
2 (2 ) t
1t 2
2 ( 2)t
＝
1
t ( 2 ) 2 1
t ( 2) 2
arctan
arctan
1
2
1
2
( 2 )
（ 2）
1
arctan
(2)
1
arctan
(2)
＝
2
1 2
(2)
1
2
(2)
2
＝
2
arctan
( 2)
1
2
(2)
2
arcsin (2)
＝
注：验证 sin arctan
sin arcsin
． 即可！
2
1
10. 设 X t 是一个复值平稳过程，证明：
E X t X t 2
2 Re R 0R
Proof ：
E X t
X t 2
E X t X t X t X t
EX t
X t
EX t X t
EX t X t
EX t
X t
2 R 0 R
R
2 Re R 0
R
11. 设
X t
是零均值的平稳 Gauss
过程，协方差函数为 R ，证明：
P
X
'
t
a
a
，其中
? 为标准正态函数。
R ''
Proof ：
X t
h X t
2
由 E
y t 0
h
h
因 EX ' t
0, 则 Ey
t
X t h
X t
2
R 0
R h
R h R 0
E
y t
Ey 2 t
h
h 2
hR '
1
hR '
2
2
t
0, h , 2
h , 0
h 2
E y
1
R
''
2
1
E
y
2 t
R ''
0E
y
2 t
h
即 y t
:
0, R ''
y t @ X ' t
从而 P
X '
t
a
P
X ' t
a
a
R ''
R ''
R ''
12. 设 {x(t)} 为连续平衡过程 ,均值 m 未知，协方差函数
R( ) = ae
b| |
,R , a 0, b 0 .
对固定的 T 0 ，令 x =
1
T
x(s)ds 。
证明： Ex
m （即 x 是 m 的无偏估计）以及
Var ( x)2a[(bT ) 1(bT ) 2 (1 e bT )] 。
Ex(t )m ， Ex T 1T
m
Proof:Ex( s)ds
Var ( x)E(x m)2E[T1T
E( x(t ) m)dt gT1
T
( x(s)m)ds] 00
= T2T T
m)( x( s)m)dtds T2
T T
b|t s|dtds 0
E( x(t)
ae 00
= T2[
T s
b (s t ) dtds
T T
b (t
s) dtds ] 0
ae
ae
0s
= aT2
11
(e bT1)]2 [T2
b b
13 ．设{ x(t )}为平稳过程，以及{ x(t )} 的n阶导数 x( n) (t) 存在，证明 { x( n ) (t)} 是平稳过程。
Proof:由 Cov( x( n) (t ), x( n) (t))(1)n R(2 n) () 知
{ x( n) (t)} 为平稳过程Ex( n) (t) 0
Ex (t) E lim x(t
)x(t )lim Ex(t)Ex(t )0
00 14 ．证明定理 4.1 中关于平稳序列均值的遍历性定理。
Proof:{ x n} 为均值遍历性lim 1N 1
N
R( ) 0
N0
1N
Ex(n) 即 E( x m)2
均值遍历性：x lim x(k)m0( N)
N2N1 k
N
1N
E x N Ex(k)m
2 N 1 k N
1N212N N
X k m|X k m X l m Var X N E E
2N 1 K N2N 1K N K N
1N N
E X k m X l m
2N 1 2k N l N
1N N
R k l
2N 1 2k N l N
.
令 t k l , s
k l , 则 t s 2k,t
s
2l
1
1 2 N t
2 N
2N t
R s
R s
2
2N 1
t 2 N s 2N
t 0 s 2 N t
1
2N 1
2
R o
R
1
2N 2N
2
2N
1 1
1
2N 1
lim Var X N
由均值遍历，知
N
lim 2N 1
2 N 1
1
2
2 R
2N 1
知
N
2N 1
(A)
1 N
1 0
lim
R
可推出
N 0
N
（B ）
由（ B ）很容易推出（ A ）
15、 如 果
X 1，X 2， X 3， X 4
是 均 值 为 0 的 联 合 正 态 随 机 向 量 ， 则
EX 1，X 2， X 3，X 4 Cov X 1，X 2 Cov X 3，X 4
Cov X 1， X 3 Cov X 2，X 4
Cov X 1， X 4 Cov X 2，X 3
proof:
协 方
差 阵
11
12 13 14
21 22 23 24 31
32 33 34
41
42
43
44
矩
母 函 数
e
t 1 x
1
t 2 x 2 t 3x 3
1
4
o
t
exp
t t
t 4
12 34
13 2414 23
2
t 1 t 2 t 3
1
N
R N
X k
m
X k
m
2N 1 K
N
ER N
R
1
N
2
Var R N
E
X k
m X k
m R
1 K
2N
N
1
N
N
m X l m R 2
2 E
X k
m X k m X l
2N 1
K
N L
N
.
