曲线曲面投影方法

7.3 圆锥的切平面
7.3.1 过圆锥面上一点A作圆锥面的切平面
圆锥面是直线面，其 切平面一定包含一条过点 A的直素线SA，因此只要 过点A再在锥面上取一曲 线（圆），并作该曲线的 切线CA，即可得到确定 切平面的两条直线。
7.3.2 过圆锥面外一点A作圆锥面的切平面
由于圆锥的切平面 必过圆锥顶点，故过点 A的切平面可由一条过 点A及锥顶S的直线和一 条与圆锥底圆相切的直 线所组成。过面外一点 A可在两个方向上作圆 锥的切平面，所以本题 有两个解。
1.2
曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。 2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同一平面上， 如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点不在同 一平面上，如螺旋线等。
1.3 曲线的投影
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。 按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一 系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺 次光滑连接即得该曲线的投影。
方法一： 切线法：过点A作 两条平面曲线（圆）， 为方便，使其分别平 行于H、V投影面，并 分别作出两圆的切线， 则该两条切线所确定 的平面即为所求
方法二： 法线法：由于球 面上每一点的法线都 沿着半径方向，因此 过点A的切平面必垂 直于半径。根据直角 定理，过点Ａ作水平 线ＡＢ和正平线ＡＣ 垂直于半径ＯＡ，则 该两条切线所确定的 平面即为所求
7.5 应用举例
［例1］ 过直线AB作一平面与H面成α 角
分析：过定点和H面成α 角的平面，其轨迹是一个 与直圆锥面相切的平面族， 该圆锥面的轴线垂直于H 面，圆锥的底角为α 。因 此，可在直线AB上任取 一点作为圆锥的顶点，作 一底角为α 的圆锥，再过 直线AB作该圆锥面的切 平面，即为所求平面。
短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线， 确定长、短轴的方向与大小
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合
在球面外先作底角 为α 的外切圆锥，再过 点A作该圆锥的切平面， 则此平面即为所求

k
k
过锥顶作一 条素线。

s

k
正圆锥面
正圆锥面
斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
7.4 柱面的切平面
由于柱面的切平面一 定包含该柱面的一条素线， 只要过点A再作一条切线 即可确定切平面。 作图步骤如下： 1）过点A取素线AM交底圆 于Ｍ（ｍ，ｍ′）；
2）过M作底圆的切线MB， 作其投影ｍｂ及ｍ′ｂ′;
3）AM与MB所确定的平 面即为所求切平面。
由于柱面的切平面一定 包含柱面的一条素线，所以 切平面必包含一条平行于素 线的直线，故柱面的切平面 可由过点A且平行于素线的 直线和一条与底圆相切的直 线确定。本题有两个解。
5.2.2 圆环面
一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回 转运动，即形成圆环面
5.2.3 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面
5.3 组合回转面
以组合线段 (包括曲线和直线)为母线，绕一轴线 作回转运动，即形成组合回转面
§6
6.1.1 圆柱螺旋线
螺旋线和螺旋面
6.1 螺旋线
一点沿圆柱面直母线 作等速直线运动，同时该 母线又绕圆柱面轴线作等 速回转运动，则该点在空 间的运动轨迹即为圆柱螺 旋线 圆柱螺旋线的三要素
斜圆柱面
直椭圆柱面
斜椭圆柱面
几种柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线 运动且始终通过一定点 （锥顶）而形成的曲面称 为锥面。
锥面的相邻两素线为 过锥顶的相交直线，位于 同一平面内，所以是可展 曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓 线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线
s
●
●
s
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上 特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最 好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点 B和F为对H面重影点 E为一般点
曲线的投影的基本性质
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线 所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影 条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即 点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性 3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线 的投影仍为二次曲线 4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
4.2 不可展直线面
4.2.1 柱状面
一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平 面平行，即形成了柱状面 柱状面是不可展曲面
4.2.2 锥状面
一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运 动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面 锥状面是不可展曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终 与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是 不可展曲面 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有 两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴）即为 该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直，则称为正 双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
第七章
曲线与曲面
1 曲线概述
1.1 曲线的形成
曲线的形成一般有下列三种方式：
1）点在空间作连续变换方向的 运动轨迹 2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。 如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看 成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交 线。
圆柱面上求点
a
a
a

