c14-时间序列分析入门

• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
•
时间序列的统计性质
• 自相关函数
•
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t，
，且满足以下条件：
1) 对任意t，均值恒为常数
2)
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
模型
AR(p)
MA(q) ARMA(p,q)
自相关 函数
拖尾
截尾
拖尾
偏自相关 函数
截尾
拖尾
拖尾
平稳的条 特征根在单 无条件平稳 特征根在单
件
位圆外
位圆外
可逆的条 无条件可逆 特征根在单 特征根在单
件
位圆外
位圆外
•
三. 时间序列模型的估计和预测
• 模型识别与参数估计 • 时间序列预测
•
1.模型识别与参数估计
•
•xt •t
•xt •t
•
平稳序列的特性
• 方差 • 自相关函数：
•
自相关函数的估计
•
平稳序列的判断
•ρk
•ρ k
•1
•1
•0
•k
•平稳序列的自相关函数 •迅速下降到零
•0
•k
•非平稳序列的自相关函数 •缓慢下降
•
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
•
① 移动平均模型的定义
• 在序列{xt}中， xt表示为若干个白噪声的 加权平均和 其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为 q阶移动平均模型，计为MA(q)
•
② MA(1) 的自相关函数
•
MA(q) 的自相关函数
•k=0
•k=1,2,···, q •k> q
•
举例
•ρk •1
•0.5
•0 •1 •2 •3
• AR(p)的最小二乘估计 • ARMA(p,q)的最小二乘估计
•
① AR(p)的最小二乘估计
•普通最小二乘法
•
•
确定性时间序列模型
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
•
(1) 滑动平均模型
•作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并 用于预测趋势
•
(2) 加权滑动平均模型
•其中 •作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并 通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋 势预测更准确
•k
•
•的序列
•yt •5
•3
•1
•-1
•t
•
③ 滞后算子形式
•其中
•
AR(p)与MR(q)的比较
•AR(1 ) •MR(1 )
•
(3) 自回归移动平均模型
• 定义 • 性质 • 滞后算子形式
•
① 自回归移动平均模型
• 自回归模型与移动平均模型的综合
•计为ARMA(p,q)
•
② ARMA(p,q)的性质
•
(3) 二次滑动平均模型
•对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平 均
•
(4) 指数平滑模型
•平滑常数 •本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
•
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
•
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
•两边同除以r0 • 自相关函数
•
AR(p)的自相关函数
•耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
•
例：求AR(1)的自相关函数
•
例： AR(2)的自相关函数
•取k=1 •取k=2 •取k=3
•
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减 ，称其具有拖尾性
•
举例
•ρk •1
•0
•k
•
•yt
•的序列
•20
•t
•
④ 偏自相关函数
•耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
•AR(p)的偏自相关 函数具有截尾性
•
⑤ AR(p)的滞后算子形式
引进滞后算子B： 一般有： •AR(p )
•记
•或
•
(2) 移动平均模型及其性质
• 定义 • 自相关函数 • 滞后算子形式
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
•
3. 随机时间序列模型
Байду номын сангаас• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
•
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
•
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
• ARMA(p,q)兼有AR (p)和ARMA(q)的性 质
• 平稳条件：与AR (p)相同 • ARMA(1,1)
平稳条件
•
ARMA(1,1)的自相关函数
•自协方差函数
•
ARMA(1,1)的自相关函数
•ARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性
•
③ 滞后算子形式
•
性质总结
• 模型识别 • 参数估计 • 阶数的确定 • 模型检验
•
•模型识别 •参数估计
•模型检验
•判断模型
•否
是否可取
•是
•确定模型 具体形式
•
(1) 模型识别
• 自相关函数截尾——MA(q) • 自相关函数拖尾 偏自相关函数截尾——AR(p) 偏自相关函数拖尾——ARMA(p,q)
•
(2) 模型参数估计
•
② (一阶)自回归序列平稳的条件
•是否平稳 ？
•均值为零？
•方差为有限常数 ？
•自协方差与t无关
•
AR(1)平稳的条件
• 均值 •成 立
• 方差
•满足这两个 条件成立
•
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
•结论：
•仅与k有关，与t无 关 时，一阶自回归序列渐进平稳
•
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
c14-时间序列分析入门
2020年5月28日星期四
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
•
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
•
(1) 随机过程与随机序列
•
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn ，称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
•
(2) 时间序列的统计性质(特征量
)
• 均值函数：某个时刻t的性质
•
时间序列的统计性质