m
1
N
N
R 2
2 E
E X k X k
X l X l
N
K
N L N
1
N
N
2 E
R 2
R 2 k -
R k l
R k
lR 2
N
K
N L
N
1
2 N 1
2
1
R 2
1
2N 0
2 N 1
lim
1 N
1
2
N k R
k
N
可知：
16 、设 X 0 为随机变量，其概率密度函数为
2 x,0 x 1
f ( x)＝{ 0,其他 ，设 X n 1 在给定 X 0 , X 1,L
X n 下是 [1 X n ] 上的均匀分布， n 0,1,2,L ,
证明 { X n ,n=0,1, L } 的均值遍历性。
Proof:
EX 0
1
2xdx 2
E(X 1 X 0 ) 1 x 1 dx
1 x 0
x
1
1
0 3
x 0
x 0
2
EX 1 1
1
EX 0 1 1 2 2
E(X n 1 X 0 , X 1,L X n )
1
x 1 dx
1 [ 1
x 2 ]11 x
2
2 3
3
1 x n
x n
x n
2
n
1
1
2 1
2
x
n EX n 1 1 2
EX
n
EX n 1
3
1
2x 4 10 1
1
( 2 )2
1
EX 0
2 x
2
2xdx , DX 0
4 2
2 3
18
E(X n 2
1 X 0 , X 1 ,L X n )
1
x
2
1 dx 1
x n
1
x n 2 1 x n
x n
3
EX n 2
1
1 EX n
1
EX n 2 EX n 2 1 DX n 1 ( 2 )2
1
3
2
2 3 18
E[ X n X n m ] EE[ X n X n m X 0 , X 1 ,L X n m 1 ]
EX n (1
1
X n m 1)
( 2) 2
1 ( 1 ) m
2
3
18 2
R m
cov(X n , X n m )
( 2) 2
1 ( 1 )m EX n EX n m 1 ( 1)m ,
3
18 2
18 2
由推论 4.2 知： { X n 1} 是均值遍历的
17 、 设 {, n 0, 1,L } 为 白 噪 声 序 列 ， 令 X ＝ X + ，1,n 0, 1, 2,L 则
.
X n ＝
K
, n
L , 1,0,1,L } 为平稳序列。
n K ，从而证明 { X n
K 0
求出该序列的协方差函数，此序列是否具有遍历性？
Proof: 易知： X n ＝
K
，
n K
K 0
EX n ＝
K
E n K
0, COV ( X n m , X n ) E[
K n m k
l
n l ]
K 0
K 0
l 0
k l
m l l
2 m
2 l
2
m
?
2
?
1 ; (| | 1)
e 0 k 0
n m k n e
n 1
e 0
1
2
e 0
2
m
; (m 0,1,2, )
R( m)
1
2
因 R(m) 0(m 0) ，故 { X n } 为均值遍历的。
以下没有特殊声明，所涉及的过程均假定均值函数为零。
18 ．我们称一个随机过程 X 为平稳 Gauss-Markov 过程，如果 X 是平稳 Gauss Process ，
并 且 具 有 Markov
性 ， 即 对 任 意 的
S t ， 任 意 实 数 x t , x s , x u 有
P( X t x t | X s x s , X u x u , u s) P(X t x t | X s
x) s 。
试证明：零均值的平稳
Gauss-Markov 过程的协方差函数 R(2) 具有 ce a| |
这种形式，这里 c 为常数。
Proof
：
X t1
R(0)
R(t 2 t 1 )
R(t n t 1 ) R 0
R
12
R 1n
X
t 2
X
t1
X
t 2
X
tn
R(t 2
t 1 )
R( 0)
R(t 2 t n )
R 21
R 0
R
2n
X
tn
R(t n
t 1 ) R(t n
t 2 )
R(0)
R
n1
R
n 2
R 0
1
{ 1
( x ,x , x ) 1 ( X , X ,X )}
f ( X t1 , X t 2 , X t 3 )
3
1 e
2
( 2 ) 2 |
3 |
2
R 0
R 12
R
13
R 0
R
23 ,
1
R 0
R
12
3
R
21
R 0
R
23
, 2
R
31
R
32
R 0
R
32
R 0
R
21
R 0
.