5.1.2 圆锥面 §４中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线 围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一 般锥面的特殊形式。 若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。 圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
纬线圆法
s
●
●
s
(n)
画回转曲面的投影 图时，通常使其轴线垂 直于某一投影面，以便 简化作图
由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转 曲面可以分为： 直线回转面 曲线回转面 组合回转面
5.1 直线回转面
5.1.1 圆柱面
§４中介绍的直圆柱面可以认为是一直母 线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它 是一般柱面的特殊形式。 若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成 圆柱体。
§4
4.1.1 柱面
直线面
4.1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a

直圆柱面
如图所示曲面， 是 由AA１沿着曲线 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 MN所形成的
AA１称为母线
母线形状可以是不变的， 也可以是不断变化的 母线在曲面上的任一位 置称为素线，无限接近 的相邻两素线称为连续 两素线 控制母线运动的点、线 和面称为定点、导线和 导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
1）过点Ａ（ａ，ａ′） 作轴线垂直于H面的圆锥 面，使圆锥底角为α ；
2）求直线AB与圆锥底 圆所在平面交点M（ｍ， ｍ′） ； 3) 过点M作圆锥底圆 的切线MD（ｍｄ，ｍ ′ｄ′），则平面BAD 即为所求 . 同理，平面BAE为另一所求平面，本题共有两解。
［例2］ 过点A作一平面，使与点O的距离为R， 且与H面成α 角
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
3.2 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。 曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知 曲面的投射柱面与曲面的切线 当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合 时，这些母线称为界限素线
§２
圆的投影
圆是最简单的平面曲线
根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其 正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面 投影）：
2.1 圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面
2.1 圆所在平面为投影面平行面
当圆所在平面为投 影面平行面时，圆在所 平行的投影面上的投影 反映该圆的实形。在另 一投影面上的投影为直 线，线段的长度等于圆 的直径

●
(n)
n● s
5.1.3 单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
5.2 曲线回转面
曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面 均为不可展曲面
5.2.1 球面
一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面 球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别 是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上 的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点 的一个投影，可直接求得另外两个投影。
正双曲抛物面
斜双曲抛物面
§5 回转曲面
母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称 为回转曲面 固定轴称为回转轴 在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆， 这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆 与回转轴垂直 在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的 纬线圆称为喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为 赤道圆。
§7
曲面的切平面
7.1 概述
曲面在某一点的切平面就是过该点所有曲 线的切线集合 过曲面的切点，且垂直于切平面的直线称为 曲面在该点的法线 根据相交两直线决定一平面的几何原理可知， 只要作出过一个点的两条曲线的切线，即可唯一 确定过该点的切平面
曲面的切平面
直线面的切平面图
圆环面的切平面
7.2 球面的切平面
2.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂 直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直 径。在另一投影面上的投影则为椭圆。
2.3 圆所在平面为一般位置平面
当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投 影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必 须分别求解。
椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影
6.2 螺旋面
一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作 一定规律的运动即可形成螺旋面 6.2.1 正螺旋面 一直母线沿圆柱螺旋线 和螺旋线轴线运动，且始终 与轴线垂直相交，即形成正 螺旋面 正螺旋面是锥状面, 为 不可展曲面。
6.2.2 斜螺旋面 一直母线沿圆 柱螺旋线和螺旋线 轴线运动，且始终 与轴线斜交成一定 角，即形成斜螺旋 面。 斜螺旋面也是 锥状面，为不可展 曲面。
曲面的轮廓线对不 同投影面各不相同。 如图所示，投射柱 面与曲面的切线T称为 曲面对H面的轮廓线， ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
3.3 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分 类方法。如： 按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面； 按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回 转面； 按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母 线面和变母线面； 按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面； 按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类， 则可分为可展曲面和不可展曲面。
1：圆柱的直径ｄ
2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点 沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种
右螺旋线的动点运动 遵循右手定则，图上（a) 可见部分右边高； 左螺旋线的动点运动 遵循左手定则，图上(b) 可见部分左边高
作图步骤
6.1.2 圆锥螺旋线
一点沿圆锥面 直母线作等速直线 运动，同时该母线 又绕圆锥面轴线作 等速回转运动，则 该点在空间的运动 轨迹即为圆锥螺旋 线