1{1( x , x )1 (x , x )} f ( x t 1 , x t 2 , x t 3 ) f ( x t1 , x t 2 )1 e 2, f ( X t 3 | X t1 , X t 2 )
2|1|2 f ( x t 1 , x t 2 )
1{1 (x,x )1 (x, x )} f ( x t 2 , x t 3 )
23212
f ( x t 2 , x t 3 )1 e 2, f ( X t 3| X t 2 )
2||2f ( x t 2 )
2
19. 根据 markov 性， f （ x t3︱ x t1， x t2）=f （x t3︱ x t2）知
R（ t 3-t 1） = R （ t 2-t 1）R（ t 3 -t 2） , R(-)=R( ).
即 R(0)R(+h)=R()R(h) （>0,h>0）可知： R( )=Ce -a︱︱
R( +h)/R(0)= R()/R(0)* R(h)/R(0) 即 f （x） = R(x)/R(0)= e-at
R(0)=2C=2︱ R( ) ︱<R(0)
20.设 {X（t ） }为平稳过程，令 y（ t ）=X （ t+a ）-X （t-a ），分别以 R x、S x和 R y、S y记随机
过程 X 和 Y 的协方差函数和功率谱密度函数，证明。
R y（）= 2R x（）-R x（+2a ） -R z（-2a ），
S y（）= 4S x（）sin2aw
Proof R y（）=Cov（y（t+），y（t））=E{（x（t++a ）-m ）- （x（ t+ -a ）-m ）}*（（x（ t+a ） -m ） - （ x（ t-a ） -m ））。
其中 m=EX （t ）
=E（ X（ t++a ）-m ）（ X（ t+a ）-m ）-E（ X（t++a ）-m）（ x（ t-a ）-m ）- E（X（ t+-a ）-m ）（ X（ t+a ） -m ） +E （ X（ t+-a ） -m ）（ x（ t-a ） -m）
= R x（） -R x（2a+） -R x（-2a ）+R x（） =2 R x（） - R x（ 2a+） - R x（-2a ）S y（）=R y（）e-jw=（2R x（）- R x（+2a ） -R x（-2a ）） e -jw
=2S x（ w ） -R x（ k ） e -jwk *e j2aw -R x（）e -jwk *e -j2aw
k2a2a
=2S x（ w ） -2cos（ 2aw ） S x（ w ） =4S x（ w ） sin 2（ aw ）
.
21 、设平稳过程 X 的协方差函数R（）
2 e
2
，试研究其功率密度函数的性质。
Solution:由 Wiener-Khintchine公式知，功率谱密度函数
S（ w） 2R( ) cos()d 2 2e2) d
cos(
00
R（）a22
e a
22 、设平稳过程{ X t }cos b
的协方差函数2，求功率谱密度函数
S.
Solution:
S（ w）R( )e j d 2 e j e j e j d a 2e a e j d -222
31.设x
n
,n... 1,0,1...
为平稳序列，协方差函数为R.
1
(1)求 x n 1 的形如x n 1
ax
n的最小均方误差方差预报，
a 为待定常数2
(2)求 x n 1 的形如x n 1ax
n
b
n 1的最小均方误差方差预报，
a ，
b 为待定
(3)上述两个预报中，哪个预报的均方误差要小些？试用R
表示它们的差
(4)求x
n k 的形如
x n k
ax n
bx
n N ,1k
N
的最小均方误差内插，（a,b 为待定）N
Z n x n k
Z n Z n ax n bx n N
(5)设k 0，其中 N为固定常数，求的形如的最小均方误差预报，其中 a,b为待定常数。
Solution：
Q a E x n 1 ax n 2
ax n x n0 ,Q' a 2E x n 1
(1)
R 11R 1 a x n 1
R 0x n
,
R 0
.
Q a, b E x n 1 ax n
2
bx n 1
(2)
Q
ax n bx n 1
x n 0
E 2 x n 1
a
Q
ax n bx n 1
x
n 1
E 2 x n 1
b
R 1
R 0 R 2
R 1 aR 0 bR 1 0
a
R 2 0 R 2 1
R 0 R 2
R 2 1
R 2 aR 1 bR 0 0
b
R 2 0 R 2 1
(3)
R 2 0
R 2 1
Q a
R 0
2
2
Q a,b E x n 1 a b x n 1 R 0 2 a R 1 2 b R 2 a R 0
2
2 ab R 1 b R 0
=
R 5 0 R 3 0 3R 2 1 R 2 22R 2 0 R 2 1 R 2 R 0 R 2 1 2R 2 1 R 2 2 2R 4 1 R 2
R 2 0 R 2
2
1
Q a,b R 2 0 R 2 1 R 0 R 2 R 2 1
Q a
R 0 R
2
0 R 2
1
R 0 R 2 R 2
2
1 R 0 R
2 0
R 2 0
1
(4) Q
4
a,b E x n k
ax n bx n
2 N
Q 4 a, b
ax n bx n N
x n
E 2 x n k
a
Q 4 a, b
ax n bx n N
x n N
E 2 x n k
b
aR 0 bR N R k
aR N
bR 0
R N k
R 0 R k
R N R N k
a
0 R 2 N
R 2 R 0 R n
k R k R N
b
R 2 N
R 2 (5)
N
2
Q 5 E
x
n k
ax n bx n N
K 0
Q 5
N
E2
x n k
ax n
bx n N
x n
a
k 0
Q 5
N
E2
x
n k
ax n
bx n N
x
n N
b
k 0
N
aR 0
bR N
R k
k 0
N
aR N
bR 0
R N
k
k 0
N
N
R 0
R k
R N
R N k
a
k
k
R
2
0 R
2
N
N
N
R 0
R N k
R N
R k
b
k 0
k
R
2
0 R 2
N
差 4-16
35. {Xn,n=0, ±1,⋯.}
AR （p ）模型：
X n 1 X
n 1
.....p X
n p
n
n= ⋯,-1,0,1, ⋯
出 Yule-Walker方程:
R( h)1R(h1) ...p R(h p)
Proof.E(xx nn h)1E(x n 1x n h)...p E(x n p x n h)E( n x n h) R(h)1R(h1) ...p R( p h)0
36.考 AR （ p ）模型：
X n 1 X n 1.....p X n p n n= ⋯,-1,0,1, ⋯
假定 11Z p Z p的根都在位外，求功率密度函数
Proof S(w) e jwz R( )e jwz [ 1 R(1) ...p R(p)]
1jw
e jwk
R( k) ...
p
e
jpw
e
jwk
R( k)
e
k k 0
[ 1e jw...p e jpw ] s(w)
S(w) 足上述式子
37.考如下 AR(2) 模型：
（1 ）X n0.5X n 10.3X n 2n（ 2 ）X n0.5X n 1 0.3X n 2n
用 Yule-Walker方程出方差函数，明它的密度函数S(w) 在（ -，）上的。
Proof （ 1 ）E( X n X n 1)0.5Ex n20.3Ex n 1 x n2 E ( x n 1n)
1
R(1)0.5R(0)0.3R(1)R(1)5
R(0) 7
E( X X) 0.5Ex x0.3Ex2E(x )
n 2
n n 2n 1 n 2n n 2
R(2)0.5R(1)0.3R(0)R(2)23
R(0) 35
19
R(4)16.4
似的， R(3)3535
Ex x0.5Ex
n x0.3Ex
n 2
x
n
E x
n n 1 n n n R()0.5R(1) 0.3R(2)
S
e j
R
0.5
e j 1 R
0.3e j 2 R
1
S 2
e j 2
R
e j g2
e j R
1
g
e j
R
S 1
其中， e j g2
= cos 2
j sin 2
1
故 S 1
具有周期性。
对于（
2 ），类似于（ 1 ）即得
38. 求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。
（1 ） X n 0.8 X n 1n
（ 2 ） X n 0.5X n 1
n
X n 0
Solution. （ 1 ） X n X n 1
0.8 X n 2
1
n
X n
1
协方差函数
R 1
0.8R 0 0
R 1
0.8R 0
R
2
X n X n 2
0.8 X n 1 X n 2 n
X n 2
R 1
2
R
0.8 0.8
类似地， R 2
0.8| z| R 0 , z
0, 1, 2...
X n
n
0.8 n 1
0.8 n
2
...
0.8 k
n k
k 0
R 0
D X n
0.8 2 k
2
1 25
，相关函数： r z
R z
n k
1
0.82 9
k 0
（2 ） X n X n 1 0.5 X n 1 X n 1
n X n 1 ， R 1 0.5R 0
X n
X
n 2
0.5 X n 1 X n 2 n X n 2 ， R 2
0.5R 1
0.5 2 R 0
R z
0.5 |z| ， z 0, 1, 2,...
通过迭代： X n
n
0.5
n 1
0.5 2 n 2
...
0.5 k
n k
k
R 0
2
0.5
2k 2
X n
n k
k 0
1 4
1 0.25 3
求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数：
（1 ）X n n0.5 n -10.5 n- 2（ 2 ）X n n0.6 n-1 0.2 n-2 0.1 n -3 Solution:
(1) R0E
2
0.52
2
0.52
2
1.52 1.5( 21) n
E
n -1
E
n- 2
R 1 E n0.5 n-10.5 n-2n -10.5 n-20.5 n -3
=0.52E20.52 E n -220.25
n -1
R 2E n0.5 n -10.5 n- 2n- 20.5 n-30.5 n -4
=0.52E
2
0.5 n -2
R 3E n0.5 n -10.5 n- 2n-30.5 n -40.5 n -50
R0,4r R EX n 2
R
（2 ）R 0 E n20.6 2 E n-120.2 2 E n- 220.12 E n-32 1.41
R 1 E n0.6 n -1 0.2 n- 20.1 n-3n -1
= 0.6E20.12E20.02E2
n-1n -2n -3
0.6n- 2 0.2 n-3 0.1 n-4 0.5
R 2E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5
=
22
0.2E n -2 0.06E n -30.26
R 3E n0.6 n -10.2 n- 20.1 n-3n -20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5
=0.1E
2
0.1 n -3
R 4E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-40.6 n -50.2 n -60.1 n- 70
R0,4r R
2
42 ．考虑 AR（ 2）模型：X n X n 10.25X n 2n 求
X n e n
及
E X n e X n e n
Solution：
.
X n 1n
E X n
1 X n , X n 1,L , X 1
E X n 0.25X n 1 X n ,L , X 1
X n 0.25X n
1
2
2
E X n X n 1n
E X n 0.25X n 1
X n 0.25X n
E n 2
2
1
n 1
1
1
X n 2 n E X n
2
X n , X n 1 ,L , X 1
E X n 1 0.25X n X n , X n 1,L , X 1
X n 1n 0.25X n
X n 0.25X n 1 0.25X n 0.75X n
0.25X n
1
2
2
E X n
X n 2 n E
X
n 1
0.25X n
0.75X n
0.25X n
2
n 2
1
E X n
0.25X n 1 n 1X
n
0.25X n 1 2
E n 2
E n 2
2
2
n 1
1
2
X n e n X n e 1n 0.25 X n e 2 n
e 3
2
E X n e
X n en
e 2
41 ．考虑 AR （2）模型： X n 1.8X n 1 0.8X n 2 n
求 X n
en
分析：
X n 1 n
E X n 1 X n , X n 1 ,L , X 1
1.8X n
0.8X n 1
X n 2 n
E X n 2 X n , X n 1,L , X 1
1.8 X n 1n 0.8X n
1.8
1.8X n 0.8X n 1 0.8X n
4.04X n
1.44X n 1
X n en
1.8 X n e 1 n 0.8 X n e 2 n ,
e 3。
